- Ваш ответ
- решение вопроса
- Похожие вопросы
- Даны треугольники abc и a1b1c1
- Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1?
- В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 16 см, высота равна 6 см?
- В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой стороне проведена медиана AD , равная 13 см ?
- В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC) боковая сторона равна 17 см, а высота AK равна 8 см?
- У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах?
- Треугольник ABC равнобедренный, AC основание треугольника?
- В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45 градусов , а боковая сторона равна 4 см?
- Дан равнобедренный треугольник ABC?
- Докажите что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, д?
- Помогите пожалуйста Углы против оснований в двух равнобедренных Треугольников равны друг другу?
- В равнобедренном треугольнике ABC?
- 🌟 Видео
Видео:№177* Даны два треугольника: ABC и А1В1С1. Известно, что АВ=А1В1, АС=А1С1, ∠A=∠A1. На сторонах АССкачать
Ваш ответ
Видео:№560. Подобны ли треугольники ABC и A1B1C1, если: а) АВ = 3 см, ВС=5 см, СА=7 см, А1В1=4,5см,Скачать
решение вопроса
Видео:№545. Треугольники ABC и А1В1С1 подобны, и их сходственные стороны относятся как 6:5Скачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,285
- гуманитарные 33,619
- юридические 17,900
- школьный раздел 607,101
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:№161. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы AM и А1М1 равны, BC=B1С1 и ∠AMB=∠A1M1B1. Докажите, чтоСкачать
Даны треугольники abc и a1b1c1
§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников
Если для треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 выполняются шесть условий: ∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 , то очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении. Значит, они равны.
Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: AB = A 1 B 1 и BC = B 1 C 1 . В этом случае треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 могут оказаться неравными (рис. 125).
Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников .
(первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , ∠ B = ∠ B 1 (рис. 126). Докажем, что ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 .
Наложим ∆ ABC на ∆ A 1 B 1 C 1 так, чтобы луч BA совместился с лучом B 1 A 1 , а луч BC совместился с лучом B 1 C 1 . Это можно сделать, так как по условию ∠ B = ∠ B 1 . Поскольку по условию BA = B 1 A 1 и BC = B 1 C 1 , то при таком наложении сторона BA совместится со стороной B 1 A 1 , а сторона BC — со стороной B 1 C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, значит, они равны.
Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.
На рисунке 127 прямая a — серединный перпендикуляр отрезка AB , а точки A и B равноудалены от прямой a .
Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.
Пусть X — произвольная точка серединного перпендикуляра a отрезка AB , точка M — середина отрезка AB . Надо доказать, что XA = XB .
Если точка X совпадает с точкой M (а это возможно, так как X — произвольная точка прямой a ), то XA = XB .
Если точки X и M не совпадают, то рассмотрим треугольники AXM и BXM (рис. 128). В этих треугольниках AM = MB , так как точка M — середина отрезка AB , сторона XM — общая, ∠ AMX = ∠ BMX = 90°. Следовательно, треугольники AXM и BXM равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки XA и XB равны как соответственные стороны равных треугольников.
(второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых AC = A 1 C 1 , ∠ A = ∠ A 1 , ∠ C = ∠ C 1 (рис. 129). Докажем, что ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 .
Наложим треугольник ABC на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы точка A совместилась с точкой A 1 , отрезок AC — с отрезком A 1 C 1 (это возможно, так как AC = A 1 C 1 ) и точки B и B 1 лежали в одной полуплоскости относительно прямой A 1 C 1 . Поскольку ∠ A = ∠ A 1 и ∠ C = ∠ C 1 , то луч AB совместится с лучом A 1 B 1 , а луч CB — с лучом C 1 B 1 . Тогда точка B — общая точка лучей AB и CB — совместится с точкой B 1 — общей точкой лучей A 1 B 1 и C 1 B 1 . Значит, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, следовательно, они равны.
Задача. На рисунке 130 точка O — середина отрезка BD , ∠ ABO = ∠ CDO . Докажите, что BC = AD .
Решение. Рассмотрим ∆ AOB и ∆ COD . Так как точка O — середина отрезка BD , то BO = OD . По условию ∠ ABO = ∠ CDO . Углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, ∆ AOB = ∆ COD по стороне и двум прилежащим углам.
Отсюда AB = CD , ∠ BAC = ∠ DCA . Заметим, что AC — общая сторона треугольников ABC и ADC . Следовательно, ∆ ABC = ∆ ACD по двум сторонам и углу между ними. Тогда BC = AD .
- Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
- Какую прямую называют серединным перпендикуляром отрезка?
- Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра?
- Сформулируйте второй признак равенства треугольников.
154. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 см, а угол между ними — 40°.
155. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними — 90°. Укажите вид этого треугольника.
156. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 3 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — 100° и 20°. Укажите вид этого треугольника.
157. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 6 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — 90° и 45°.
158. Перерисуйте в тетрадь рисунок 131. С помощью угольника и линейки найдите на прямой l точку, равноудалённую от концов отрезка AB .
159. Перерисуйте в тетрадь рисунок 132. С помощью угольника и линейки найдите точку, равноудалённую от точек A и B , а также точек C и D .
160. На рисунке 133 AC = DC , BC = EC . Докажите, что ∆ ABC = ∆ DEC .
161. На рисунке 134 AB = AD , ∠ BAC = ∠ DAC . Докажите, что ∆ ABC = ∆ ADC .
162. На рисунке 135 AB = CD , ∠ 1 = ∠ 2, AD = 7 см, ∠ C = 34°. Найдите отрезок BC и угол A .
163. На рисунке 136 AO = OD , BO = OC . Найдите сторону CD и угол OCD треугольника OCD , если AB = 8 см, ∠ OBA = 43°.
164. Дано: OA = OC , OB = OD (рис. 137). Докажите, что ∠ OAD = ∠ OCB .
165. Дано: AD ⊥ BC , BD = CD (рис. 138). Докажите, что AB = AC .
166. Из точек A и B , лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD . Найдите угол ACB , если ∠ ADC = 25°.
167. Отрезки AD и BC пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Найдите угол ACD , если ∠ ABC = 64°, ∠ ACO = 56°.
168. На рисунке 139 AB ⊥ BD , CD ⊥ BD , точка O — середина отрезка BD . Докажите, что ∆ ABO = ∆ CDO .
169. На рисунке 140 ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4, AB = 8 см, BC = 6 см. Найдите стороны AD и CD треугольника ADC .
170. На рисунке 141 ∠ ABC = ∠ DEF , BO = OE . Докажите, что ∆ BCO = ∆ EFO .
171. На рисунке 142 ∠ BAO = ∠ DCO , ∠ BAC = ∠ DCA . Докажите, что ∆ ABC = ∆ ACD .
172. На сторонах угла с вершиной в точке B отмечены точки A и C , а на его биссектрисе — точка D так, что ∠ ADB = ∠ CDB . Докажите, что AB = BC .
173. Через точку M , принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке O , провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Эта прямая пересекает стороны данного угла в точках A и B . Докажите, что AM = MB .
174. На рисунке 143 ∆ ABC = ∆ ADC . Докажите, что ∆ ABK = ∆ ADK .
175. На рисунке 144 ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 , ∠ DBC = ∠ D 1 B 1 C 1 . Докажите, что ∆ DBC = ∆ D 1 B 1 C 1 .
176. На рисунке 145 ∆ MKO = ∆ MPO . Докажите, что ∆ KOE = ∆ POE .
177. На рисунке 146 BM ⊥ AD , CK ⊥ AD , BM = CK , AM = KD . Докажите, что ∆ ABD = ∆ ADC .
178. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы соответственных углов равны.
179. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответственным сторонам, равны.
180. На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MK , равный AM . Найдите расстояние от точки K до вершины C , если AB = 6 см.
181. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что ∆ ABC = ∆ BAD .
182. На рисунке 147 прямые m и n — серединные перпендикуляры сторон AB и AC треугольника ABC . Докажите, что точка O равноудалена от всех вершин данного треугольника.
183. Для нахождения расстояния от точки B до колокольни A , расположенной на другом берегу реки (рис. 148), с помощью вешек, рулетки и астролябии отметили на местности точки C , D и E так, что B , C и D лежат на одной прямой, причём точка C является серединой отрезка BD , и наметили прямую AE , проходящую через точку C , причём ∠ ABC = ∠ CDE . Потом, измерив одну из сторон треугольника CDE , определили расстояние от B до A . Какую сторону измерили? Ответ обоснуйте.
184. Для определения ширины озера (рис. 149) на его берегу отметили точки A и B , а потом ещё точки C , D и O так, что точка O — общая середина отрезков AC и BD . Как можно определить ширину озера? Ответ обоснуйте.
185. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.
186. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла.
187. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.
188. Серединный перпендикуляр стороны BC треугольника ABC пересекает его сторону AB в точке D . Найдите длину отрезка AD , если CD = 4 см, AB = 7 см.
189. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону BC в точке M . Найдите длину стороны AC треугольника ABC , если BC = 16 см, а периметр треугольника AMC равен 26 см.
190. На рисунке 150 OA = OD . Добавьте ещё одно условие так, чтобы треугольники АОС и DOB оказались равными:
1) по первому признаку равенства треугольников;
2) по второму признаку равенства треугольников.
191. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. На отрезке AC отмечена точка M , а на отрезке BD — точка K так, что AM = BK . Докажите, что: 1) OM = OK ; 2) точки M , O и K лежат на одной прямой.
192. На одной стороне угла с вершиной в точке O (рис. 151) отмечены точки A и B , а на другой — точки C и D так, что OA = OC , AB = CD . Докажите, что луч OM является биссектрисой угла BOD , где M — точка пересечения отрезков AD и BC .
Упражнения для повторения
193. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?
194. Лучи OD и OF — биссектрисы смежных углов AOB и BOC соответственно, ∠ AOD : ∠ FOC = 2 : 7. Найдите ∠ AOD и ∠ FOC .
Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте
195. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке 152, по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.
Видео:№127. В треугольниках ABC и А1В1С1 АВ=А1В1, ВС=В1С1, ∠B =∠B1Скачать
Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1?
Геометрия | 5 — 9 классы
Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1.
Боковые стороны равны соответственно 54, 6 см и 21 см.
Нацдите основания треугольников, если aa1 = 24, 8 см, cc1 = 20 см Помогите пожалуйста!
(3номер) Если знаете напишите пожалуйста и 5 номер).
Угол В равен углу В1, значит углы при основаниях этих равнобедренных треугольников равны между собой, и, стало быть, треугольники подобны по первому признаку.
Запишем отношение пропорциональных сторон : A1B1 / AB = A1C1 / AC, значит 21 / 54, 6 = А1С1 / (24, 8 + 20 + А1С1), тогда 3 * (44, 8 + A1C1) = 7, 8 * A1C1, следовательно 44, 8 = 1, 6 * A1C1.
AC = 28 + 44, 8 = 72, 8.
Видео:№176* Докажите, что треугольники ABC и А1В1С1 равны, если АВ=А1В1, АС=А1С1, АМ=А1М1, где AM и А1М1Скачать
В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 16 см, высота равна 6 см?
В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 16 см, высота равна 6 см.
Найти боковую сторону треугольника.
Видео:№130. В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки СО и С1О1 — медианы, ВС=В1С1, ∠B = ∠B1 и ∠C=∠C1Скачать
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой стороне проведена медиана AD , равная 13 см ?
В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой стороне проведена медиана AD , равная 13 см .
Найдите стороны треугольника ABC , если периметры треугольников ABD и ADC равны 49 см и 30 см соответственно.
Видео:№548. Треугольники ABC и А1В1С1 подобны. Сходственные стороны ВС и В1С1 соответственно равныСкачать
В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC) боковая сторона равна 17 см, а высота AK равна 8 см?
В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC) боковая сторона равна 17 см, а высота AK равна 8 см.
Найдите основание треугольника.
Видео:№170. Докажите, что треугольники ABC и А1B1С1 равны, если АВ =А1В1, ∠A=∠A1, AD =A1D1, где AD и A1D1Скачать
У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах?
У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах.
Основание одного из треугольников равно 8 см.
Найдите боковую сторону этого треугольника если боковая сторона и основание другого треугольника равны 17 см и 10 см соответственно.
Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать
Треугольник ABC равнобедренный, AC основание треугольника?
Треугольник ABC равнобедренный, AC основание треугольника.
Внешний угол при вершине B равен 130 градусов.
Нацдите внутренние углы треугольника ABC.
Видео:№140. В треугольниках ABC и А1B1С1 медианы ВМ и B1М1 равны, АВ =А1B1, АС=А1С1. Докажите, что ΔABCСкачать
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45 градусов , а боковая сторона равна 4 см?
В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45 градусов , а боковая сторона равна 4 см.
Найдите основание треугольника.
Видео:№98. В треугольниках ABC и A1B1C1 AB = А1В1, АС = А1С1, ∠A=∠A1 На сторонах AB и A1B1 отмеченыСкачать
Дан равнобедренный треугольник ABC?
Дан равнобедренный треугольник ABC.
Боковые стороны по 50 см, основание 60.
Как найти углы треугольника?
Видео:№141. В треугольниках ABC и А1В1С1 отрезки AD и A1D1 — биссектрисы, АВ=А1В1, BD = B1D1 и AD=A1D1.Скачать
Докажите что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, д?
Докажите что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.
Видео:№154. Дан треугольник ABC. Постройте: а) биссектрису АК; б) медиану ВМ; в) высоту СН треугольника.Скачать
Помогите пожалуйста Углы против оснований в двух равнобедренных Треугольников равны друг другу?
Помогите пожалуйста Углы против оснований в двух равнобедренных Треугольников равны друг другу.
Основание и Боковая сторона одного из них равны 12 см и 8 см соответственно.
Найдите основание другого треугольник, учитывая, что его боковая сторона равна 12 см.
Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать
В равнобедренном треугольнике ABC?
В равнобедренном треугольнике ABC.
Углы А и В равны 56 градусов.
Какая из сторон треугольника является его основанием?
Вы перешли к вопросу Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.
🌟 Видео
№262 В треугольниках ABC и А1В1С1 углы А и А1 — прямые, BD и В1D1— биссектрисы. Докажите, чтоСкачать
№21. Треугольники ABC и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите,Скачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
№973. Даны координаты вершин треугольника ABC: А (4; 6), В (-4; 0), С (-1; -4). Напишите уравнениеСкачать
№357. Даны параллелограммы ABCD и AB1C1D1. Докажите, что векторы ВВ1, СС1 и DD1 компланарны.Скачать