Одной и той же точке единичной окружности соответствует две (4 видео)

Истинно ли это высказывание? При повороте против часовой стрелки угол поворота считают положительным, а при повороте по часовой стрелке – отрицательным .

Истинно ли это высказывание? Чтобы перевести градусную меру в радианную нужно данную градусную меру разделить на π и умножить на 180º.

Истинно ли это высказывание? Чтобы перевести радианную меру в градусную нужно данную радианную меру умножить на 180º и разделить на π.

Истинно ли это высказывание? Одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел α+2πk, где k – целое число, задающих поворот точки Р(1; 0) в точку М.

Верно ли высказывание? Углом в один радиан называют центральный угол, которому соответствует длина дуги, равная длине радиуса окружности.

Верно ли высказывание? Чтобы перевести радианную меру в градусную нужно данную радианную меру разделить на 180º и умножить на π.

Содержание

Числовая окружность
Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).
Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?
Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.
Главное свойство числовой окружности
Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.
Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:
Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 1)
Выберите документ из архива для просмотра:
📹 Видео

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Числовая окружность

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, (frac, frac, frac, 10π, -frac)) разбирается в этой статье .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют действительным числам , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки — положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (t);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние (t), то мы попадем в точку со значением (–t).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен (1). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках (1) и (-1).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы (l=2πR) мы получим:

Длина числовой окружности равна (2π) или примерно (6,28).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» — точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности — каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте (1) на оси (x) и (0) на окружности – это точки на разных объектах.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

Какие точки соответствуют числам (1), (2) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен (1)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу (2), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы (3) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: (2π). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли числа (π) : ( frac),(-frac),(frac), (2π). Поэтому при работе с окружностью чаще используют числа с (π). Обозначать такие числа гораздо проще (как это делается можете прочитать в этой статье ).

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Главное свойство числовой окружности

Одному числу на числовой окружности соответствует одна точка, но одной точке соответствует множество чисел.

Такая вот математическая полигамия.

И следствие из этого правила:

Все значения одной точки на числовой окружности можно записать с помощью формулы:

Если хотите узнать логику этой формулы, и зачем она нужна, посмотрите это видео .

В данной статье мы рассмотрели только теорию о числовой окружности, о том как расставляются точки на числовой и окружности и принципе, как с ней работать вы можете прочитать здесь .

Что надо запомнить про числовую окружность:

Видео:10 класс - Алгебра - Числовая окружностьСкачать

Конспект лекций (раздаточный материал) по учебной дисциплине «Математика: Алгебра» по теме » Тригонометрические формулы» (часть 1)

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Выберите документ из архива для просмотра:

Выбранный для просмотра документ Конспект декций Тригонометрические формулы ч.1.docx

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«ВОЛЖСКИЙ ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ, ПЕДАГОГИКИ И ПРАВА»

Волжский социально-педагогический колледж

Математика: Алгебра (10-11кл., 1 курс СПО)

Конспект лекций (раздаточный материал) по разделу

«Тригонометрические формулы» (часть 1)

Автор: Бондаренко Людмила Валентиновна

Место работы: Волжский социально-педагогический колледж – структурное подразделение ВИЭПП

С оответствия между точками числовой прямой и точками окружности.

Пусть вертикальная прямая касается в точке Р окружности с центром О ра диуса 1 . Будем считать эту прямую числовой осью с началом в точке Р , а положительным направле нием на прямой направление вверх .

За единицу длины на числовой оси возь мем радиус окружности . Отметим на прямой несколько точек: ±1, ±3, ± π , где π 3,14 — иррациональ ное число . Вообразив эту прямую в ви де нерастяжимой нити , закрепленной на окружности в точке Р , будем мыс ленно наматывать ее на окружность. При этом точки числовой прямой с ко ординатами, например , 1, , — 1, — 2 перейдут соответственно в точки окружности М ₁ М ₂ , М ₃ , М ₄ , такие, что длина дуги PM ₁ , равна 1 , длина дуги РМ ₂ равна и т. д.

Таким образом, каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Рассмотрим окружность радиуса R и отметим на ней дугу РМ длины R и угол РОМ.

Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан и обозначается 1 рад.

Найдем градусную меру угла в 1 радиан . Так как дуга длиной π R (полуокружность) стягивает центральный угол в 180° , то дуга длиной R стягивает угол в π раз меньший , т.е. 1 рад = 0 ; Так как π 3,14 , то 1 рад57,3°.

Если угол содержит α градусов , то его радианная мера равна α 0 = · α рад.

Применение радианной меры удобно для вычисления длины окружности , а также длины дуги .

Обычно при обозначении меры угла в радианах наименование « рад » опускают.

Поворот точки единичной окружности вокруг начала координат.

Покажем теперь, как можно установить соответ ствие между действительными числами и

Рассмотрим на координатной плоскости окруж ность радиуса 1 с центром в начале координат . Ее называют единичной окружностью ( тригонометрической окружностью ). Введем понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала координат на угол α рад, где α — любое действительное число.

За положительное направление на единичной окружности принимают направление вращения против часовой стрелки.

За отрицательное направление на единичной окружности принимают направление вращение по часовой стрелке.

1 . Пусть α > 0 . Предположим, что точка, двига ясь по единичной окружности от точки Р (1;0) против часовой стрелки , прошла путь длиной α . Конечную точку пути обозначим М . B этом случае будем говорить, что точка М полу чена из точки Р поворотом вокруг начала коор динат на угол α рад .

2 . . Пусть α . В этом случае поворот на угол α рад означает, что движение совершалось по ча совой стрелке и точка прошла путь длиной | α |. Поворот на 0 рад означает, что точка остается месте .

Посмотрите таблицу поворотов на некоторые углы, выраженные в

* каждому действительному числу а соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая поворотом точки Р(1;0) на угол α рад;

* одной и той же точке М единичной окружности соответствует бесконечное множество действительных чисел α + 2π k , где k — целое число , задающих поворот точки Р (1;0) в точку М .

Задача 1. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р ( 1;0 ) на угол: 1) 7π ; 2) — . Решение. 1).Так как 7π = π + 2π · 3 , то при повороте на 7π получается та же самая точка, что и при повороте на π , т.е. получается точка с координатами ( -1;0 ).

2).Так как — = — — 2π , то при повороте на — получается та же самая точка, что и при повороте на — , т.е. получается точка с координатами ( 0; -1 ).

Задача 2. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку ( 1;0 ), чтобы получить точку М ; 〕 . Решение . Из прямоугольного АОМ следует, что угол АОМ равен , т.е. один из возможных углов поворота равен . Следовательно, все углы, на которые нужно повернуть точку ( 1;0 ), чтобы получить точку ; 〕 , выражаются так: + 2π k , где k — любое целое число (т.е. k = 0; 1; 2;… ).

Определение синуса, косинуса и тангенса угла

В курсе геометрии были введены определения синуса, косинуса и тангенса угла , выраженного в градусах. Вспомним эти определения :

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе. sin A= a /b; sin C= c /b.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе: cos A= c /b; cos C= a /b.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему: tg A= a /c; tg C= c /a.

В тригонометрии рассматриваются произвольные углы. Как определить синус, косинус в этом случае? Рассмотрим единичную окружность, т.е. окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1.

Каждой точке на единичной окружности соответствует угол α , координата х и координата y .

Определение 1. Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α ), т.е. sin α = у

Определение 2 . Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1; 0) вокруг начала координат на угол α (обозначается cos α ), т.е. cos α = х

Итак, косинус и синус — координаты точки на единичной окружности , соответствующей данному углу . Косинус — абсцисса (x), синус — ордината (y). В этих определениях угол α может выражаться как в градусах , так и в радианах .

Например , при повороте точки ( 1; 0 ) на угол , т. е. угол 90°, получается точка ( 0; 1 ). Ордината точки ( 0; 1 ) равна 1 , поэтому sin = sin 90° = 1 ; абсцисса этой точки равна 0 , поэтому cos = cos 90° = 0

Задача 3. Решить уравнение sin х = 0. Решение. Решить уравнение sin х = 0 — это значит найти все углы, синус которых равен нулю . Ординату равную нулю имеют две точки единичной окружности ( 1;0 ) и ( -1;0 ) (Рис. 1). Эти точки получаются из точки ( 1;0 ) поворотом на углы 0 , π, 2π, 3π и т.д., а также на углы — π, -2π, -3π и т.д. Следовательно sin х = 0 при х = π k , где k — любое целое числ о. Ответ можно записать х = π k , k Z .

Задача 4 . Решить уравнение cos х = 0. Решение. Абсциссу равную нулю имеют две точки единичной окружности ( 0;1 ) и ( 0;-1 ) (Рис. 3). Эти точки получаются из точки ( 1;0 ) поворотом на углы , π, + 2π и т.д., а также на углы π, — 2π и т.д. Т.е. на углы π k , k

Знаки синуса и косинуса и тангенса

Пусть точка ( 1; 0 ) движется по единичной окружности против часовой стрелки .

* Для точек , расположенных во второй четверти , ординаты положительны , а абсциссы отрицательны . Следовательно, sin α > 0 , cos α 0 , если α π .

При дальнейшем движении точки по окружности знаки синуса и косинуса определяются тем , в какой четверти окажется точка .

Если точка ( 1; 0 ) движется по часовой стрелке , то знаки синуса и косинуса также определяются тем , в какой четверти окажется точка .

Знаки тангенса. По определению

Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла

Выясним зависимость между синусом и косинусом .

Пусть точка М(х; у) единичной окружности получена поворотом точки ( 1; 0 ) на угол α .Тогда по определению синуса и косинуса х = cos α , у = sin α .

Точка М принадлежит единичной окружности , поэтому ее координаты (х; у) удовлетворяют уравнению единичной окружности х 2 + у 2 = 1 . Следовательно,

Равенство ( 1 ) выполняется при любых значениях α и называется основным тригонометрическим тождеством.

Из равенства (1) можно sin α выразить через cos α и cos α через sin α :

В этих формулах знак перед корнем определяется знаком выражения, стоящего в левой части формулы, т.е. от того, в какой четверти расположен угол.

Поэтому в формуле ( 3 ) перед корнем нужно поставить знак «+» :

Выясним теперь зависимость между тангенсом и котангенсом . По определению тангенса и котангенса .

Из равенства ( 4 ) можно выразить tg α через ctg α и наоборот:

Т.к. α π , то cos α 0 . Поэтому

Следовательно

Используя основное тригонометрическое тождеств о и определение тангенса , найдем зависимость между тангенсом и косинусом.

Получим равенство , откуда

Тангенс во второй четверти отрицателен, поэтому tg α = — .

Задача 6 . Вычислить cos α , если tg α = 3 и π α . Решение . Из формулы ( 7 ) находим Так как π α , то cos α 0 , и поэтому cos α = —

Задача 1. Доказать, что при α πk , k Z , справедливо равенство

Решение. По определению ctg α = , поэтому

Равенство ( 1 ) справедливо для всех допустимых значений входящих в него букв ( т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл,) называют тождеством, а задачи на доказательство таких равенств называют задачами на доказательство тождеств .

Задача 3 . Доказать тождество Решение . Чтобы доказать это тождество, покажем, что разность между его левой и правой частями равна нулю:

При решении задач 1—3 использовались следующие способы доказательства тождеств :

преобразование правой части к левой; преобразование левой части к правой; установление того, что разность между правой и левой частями равна нулю. Иногда удобно доказательство тождества провести преобразованием его левой и правой частей к одному и тому же выражению.

Задача 4. Доказать тождество Решение .

Тождество доказано , так как его левая и правая части равны cos 2 α — sin 2 α .

Задача 5. Упростить выражение Решение

Решение задач по теме « Тригонометрические тождества»

Используя определение тангенса, имеем

Таким образом, tg ( — α ) = — tg α . ( 3 )

Можно показать, что если α πk , k Z то ctg ( -α ) = — ctg α . Формулы ( 1 ) — ( 3 ) позволяют сводить вычисление значений синуса , косинуса и тангенса отрицательных углов к вычислению их значений для положительных углов.

Например :

sin 45 0 sin 30 0 = · — · =

sin 45 0 sin 30 0 = · + · =

Задача 3. Доказать формулы

При α = по формуле ( 2 ) получаем т.е. ( 4 )

Заменив в этой формуле β на α, получим Полагая в формуле ( 4 ) β = – α, имеем

Используя формулы ( 1 ) – ( 4 ), выведем формулы сложения для синуса :

Заменяя в формуле ( 5 ) β на – β, получаем

Задача 5. Вычислить Решение.

Для получения формулы тангенса суммы и тангенса разности достаточно применить основное тригонометрическое тождество и разделить числитель и знаменатель полученной дроби на cos α cos β , где cos α ≠ 0 и cos β ≠ 0. ( 7 )