Около любой трапеции можно описать окружность

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Видео:Около трапеции описана окружностьСкачать

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео:№710. Докажите, что если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция равнобедренная.Скачать

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Трапеция.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если у нее два угла прямые.

Основные свойства трапеции:

1. Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
2. Средняя линия трапеция параллельна её основаниям и равна их полусумме.
3. В любой трапеции следующие точки лежат на одной прямой: точка пересечения продолжений боковых сторон, середины оснований и точка пересечения диагоналей.
4. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
5. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Если сумма углов, при любом основании трапеции, равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
8. Биссектриса любого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
9. Биссектрисы углов, при боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
10. Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
11. Отрезок, заключенный между боковых сторон трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей — среднее гармоническое оснований трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Диагонали равны.
2. Углы при основании равны.
3. Сумма противоположных углов равна 180°.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший — полуразности оснований.

Описанная трапеция:

1. Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
2. Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому длин отрезков, на которые радиус вписанной окружности делит боковую сторону, точкой касания.
3. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Вписанная трапеция:

1. Трапецию можно вписать в окружность,если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь трапеции:

1. Формула площади трапеции через основания и высоту: S=0,5·(a+b)·h.
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Любую трапецию можно описать окружность

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Если около трапеции можно описать окружность

Если около трапеции можно описать окружность, что можно сказать о виде этой трапеции?

(IV признак равнобедренной трапеции)

Если около трапеции можно описать окружность, то она — равнобедренная.

Дано: ABCD — трапеция,

окружность (O; R) — описанная,

Доказать : трапеция ABCD — равнобедренная.

Если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусов.

Следовательно, в трапеции ABCD

Значит, трапеция ABCD- равнобедренная (по III признаку).

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

Видео:9 класс, 23 урок, Окружность, вписанная в правильный многоугольникСкачать

Площадь

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

Трапеция.

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны. Параллельные стороны трапеции называются её основаниями, а две другие — боковыми сторонами.

Трапеция называется равнобедренной, если её боковые стороны равны.

Трапеция называется прямоугольной, если у нее два угла прямые.

Основные свойства трапеции:

1. Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°.
2. Средняя линия трапеция параллельна её основаниям и равна их полусумме.
3. В любой трапеции следующие точки лежат на одной прямой: точка пересечения продолжений боковых сторон, середины оснований и точка пересечения диагоналей.
4. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.
5. Треугольники, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.
6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.
7. Если сумма углов, при любом основании трапеции, равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
8. Биссектриса любого угла трапеции отсекает от нее равнобедренный треугольник.
9. Биссектрисы углов, при боковой стороне трапеции, перпендикулярны.
10. Если в трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.
11. Отрезок, заключенный между боковых сторон трапеции, параллельный основаниям трапеции и проходящий через точку пересечения ее диагоналей — среднее гармоническое оснований трапеции.

Свойства равнобедренной трапеции:

1. Диагонали равны.
2. Углы при основании равны.
3. Сумма противоположных углов равна 180°.
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.
5. Высота, опущенная из вершины тупого угла равнобедренной трапеции, делит большее основание трапеции на два отрезка, больший из которых равен полусумме оснований, а меньший — полуразности оснований.

Описанная трапеция:

1. Если вокруг трапеции можно описать окружность, то трапеция равнобедренная.
2. Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому длин отрезков, на которые радиус вписанной окружности делит боковую сторону, точкой касания.
3. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции.

Вписанная трапеция:

1. Трапецию можно вписать в окружность,если сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон.

Площадь трапеции:

1. Формула площади трапеции через основания и высоту: S=0,5·(a+b)·h.
2. Формула площади трапеции через диагонали и угол между ними: S=0,5·d₁·d₂·sinφ.

🔥 Видео

ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

ОГЭ/База Все прототипы задач на окружностиСкачать

Кто нибудь знает при каких условиях в трапецию можно вписать окружность Как описать тест УчителюСкачать