Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Ключевые слова: окружность, касательная, секущая, теорема о секущих, теорема о касательной и секущей

  • Прямая может не иметь с окружностью общих точек; иметь с окружностью одну общую точку (касательная); иметь с ней две общие точки (секущая).
  • Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность, и притом только одну.
  • Точка касания двух окружностей лежит на линии, соединяющей их центры.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены касательная и секущая, то квадрат длины касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть: MC 2 = MA•MB.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть. MA•MB = MC•MD.

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Касательная к окружности

Окружность и секущая не имеют общих точек

О чем эта статья:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Окружность и секущая не имеют общих точек

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Окружность и секущая не имеют общих точек

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Окружность и секущая не имеют общих точек

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Окружность и секущая не имеют общих точекОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Окружность и секущая не имеют общих точекСвойства хорд и дуг окружности
Окружность и секущая не имеют общих точекТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Окружность и секущая не имеют общих точекДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Окружность и секущая не имеют общих точекТеорема о бабочке

Окружность и секущая не имеют общих точек

Видео:Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьОкружность и секущая не имеют общих точек
КругОкружность и секущая не имеют общих точек
РадиусОкружность и секущая не имеют общих точек
ХордаОкружность и секущая не имеют общих точек
ДиаметрОкружность и секущая не имеют общих точек
КасательнаяОкружность и секущая не имеют общих точек
СекущаяОкружность и секущая не имеют общих точек
Окружность
Окружность и секущая не имеют общих точек

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругОкружность и секущая не имеют общих точек

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусОкружность и секущая не имеют общих точек

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаОкружность и секущая не имеют общих точек

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрОкружность и секущая не имеют общих точек

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяОкружность и секущая не имеют общих точек

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяОкружность и секущая не имеют общих точек

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеОкружность и секущая не имеют общих точекДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыОкружность и секущая не имеют общих точекЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныОкружность и секущая не имеют общих точекБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиОкружность и секущая не имеют общих точекУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыОкружность и секущая не имеют общих точекДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Окружность и секущая не имеют общих точек

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыОкружность и секущая не имеют общих точек

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыОкружность и секущая не имеют общих точек

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиОкружность и секущая не имеют общих точек

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныОкружность и секущая не имеют общих точек

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиОкружность и секущая не имеют общих точек

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыОкружность и секущая не имеют общих точек

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыОкружность и секущая не имеют общих точек
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиОкружность и секущая не имеют общих точек
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиОкружность и секущая не имеют общих точек
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаОкружность и секущая не имеют общих точек

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Пересекающиеся хорды
Окружность и секущая не имеют общих точек
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Окружность и секущая не имеют общих точек
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Окружность и секущая не имеют общих точек
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Окружность и секущая не имеют общих точек
Пересекающиеся хорды
Окружность и секущая не имеют общих точек

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Окружность и секущая не имеют общих точек

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Тогда справедливо равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Окружность и секущая не имеют общих точек

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Окружность и секущая не имеют общих точек

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Окружность и секущая не имеют общих точек

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🎥 Видео

Касательная и секущая к окружности encodedСкачать

Касательная и секущая к окружности encoded

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Геометрия Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательнаяСкачать

Геометрия Окружности с центрами в точках O1 и O2 не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружностиСкачать

8 класс, 31 урок, Взаимное расположение прямой и окружности

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862Скачать

Окружность / Касательная, хорда, секущая / задача из ЕГЭ #27862

Касательная и секущая к окружности.Скачать

Касательная и секущая к окружности.

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.Скачать

ОГЭ математика. Задание 16. Окружность. Касательная.

8 класс. Окружность+секущая+касательнаяСкачать

8 класс. Окружность+секущая+касательная

16 задание ОГЭ по математике 2023 Касательная и секущая Shorts #shorts #огэпоматематике2023Скачать

16 задание ОГЭ по математике  2023  Касательная и секущая Shorts #shorts #огэпоматематике2023
Поделиться или сохранить к себе: