Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.
Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.
Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).
Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.
Свойства касательной к окружности
Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.
Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.
Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:
окружность с центральной точкой А;
прямая а — касательная к ней;
радиус АВ, проведенный к касательной.
Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. а ⟂ АВ.
Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.
В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.
Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.
Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.
Задача
У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.
Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.
Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.
Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.
Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.
Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.
Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.
Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.
Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.
Задача 1
У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.
Решение
Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.
∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).
Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:
∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°
Итак, угол между касательными составляет 60°.
Задача 2
К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.
Решение
Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.
Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.
∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°
Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.
Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.
Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.
Задача 1
Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.
Решение
Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.
Найдем длину внешней части секущей:
МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)
МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64
Задача 2
Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.
Решение
Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.
В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.
Поскольку МВ = 2 МА, значит:
МА = МВ : 2 = (у + R) : 2
Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.
(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)
Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:
Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).
Ответ: MO = 10 см.
Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.
Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда AВ. Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.
Задача 1
Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.
Решение
Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.
АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°
Задача 2
У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.
Решение
Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:
КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°
Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.
∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2
Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:
∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°
Объясните как через данную точку окружности провести
Вопрос по геометрии:
Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
Ответы и объяснения 1
Соединить эту точку с центром окружности — получаем радиус. Проводим через точку окружности прямую, перпендикулярно к этому радиусу. Это будет касательная.
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.
Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности?
Геометрия | 5 — 9 классы
Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.
Соединить эту точку с центром окружности — получаем радиус.
Проводим через точку окружности прямую, перпендикулярно к этому радиусу.
Это будет касательная.
Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные?
Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные.
Радиус окружности равен 10 см.
Найдити длин касательных (расстояние от данной точки до точек касания).
Сколько различных можно провести к окружности через данную точку, лежащую 1) вне окружности : 2)на окружности 3) внутри окружности?
Сколько различных можно провести к окружности через данную точку, лежащую 1) вне окружности : 2)на окружности 3) внутри окружности?
2 ая задача может ли окружность касаться прямой в двух точках помогите пожалуйста.
Верно ли что через любую точку вне окружности можно провести к ней только одну касательную?
Верно ли что через любую точку вне окружности можно провести к ней только одну касательную?
Дана окружность с центром О, ОВ — радиус?
Дана окружность с центром О, ОВ — радиус.
Через точку В к окружности проведена касательная.
Точка С — точка, лежащая на касательной.
Докажите, что отрезок ОС больше радиуса окружности.
Дана окружность с центром в точке O?
Дана окружность с центром в точке O.
Через точку A, расположенную вне окружности, и точку O проведена прямая, пересекающая окружность в точках P и Q.
Найдите длину касательной AB, проведенной к данной окружность, если AP = 4, AQ = 9.
Построить окружность с радиусом в 3 сантиметра и отметить точку D удалённую от центра на 5 см и провести через неёё касательную к окружности?
Построить окружность с радиусом в 3 сантиметра и отметить точку D удалённую от центра на 5 см и провести через неёё касательную к окружности.
Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру , ограниченную дугой окружности и касательными, вписана вторая окружность?
Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру , ограниченную дугой окружности и касательными, вписана вторая окружность.
Расстояния от данной точки до центров окружностей равны 6 и 18.
Найдите радиусы окружностей.
Сколько касательных можно провести к окружности через точку : 1)лежащую на окружности 2)лежащую внутри окружности 3)лежащую вне окружности?
Сколько касательных можно провести к окружности через точку : 1)лежащую на окружности 2)лежащую внутри окружности 3)лежащую вне окружности.
Возьмем окружность и точку A вне нее?
Возьмем окружность и точку A вне нее.
Из этой точки к окружности можно провести две касательные.
Пусть одна касается окружности в точке B, а другая в точке C.
Имеет место равенство AB = AC.
Через точку, данную внутри окружности надо провести хорду так, чтобы она в точке делилась пополам?
Через точку, данную внутри окружности надо провести хорду так, чтобы она в точке делилась пополам.
На этой странице сайта размещен вопрос Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.
7)4a² / a = 4a в выражение (a² — 9b²) / 4a = 1 / (4a + 12b) подставим а и б. Смотри ответ на фото. 13поуа не знаю, скину, как решу.
3)6 6)1 : 3 5)x = 2. 5 y = 4. 375.
AOD = 40 угол BOC равен 140 градусов BOC = 180 — 40 = 140 Угол ВОС суміжний с углом AOD Я из Украины поетому не знаю как переводиться суміжні если что преведи.
1) т. К. треугольник ABC — равнобедренный, где AB = BC, то угол A = углу C = 64 градуса, значит по теореме о сумме углов треугольника : Угол B = 180 — (64 + 64) = 52 градуса. 2) Рассмотрим треугольник ABD : Угол B мы нашли, он равен 52 градусам. У..
Значит А = 20 т. К сумма 2 — ух сторон равна 90 т. Е 90 — 70 = 20 а угол А = углу D вот и все.
Объём шара = 4 / 3 Пи * радиус в третьей степени об шара с рад 8 = 4 / 3 * пи * 512 об шара с рад 10 = 4 / 3 * пи * 1000 нужный объём резины = 4 / 3 * пи * 1000 — 4 / 3 * пи * 512 = 4 / 3 * пи (1000 — 512) = 4 / 3 * пи * 488 = примерно 2023 кубически..
Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит эти диаонали пополам. Значит, AO = 14 : 2 = 7 ; BO = 10 : 2 = 5. Периметр треугольника AOB = AB + BO + AO. По условию периметр AOB = 20. Значит, AB = 20 — 7 — 5 = 8. Ответ : 8 см.
Троянский вирус это — Вирус который крадёт твои данные, номера телефонов, логины пароли от всего и вся если найдёт и передаёт их создателю вируса.
Если О — это точка пересечения диагоналей, тогда : ∠AOD = 90° [диагонали ромба перпендикулярны] ∠DAO = 160 / 2 = 80° [диагонали ромба — биссектрисы его углов] ∠ADO = 180 — 90 — 80 = 10° [сумма углов треугольника = 180°].
