Задача имеет четыре действительных решения (рис. 2.11) и четыре мнимых.
Здесь также применяем свойства циклиды Дюпена. Задача сводится к предыдущей, когда мы имели дело с двумя точками.
В данной задаче для нахождения точек касания А 1 и А 2 строим три конуса (рис. 2.12): два из них касаются двух заданных сфер и проходят через данную точку О 3 , а третий конус является касательным к обеим данным сферам.
Затем, согласно приведенному в разделе 2.1 алгоритму, находим точки касания А 1 и А 2 с данными сферами плоскости, проходящей также и через точку О 3 . Три найденные точки задают касательную к данным сферам и проходящую через точку О 3 плоскость.
После этого определяем положение осей i и j циклиды Дюпена. Плоскость симметрии Д°, содержащая искомые центры очерковых окружностей, проходит через ось j перпендикулярно оси /. В этой плоскости находим центры очерковых окружностей как точки пересечения прямых Д° (см. рис. 2.10) с О 1 0 ю и O^Cf 2 . Сама теория построения представлена в разделе 2.1.
На рис. 2.12, так же как и в предыдущей задаче, получаем известный очерк циклиды Дюпена.
Как видим, пока что теория свойств циклиды Дюпена для всех рассмотренных вариантов задачи Аполлония работает безошибочно.
Окружность, касающаяся трех прямых
Рассмотрим эту задачу как задачу Аполлония с окружностями бесконечно большого радиуса (рис. 2.13, а). По сути, в данном примере заданы три фронтально проецирующие плоскости: Г, X и А.
Здесь снова используем свойство 8 и его следствие. Касательные конусы для нахождения точек касания в этой задаче вырождаются в прямые а, Ь, с пересечения данных плоскостей. Эти прямые содержат и искомые точки «касания» трех данных плоскостей четвертой.
Только следует иметь ввиду не действительную плоскость касания, а несобственную.
Таким образом, первые три точки мы имеем. Для нахождения следующих трех точек, поступаем, как в работе [2]: строим дополнительные три «сферы», увеличивая или уменьшая их «радиус» на одну и ту же величину 5 (см. рис. 2.13). Эти «сферы» также имеют «касательные конусы», вырожденные в прямые, параллельные а, b и с. Проведя через соответствующие параллельные прямые плоскости, по сути являющиеся биссекторными, получим «ось» циклиды Дюпена (в данном примере она обозначена буквой О), выродившуюся в цилиндр вращения. Соединив точку О с «центрами» данных сфер, а по сути проведя из О перпендикуляры к прямым а, Ь, с, получим точки касания.
Следует отметить, что при таком задании «сфер», при разном условии касания мы получим четыре действительных цилиндра вращения (рис. 2.13, б) и четыре мнимых.
Таким образом, мы рассмотрели частный случай получения циклиды Дюпена, когда она вырождается в цилиндр вращения.
Если плоскости Г, X и А будут пересекаться в одной точке, мы получим циклиду Дюпена в виде конуса вращения.
Постройте окружность данного радиуса, касающуюся двух данных окружностей.
Ваш ответ
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,277
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,804
- разное 16,824
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей, причём одной из них — в данной точке.
Предположим, что нужная окружность S построена. Пусть A — данная точка на данной окружности S1, а l — общая касательная к окружностям S и S1, проходящая через точку A. Если S2 — вторая данная окружность, то окружность S касается окружности S2 и прямой l в данной на ней точке A.
Таким образом, задача сводится к построению окружности, касающейся данной окружности (S2) и прямой (l) в данной на ней точке (A).
Для этого построим касательную к окружности S2, параллельную прямой l, т.е. касательной к окружности S1, проведённой в точке A. Ограничимся рассмотрением случая, когда данные окружности лежат по разные стороны от прямой l. Если B — полученная точка касания на S2, то точка M пересечения прямой AB с окружностью S2 есть точка касания искомой окружности с окружностью S2. Если O1 и O2 — центры окружностей S1 и S2 соответственно, то пересечение прямых O2M и O1A даёт центр O искомой окружности.
В рассматриваемом случае задача имеет два решения (внешнее и внутреннее касание окружностей S и S2).