Окружность доказать ab равно bc

Окружность касается стороны AB треугольника ABC, у которого ∠C = 90°, и продолжении его сторон AC и BC за точки A и B соответственно. Докажите, что периметр треугольника ABC равен диаметру этой окружности.

Решение:

Пусть d-диаметр
Четырехугольник OMCT ∠C = ∠ M= ∠K = 90°, следовательно, OMCT — прямоугольник.
OM = OT радиусы, прямоугольник OMCT — квадрат. OM = OT=TC=CB

Отрезки касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны:
AT= AL, BL= BM .

Периметр треугольника ∆ABC равен:

P = AB + BC + AC = (AL + BL) + BC+AC = (AT+AC) +( BM + BC) = TC + CM = 2TC = d.

Видео урока, где рассмотрено решение этой задачи и не только.
Кликните СЮДА, чтобы посмотреть видео.
Подписывайтесь на канал на YOUTUBE и смотрите видео, подготавливайтесь к экзаменам по математике и геометрии с нами.

Решение задачи №16 с настоящего ЕГЭ 2018

Условие задачи

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R = 8. Известно, что AB=BC=CD=12.

а) Докажите,что прямые BC и AD параллельны.

Решение

а) Докажем, что BC∥AD.

Равные дуги стягиваются равными хордами.

Дуги АВ и CD, стягиваемые равными хордами АВ и CD, равны.

Значит, ∠АСВ=∠CAD — как опирающиеся на равные дуги. Эти углы — накрестлежащие при прямых BC и AD и секущей АС.

б) Найдем AD, если АВ=ВС=CD=12, R=8.
эж
По теореме синусов,

— так как опираются на равные хорды.

Так как ABCD — равнобедренная трапеция,

По теореме синусов из треугольника CDA:

По теореме косинусов из △ACD:

‘ alt=’sin varphi =displaystyle frac = >’ />

x=12 или х =9.
Если х=12, то ABCD — квадрат (ромб, вписанный в окружность). Тогда условие R=8 не выполняется.

Окружность доказать ab равно bc

Около окружности с центром O описана трапеция ABCD с основаниями AD и BC.

а) Докажите, что AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Найдите отношение площади четырёхугольника, вершины которого — точки касания окружности со сторонами трапеции, к площади самой трапеции ABCD, если известно, что AB = CD, а основания трапеции относятся как 1 : 2.

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC соответственно. Следовательно,

Если угол, вписанный в окружность, прямой, то он опирается на диаметр. Следовательно, отрезок AB — диаметр окружности, описанной около треугольника AOB.

б) Пусть K, L, M и N — точки касания окружности со сторонами AB, BC, CD и AD данной трапеции соответственно. Тогда L — середина основания BC, потому что углы ABC и BCD равны, углы OBL и OCL равны и прямоугольные треугольники OBL и OCL равны по общему катету OL и острому углу. Аналогично N — середина основания AD. Обозначим CM = CL = BL = BK = x; DM = DN = AN = AK = y (x

Пусть площадь трапеции ABCD равна S, а площадь четырёхугольника KLMN равна S₁. Тогда

а так как диагонали KM и LN четырёхугольника KLMN перпендикулярны, получаем, что

Следовательно,

Ответ: б)