Одна прямая касается окружности в точке к

Решение №2220 Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К.

Через точку А, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке К. Другая прямая пересекает окружность в точках В и С, причём АВ = 4, BС = 12. Найдите АК.
Одна прямая касается окружности в точке к

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (50 вариантов)

Найдём АС:

АС = АВ + ВС = 4 + 12 = 16

По теореме о секущей и касательной (подробно о ней здесь):
Если из одной точки (А) к окружности проведены секущая (АС) и касательная (АК), то произведение всей секущей (АС) на ее внешнюю часть (АВ) равно квадрату отрезка касательной (АК).

АС·АВ = АК 2
16·4 = АК 2
64 = АК 2
АК = √64 = 8

Ответ: 8.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Видео:ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)Скачать

ОГЭ за одну минуту | ОГЭ, математика, задание 16 (окружность и касательная)

Касательная к окружности

Определение 1. Прямая, которая имеет с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

На рисунке 1 прямая l является касательной к окружности с центром O, а точка M является точкой касания прямой и окружности.

Одна прямая касается окружности в точке к

Видео:Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Прямая касается окружности в точке K ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойство касательной

Теорема 1 (Теорема о свойстве касательной). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному из центра окружности к точке касания прямой и окружности.

Доказательство. Пусть l касательная к окружности с центром O и M − точка касания прямой и окружности (Рис.1). Докажем, что ( small l ⊥ OM .)

Предположим, что радиус OM является наклонной к прямой l. Поскольку перпендикуляр, проведенной из точки O к прямой l меньше наклонной OM, от центра окружности до прямой l меньше радиуса окружности. Тогда прямая l и окружность имеют две общие точки (см. статью Взаимное расположение прямой и окружности). Но касательная не может иметь с окружностью две общие точки. Получили противоречие. Следовательно прямая l пенрпендикулярна к радиусу OM.Одна прямая касается окружности в точке к

Рассмотрим две касательные к окружности с центром O, которые проходят через точку A и касаются окружности в точках B и C (Рис.2). Отрезки AB и AC называются отрезками касательных, проведенных из точки A.

Одна прямая касается окружности в точке к

Теорема 2. Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через данную точку и центр окружности.

Доказательство. Рассмотрим рисунок 2. По теореме 1 касательные AC и AB перпендикулярны радиусам OC и OB, соответственно. Тогда углы 3 и 4 прямые, а треугольники ACO и ABO, прямоугольные. Эти треугольники равны по катету (OC=OB) и гипотенузе (сторона AO− общая) (подробнее см. в статье Прямоугольный треугольник. Онлайн калькулятор). Тогда AB=AC и ( small angle 1=angle 2 .) Что и требовалось доказать.Одна прямая касается окружности в точке к

Видео:через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИСкачать

через точку А, лежащую вне окружности проведены две прямые. Одна прямая касается.. ФИПИ

Теорема, обратная теореме о свойстве касательной

Теорема 3. Если прямая проходит через конец радиуса, лежащей на окружности и перпенжикулярна к этому радиусу, то эта прямая является касательной.

Доказательство. По условию теоремы данный радиус является перпендикуляром от центра окружности к данной прямой. То есть расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, и, следовательно, прямая и окружность имеют только одну общую точку (теорема 2 статьи Взаимное расположение прямой и окружности). Но это означает, что данная прямая является касательной к окружности (Определение 1).

Видео:На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружностиСкачать

На окружности отмечены точки А и В так, что меньшая дуга АВ равна 68°. Прямая ВС касается окружности

Построение касательной к окружности

Задача 1. Через точку M окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.3).

Одна прямая касается окружности в точке кОдна прямая касается окружности в точке к

Решение. Проведем прямую p через точки O и M. На прямой p из точки M отложим отрезок MN равной OM. Построим две окружности с центрами O и N и одинаковыми радиусами ON. Через точки пересечения этих окружностей проведем прямую l. Полученная прямая является касательным к окружности с центром O и радиусом OM.

Задача 2. Через точку A не принадлежащая к окружности с центром O провести касательную этой окружности (Рис.5).

Одна прямая касается окружности в точке кОдна прямая касается окружности в точке к

Решение. Проведем прямую p через точки O и A (Рис.6). Найдем среднюю точку отрезка OA и обозначим буквой K. Постоим окружность с центром K радиусом KO=KA. Найдем точки пересечения этой окружности с окружностью с центром O. Получим точки B и C. Через точки A и C проведем прямую m. Через точки A и B проведем прямую n. Прямые m и n являются касательными к окружности с центром O.

Видео:Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.Скачать

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые.

Одна прямая касается окружности в точке к

Вопрос по геометрии:

Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности в точке K. Другая прямая пересекает окружность
в точках B и C, причём AB=2, BC=6. Найдите AK.

Одна прямая касается окружности в точке к

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

🎥 Видео

ОГЭ по математике. На окружности отмечены точки (вар. 3) √ 17 модель геометрия ОГЭСкачать

ОГЭ по математике. На окружности отмечены точки (вар. 3) √ 17 модель геометрия ОГЭ

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨ #огэ #математика #егэ #геометрия #окружностьСкачать

ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨               #огэ #математика #егэ #геометрия #окружность

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

ЕГЭ задание 16Скачать

ЕГЭ  задание 16

ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨ #огэ #математика #егэ #геометрия #окружностьСкачать

ОКРУЖНОСТИ В ОГЭ ✨               #огэ #математика #егэ #геометрия #окружность

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задание 16 ОГЭ по математике 2023Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике 2023

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92 градуса. Прямая BC касается окрСкачать

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 92 градуса. Прямая BC касается окр

16 задание ОГЭ по математике 2023 Касательная и секущая Shorts #shorts #огэпоматематике2023Скачать

16 задание ОГЭ по математике  2023  Касательная и секущая Shorts #shorts #огэпоматематике2023

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"Скачать

ОГЭ 2023. РАЗБОР ЗАДАНИЯ №16 "Окружность"

16 задание ОГЭ 2023 Окружность Касательная и секущая #ShortsСкачать

16 задание  ОГЭ 2023 Окружность  Касательная и секущая #Shorts

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.

Самая сложная задача ОГЭСкачать

Самая сложная задача ОГЭ
Поделиться или сохранить к себе: