Даны треугольники abc и a1b1c1

Ваш ответ

решение вопроса

Похожие вопросы

• Все категории
• экономические 43,285
• гуманитарные 33,619
• юридические 17,900
• школьный раздел 607,101
• разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Даны треугольники abc и a1b1c1

§ 8. Первый и второй признаки равенства треугольников

Если для треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 выполняются шесть условий: ∠ A = ∠ A 1 , ∠ B = ∠ B 1 , ∠ C = ∠ C 1 , AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , CA = C 1 A 1 , то очевидно, что эти треугольники совпадут при наложении. Значит, они равны.

Попробуем уменьшить количество условий. Например, оставим лишь два равенства: AB = A 1 B 1 и BC = B 1 C 1 . В этом случае треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 могут оказаться неравными (рис. 125).

Как же сократить список требований до минимума, но при этом сохранить равенство треугольников? На этот вопрос отвечают теоремы, которые называют признаками равенства треугольников .

(первый признак равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны соответственно двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых AB = A 1 B 1 , BC = B 1 C 1 , ∠ B = ∠ B 1 (рис. 126). Докажем, что ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 .

Наложим ∆ ABC на ∆ A 1 B 1 C 1 так, чтобы луч BA совместился с лучом B 1 A 1 , а луч BC совместился с лучом B 1 C 1 . Это можно сделать, так как по условию ∠ B = ∠ B 1 . Поскольку по условию BA = B 1 A 1 и BC = B 1 C 1 , то при таком наложении сторона BA совместится со стороной B 1 A 1 , а сторона BC — со стороной B 1 C 1 . Следовательно, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, значит, они равны.

Прямую, перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину, называют серединным перпендикуляром отрезка.

На рисунке 127 прямая a — серединный перпендикуляр отрезка AB , а точки A и B равноудалены от прямой a .

Каждая точка серединного перпендикуляра отрезка равноудалена от концов этого отрезка.

Пусть X — произвольная точка серединного перпендикуляра a отрезка AB , точка M — середина отрезка AB . Надо доказать, что XA = XB .

Если точка X совпадает с точкой M (а это возможно, так как X — произвольная точка прямой a ), то XA = XB .

Если точки X и M не совпадают, то рассмотрим треугольники AXM и BXM (рис. 128). В этих треугольниках AM = MB , так как точка M — середина отрезка AB , сторона XM — общая, ∠ AMX = ∠ BMX = 90°. Следовательно, треугольники AXM и BXM равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, отрезки XA и XB равны как соответственные стороны равных треугольников.

(второй признак равенства треугольников: по стороне и двум прилежащим к ней углам)

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны соответственно стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Рассмотрим треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 , у которых AC = A 1 C 1 , ∠ A = ∠ A 1 , ∠ C = ∠ C 1 (рис. 129). Докажем, что ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 .

Наложим треугольник ABC на треугольник A 1 B 1 C 1 так, чтобы точка A совместилась с точкой A 1 , отрезок AC — с отрезком A 1 C 1 (это возможно, так как AC = A 1 C 1 ) и точки B и B 1 лежали в одной полуплоскости относительно прямой A 1 C 1 . Поскольку ∠ A = ∠ A 1 и ∠ C = ∠ C 1 , то луч AB совместится с лучом A 1 B 1 , а луч CB — с лучом C 1 B 1 . Тогда точка B — общая точка лучей AB и CB — совместится с точкой B 1 — общей точкой лучей A 1 B 1 и C 1 B 1 . Значит, треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 полностью совместятся, следовательно, они равны.

Задача. На рисунке 130 точка O — середина отрезка BD , ∠ ABO = ∠ CDO . Докажите, что BC = AD .

Решение. Рассмотрим ∆ AOB и ∆ COD . Так как точка O — середина отрезка BD , то BO = OD . По условию ∠ ABO = ∠ CDO . Углы AOB и COD равны как вертикальные. Следовательно, ∆ AOB = ∆ COD по стороне и двум прилежащим углам.

Отсюда AB = CD , ∠ BAC = ∠ DCA . Заметим, что AC — общая сторона треугольников ABC и ADC . Следовательно, ∆ ABC = ∆ ACD по двум сторонам и углу между ними. Тогда BC = AD .

1. Сформулируйте первый признак равенства треугольников.
2. Какую прямую называют серединным перпендикуляром отрезка?
3. Каким свойством обладают точки серединного перпендикуляра?
4. Сформулируйте второй признак равенства треугольников.

154. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 и 6 см, а угол между ними — 40°.

155. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, две стороны которого равны 3 см и 4 см, а угол между ними — 90°. Укажите вид этого треугольника.

156. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 3 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — 100° и 20°. Укажите вид этого треугольника.

157. С помощью линейки и транспортира постройте треугольник, одна сторона которого равна 6 см, а углы, прилежащие к этой стороне, — 90° и 45°.

158. Перерисуйте в тетрадь рисунок 131. С помощью угольника и линейки найдите на прямой l точку, равноудалённую от концов отрезка AB .

159. Перерисуйте в тетрадь рисунок 132. С помощью угольника и линейки найдите точку, равноудалённую от точек A и B , а также точек C и D .

160. На рисунке 133 AC = DC , BC = EC . Докажите, что ∆ ABC = ∆ DEC .

161. На рисунке 134 AB = AD , ∠ BAC = ∠ DAC . Докажите, что ∆ ABC = ∆ ADC .

162. На рисунке 135 AB = CD , ∠ 1 = ∠ 2, AD = 7 см, ∠ C = 34°. Найдите отрезок BC и угол A .

163. На рисунке 136 AO = OD , BO = OC . Найдите сторону CD и угол OCD треугольника OCD , если AB = 8 см, ∠ OBA = 43°.

164. Дано: OA = OC , OB = OD (рис. 137). Докажите, что ∠ OAD = ∠ OCB .

165. Дано: AD ⊥ BC , BD = CD (рис. 138). Докажите, что AB = AC .

166. Из точек A и B , лежащих в одной полуплоскости относительно прямой a и на одинаковом расстоянии от неё, опущены на эту прямую перпендикуляры AC и BD . Найдите угол ACB , если ∠ ADC = 25°.

167. Отрезки AD и BC пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. Найдите угол ACD , если ∠ ABC = 64°, ∠ ACO = 56°.

168. На рисунке 139 AB ⊥ BD , CD ⊥ BD , точка O — середина отрезка BD . Докажите, что ∆ ABO = ∆ CDO .

169. На рисунке 140 ∠ 1 = ∠ 2, ∠ 3 = ∠ 4, AB = 8 см, BC = 6 см. Найдите стороны AD и CD треугольника ADC .

170. На рисунке 141 ∠ ABC = ∠ DEF , BO = OE . Докажите, что ∆ BCO = ∆ EFO .

171. На рисунке 142 ∠ BAO = ∠ DCO , ∠ BAC = ∠ DCA . Докажите, что ∆ ABC = ∆ ACD .

172. На сторонах угла с вершиной в точке B отмечены точки A и C , а на его биссектрисе — точка D так, что ∠ ADB = ∠ CDB . Докажите, что AB = BC .

173. Через точку M , принадлежащую биссектрисе угла с вершиной в точке O , провели прямую, перпендикулярную биссектрисе. Эта прямая пересекает стороны данного угла в точках A и B . Докажите, что AM = MB .

174. На рисунке 143 ∆ ABC = ∆ ADC . Докажите, что ∆ ABK = ∆ ADK .

175. На рисунке 144 ∆ ABC = ∆ A 1 B 1 C 1 , ∠ DBC = ∠ D 1 B 1 C 1 . Докажите, что ∆ DBC = ∆ D 1 B 1 C 1 .

176. На рисунке 145 ∆ MKO = ∆ MPO . Докажите, что ∆ KOE = ∆ POE .

177. На рисунке 146 BM ⊥ AD , CK ⊥ AD , BM = CK , AM = KD . Докажите, что ∆ ABD = ∆ ADC .

178. Докажите, что в равных треугольниках биссектрисы соответственных углов равны.

179. Докажите, что в равных треугольниках медианы, проведённые к соответственным сторонам, равны.

180. На продолжении медианы AM треугольника ABC за точку M отложен отрезок MK , равный AM . Найдите расстояние от точки K до вершины C , если AB = 6 см.

181. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся точкой пересечения пополам. Докажите, что ∆ ABC = ∆ BAD .

182. На рисунке 147 прямые m и n — серединные перпендикуляры сторон AB и AC треугольника ABC . Докажите, что точка O равноудалена от всех вершин данного треугольника.

183. Для нахождения расстояния от точки B до колокольни A , расположенной на другом берегу реки (рис. 148), с помощью вешек, рулетки и астролябии отметили на местности точки C , D и E так, что B , C и D лежат на одной прямой, причём точка C является серединой отрезка BD , и наметили прямую AE , проходящую через точку C , причём ∠ ABC = ∠ CDE . Потом, измерив одну из сторон треугольника CDE , определили расстояние от B до A . Какую сторону измерили? Ответ обоснуйте.

184. Для определения ширины озера (рис. 149) на его берегу отметили точки A и B , а потом ещё точки C , D и O так, что точка O — общая середина отрезков AC и BD . Как можно определить ширину озера? Ответ обоснуйте.

185. Докажите равенство двух треугольников по стороне, медиане, проведённой к этой стороне, и углу между этой стороной и медианой.

186. Докажите равенство двух треугольников по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе этого угла.

187. Докажите равенство двух треугольников по биссектрисе, углу, из вершины которого проведена эта биссектриса, и углу, образованному биссектрисой со стороной, к которой она проведена.

188. Серединный перпендикуляр стороны BC треугольника ABC пересекает его сторону AB в точке D . Найдите длину отрезка AD , если CD = 4 см, AB = 7 см.

189. Серединный перпендикуляр стороны AB треугольника ABC пересекает его сторону BC в точке M . Найдите длину стороны AC треугольника ABC , если BC = 16 см, а периметр треугольника AMC равен 26 см.

190. На рисунке 150 OA = OD . Добавьте ещё одно условие так, чтобы треугольники АОС и DOB оказались равными:

1) по первому признаку равенства треугольников;

2) по второму признаку равенства треугольников.

191. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O и делятся этой точкой пополам. На отрезке AC отмечена точка M , а на отрезке BD — точка K так, что AM = BK . Докажите, что: 1) OM = OK ; 2) точки M , O и K лежат на одной прямой.

192. На одной стороне угла с вершиной в точке O (рис. 151) отмечены точки A и B , а на другой — точки C и D так, что OA = OC , AB = CD . Докажите, что луч OM является биссектрисой угла BOD , где M — точка пересечения отрезков AD и BC .

Упражнения для повторения

193. Истинно ли утверждение: если через каждые две из трёх данных точек провести прямую, то получим три прямые?

194. Лучи OD и OF — биссектрисы смежных углов AOB и BOC соответственно, ∠ AOD : ∠ FOC = 2 : 7. Найдите ∠ AOD и ∠ FOC .

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

195. Разделите каждую из фигур, изображённых на рисунке 152, по линиям сетки на четыре равные части так, чтобы в каждой части был ровно один кружок.

Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1?

Геометрия | 5 — 9 классы

Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1.

Боковые стороны равны соответственно 54, 6 см и 21 см.

Нацдите основания треугольников, если aa1 = 24, 8 см, cc1 = 20 см Помогите пожалуйста!

(3номер) Если знаете напишите пожалуйста и 5 номер).

Угол В равен углу В1, значит углы при основаниях этих равнобедренных треугольников равны между собой, и, стало быть, треугольники подобны по первому признаку.

Запишем отношение пропорциональных сторон : A1B1 / AB = A1C1 / AC, значит 21 / 54, 6 = А1С1 / (24, 8 + 20 + А1С1), тогда 3 * (44, 8 + A1C1) = 7, 8 * A1C1, следовательно 44, 8 = 1, 6 * A1C1.

AC = 28 + 44, 8 = 72, 8.

В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 16 см, высота равна 6 см?

В равнобедренном треугольнике ABC основание AC равно 16 см, высота равна 6 см.

Найти боковую сторону треугольника.

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой стороне проведена медиана AD , равная 13 см ?

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC к боковой стороне проведена медиана AD , равная 13 см .

Найдите стороны треугольника ABC , если периметры треугольников ABD и ADC равны 49 см и 30 см соответственно.

В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC) боковая сторона равна 17 см, а высота AK равна 8 см?

В равнобедренном треугольнике ABC (основание AC) боковая сторона равна 17 см, а высота AK равна 8 см.

Найдите основание треугольника.

У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах?

У двух равнобедренных треугольников равны углы при вершинах.

Основание одного из треугольников равно 8 см.

Найдите боковую сторону этого треугольника если боковая сторона и основание другого треугольника равны 17 см и 10 см соответственно.

Треугольник ABC равнобедренный, AC основание треугольника?

Треугольник ABC равнобедренный, AC основание треугольника.

Внешний угол при вершине B равен 130 градусов.

Нацдите внутренние углы треугольника ABC.

В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45 градусов , а боковая сторона равна 4 см?

В равнобедренном треугольнике ABC угол при вершине равен 45 градусов , а боковая сторона равна 4 см.

Найдите основание треугольника.

Дан равнобедренный треугольник ABC?

Дан равнобедренный треугольник ABC.

Боковые стороны по 50 см, основание 60.

Как найти углы треугольника?

Докажите что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, д?

Докажите что два равнобедренных треугольника равны, если боковая сторона и угол, противолежащий основанию, одного треугольника соответственно равны боковой стороне и углу, противолежащему основанию, другого треугольника.

Помогите пожалуйста Углы против оснований в двух равнобедренных Треугольников равны друг другу?

Помогите пожалуйста Углы против оснований в двух равнобедренных Треугольников равны друг другу.

Основание и Боковая сторона одного из них равны 12 см и 8 см соответственно.

Найдите основание другого треугольник, учитывая, что его боковая сторона равна 12 см.

В равнобедренном треугольнике ABC?

В равнобедренном треугольнике ABC.

Углы А и В равны 56 градусов.

Какая из сторон треугольника является его основанием?

Вы перешли к вопросу Треугольники abc и a1b1c1 равнобедренные с равным углом при вершинах b и b1?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.