Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Трапеция

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Трапеция — это четырехугольник, у которого только две стороны параллельны,
а две другие стороны нет.

Содержание
  1. Элементы трапеции
  2. Виды трапеции
  3. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  4. Основные свойства трапеции
  5. Сторона трапеции
  6. Формулы определения длин сторон трапеции:
  7. Средняя линия трапеции
  8. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  9. Высота трапеции
  10. Формулы определения длины высоты трапеции:
  11. Диагонали трапеции
  12. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  13. Площадь трапеции
  14. Формулы определения площади трапеции:
  15. Периметр трапеции
  16. Формула определения периметра трапеции:
  17. Окружность описанная вокруг трапеции
  18. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  19. Окружность вписанная в трапецию
  20. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  21. Другие отрезки разносторонней трапеции
  22. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  23. Трапеция. Свойства трапеции
  24. Свойства трапеции
  25. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  26. Вписанная окружность
  27. Площадь

Видео:Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружностиСкачать

Планиметрия 27 | mathus.ru | окружность, касающаяся основания трапеции и вписанной в нее окружности

Элементы трапеции

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Радиус описанной окружности трапеции

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

На рисунке 1 изображена трапеция MNPQ, с боковыми сторонами MN и PQ, с основаниями NP и MQ, а также со средней линией DF.

В трапеции две параллельные стороны называются основаниями. 0дна из параллельных сторон называется верхним основанием, а другая параллельная сторона называется нижним основанием. Но как определить, какая из параллельных сторон нижнее основание, а какая верхнее основание? Существует несколько способов это определить. Во-первых, как вы уже наверно догадались, нижнее основание расположено внизу трапеции, а верхнее основание расположено вверху трапеции. Во-вторых, верхнее основание меньше чем нижнее основание, и наоборот нижнее основание больше верхнего основания. C помощью этих двух способов вы можете
легко определить какое основание нижнее а какое верхнее. NP || MQ, NP — верхнее основание, MQ — нижнее основание.

Кроме оснований в трапеции, есть еще две не параллельные стороны. В трапеции эти две не параллельные стороны называются боковыми сторонами. Боковые стороны расположены сбоку от верхнего и нижнего оснований. MN и PQ — боковые стороны.

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон называется средней линией трапеции. С средней линией трапеции связано несколько важных формул. Например, достаточно знать длину средней трапеции и одну из сторон основания, чтобы найти другое основание. Средняя линия делит две боковые стороны трапеции на две равных части. DF — средняя линия трапеции, MD = DN, QF = FP.

Центром симметрии трапеции называется середина средней линии трапеции. Центр симметрии
является центром вписанной, и центром описанной окружностей.

Видео:Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать

Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?

Виды трапеции

Также существует несколько видов трапеции. Это равнобедренная и прямоугольная трапеции.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

На рисунке 2 изображена равнобедренная трапеция KLMN, с боковыми сторонами KL и MN, с основаниями LM и KN, а также со средней линией HF.

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны, углы при основаниях равны. KL = MN, ∠LKN = ∠MNK, ∠KLM = ∠NML.
Чтобы найти среднюю линию в равнобедренной трапеции достаточно знать только одну из боковых сторон.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

На рисунке 3 изображена прямоугольная трапеция MNKP, с боковыми сторонами MN и KP, с основаниями NK и MP, а также с прямым углом ∠NMP .

В прямоугольной трапеции у одной из боковых сторон есть прямой угол, или же по другом сказать — только одна боковая сторона перпендикулярна одному из оснований.
∠NMP — прямой угол.

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Окружность касающаяся трех сторон трапецииОкружность касающаяся трех сторон трапеции
Рис.1Рис.2

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать

Окружность и трапеция  | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Видео:Задание 16: окружности, общие касательные и трапеции в планиметрииСкачать

Задание 16: окружности, общие касательные и трапеции в планиметрии

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Видео:ЕГЭ Задание 16 Две касающиеся окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Две касающиеся окружности

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Видео:Трапеция и окружность. 9 классСкачать

Трапеция и окружность. 9 класс

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Видео:Планиметрия 3 | mathus.ru | трапеция и окружностьСкачать

Планиметрия 3 | mathus.ru | трапеция и окружность

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:ЕГЭ Задание 16 Трапеция и две окружностиСкачать

ЕГЭ Задание 16 Трапеция и две окружности

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Видео:#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать

Окружность, вписанная в трапецию

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:ОГЭ по математике. Задание 15Скачать

ОГЭ по математике. Задание 15

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Видео:Трапеция в окружности. Задача Шаталова.Скачать

Трапеция в окружности. Задача Шаталова.

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

3. Треугольники Окружность касающаяся трех сторон трапециии Окружность касающаяся трех сторон трапеции, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Отношение площадей этих треугольников есть Окружность касающаяся трех сторон трапеции.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

4. Треугольники Окружность касающаяся трех сторон трапециии Окружность касающаяся трех сторон трапеции, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Видео:16 ЗАДАНИЕ ОГЭ ИЩЕМ УГОЛ А В ТРАПЕЦИИ ИЗ КРУГАСкачать

16 ЗАДАНИЕ ОГЭ ИЩЕМ УГОЛ А В ТРАПЕЦИИ ИЗ КРУГА

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Видео:Геометрия Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружностиСкачать

Геометрия Под каким углом видна боковая сторона трапеции из центра вписанной окружности

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Окружность касающаяся трех сторон трапециии она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Окружность касающаяся трех сторон трапециии Окружность касающаяся трех сторон трапеции, то Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Видео:Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружностьСкачать

Задание из ЕГЭ: трапеция в окружности #геометрия #егэ2023 #трапеция #окружность

Площадь

Окружность касающаяся трех сторон трапецииили Окружность касающаяся трех сторон трапециигде Окружность касающаяся трех сторон трапеции– средняя линия

Окружность касающаяся трех сторон трапеции

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Поделиться или сохранить к себе: