Объясните как через данную точку окружности провести

Касательная к окружности

Объясните как через данную точку окружности провести

О чем эта статья:

Содержание
  1. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  2. Свойства касательной к окружности
  3. Задача
  4. Задача 1
  5. Задача 2
  6. Задача 1
  7. Задача 2
  8. Задача 1
  9. Задача 2
  10. Объясните как через данную точку окружности провести
  11. Как написать хороший ответ?
  12. Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности?
  13. Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные?
  14. Сколько различных можно провести к окружности через данную точку, лежащую 1) вне окружности : 2)на окружности 3) внутри окружности?
  15. Верно ли что через любую точку вне окружности можно провести к ней только одну касательную?
  16. Дана окружность с центром О, ОВ — радиус?
  17. Дана окружность с центром в точке O?
  18. Построить окружность с радиусом в 3 сантиметра и отметить точку D удалённую от центра на 5 см и провести через неёё касательную к окружности?
  19. Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру , ограниченную дугой окружности и касательными, вписана вторая окружность?
  20. Сколько касательных можно провести к окружности через точку : 1)лежащую на окружности 2)лежащую внутри окружности 3)лежащую вне окружности?
  21. Возьмем окружность и точку A вне нее?
  22. Через точку, данную внутри окружности надо провести хорду так, чтобы она в точке делилась пополам?
  23. 🔥 Видео

Видео:Перпендикуляр к прямой через заданную точку.Скачать

Перпендикуляр к прямой через заданную точку.

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Объясните как через данную точку окружности провести

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Объясните как через данную точку окружности провести

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Построение середины отрезкаСкачать

Построение середины отрезка

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Объясните как через данную точку окружности провести

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Объясните как через данную точку окружности провести

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Объясните как через данную точку окружности провести

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Объясните как через данную точку окружности провести

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Объясните как через данную точку окружности провести

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Объясните как через данную точку окружности провести

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Объясните как через данную точку окружности провести

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Объясните как через данную точку окружности провести

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Объясните как через данную точку окружности провести

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Объясните как через данную точку окружности провести

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Строим касательную к окружности (Задача 3).Скачать

Строим касательную к окружности (Задача 3).

Объясните как через данную точку окружности провести

Вопрос по геометрии:

Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

Соединить эту точку с центром окружности — получаем радиус. Проводим через точку окружности прямую, перпендикулярно к этому радиусу. Это будет касательная.

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности?

Геометрия | 5 — 9 классы

Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности.

Объясните как через данную точку окружности провести

Соединить эту точку с центром окружности — получаем радиус.

Проводим через точку окружности прямую, перпендикулярно к этому радиусу.

Это будет касательная.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные?

Из данной точки проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные.

Радиус окружности равен 10 см.

Найдити длин касательных (расстояние от данной точки до точек касания).

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Сколько различных можно провести к окружности через данную точку, лежащую 1) вне окружности : 2)на окружности 3) внутри окружности?

Сколько различных можно провести к окружности через данную точку, лежащую 1) вне окружности : 2)на окружности 3) внутри окружности?

2 ая задача может ли окружность касаться прямой в двух точках помогите пожалуйста.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Верно ли что через любую точку вне окружности можно провести к ней только одну касательную?

Верно ли что через любую точку вне окружности можно провести к ней только одну касательную?

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Построение касательной к окружности.Скачать

Построение касательной к окружности.

Дана окружность с центром О, ОВ — радиус?

Дана окружность с центром О, ОВ — радиус.

Через точку В к окружности проведена касательная.

Точка С — точка, лежащая на касательной.

Докажите, что отрезок ОС больше радиуса окружности.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Как построить прямую, перпендикулярную данной прямой через точку, которая лежит на данной прямойСкачать

Как построить прямую, перпендикулярную данной прямой через точку, которая лежит на данной прямой

Дана окружность с центром в точке O?

Дана окружность с центром в точке O.

Через точку A, расположенную вне окружности, и точку O проведена прямая, пересекающая окружность в точках P и Q.

Найдите длину касательной AB, проведенной к данной окружность, если AP = 4, AQ = 9.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Построение угла, равного данному. 7 класс.Скачать

Построение угла, равного данному. 7 класс.

Построить окружность с радиусом в 3 сантиметра и отметить точку D удалённую от центра на 5 см и провести через неёё касательную к окружности?

Построить окружность с радиусом в 3 сантиметра и отметить точку D удалённую от центра на 5 см и провести через неёё касательную к окружности.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Построение окружности по трём точкам.Скачать

Построение окружности по трём точкам.

Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру , ограниченную дугой окружности и касательными, вписана вторая окружность?

Из внешней точки к окружности проведены две касательные и в фигуру , ограниченную дугой окружности и касательными, вписана вторая окружность.

Расстояния от данной точки до центров окружностей равны 6 и 18.

Найдите радиусы окружностей.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:Построение биссектрисы угла. 7 класс.Скачать

Построение биссектрисы угла. 7 класс.

Сколько касательных можно провести к окружности через точку : 1)лежащую на окружности 2)лежащую внутри окружности 3)лежащую вне окружности?

Сколько касательных можно провести к окружности через точку : 1)лежащую на окружности 2)лежащую внутри окружности 3)лежащую вне окружности.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямой

Возьмем окружность и точку A вне нее?

Возьмем окружность и точку A вне нее.

Из этой точки к окружности можно провести две касательные.

Пусть одна касается окружности в точке B, а другая в точке C.

Имеет место равенство AB = AC.

Объясните как через данную точку окружности провести

Видео:5 класс, 22 урок, Окружность и кругСкачать

5 класс, 22 урок, Окружность и круг

Через точку, данную внутри окружности надо провести хорду так, чтобы она в точке делилась пополам?

Через точку, данную внутри окружности надо провести хорду так, чтобы она в точке делилась пополам.

На этой странице сайта размещен вопрос Объясните как через данную точку окружности провести касательную к этой окружности? из категории Геометрия с правильным ответом на него. Уровень сложности вопроса соответствует знаниям учеников 5 — 9 классов. Здесь же находятся ответы по заданному поиску, которые вы найдете с помощью автоматической системы. Одновременно с ответом на ваш вопрос показаны другие, похожие варианты по заданной теме. На этой странице можно обсудить все варианты ответов с другими пользователями сайта и получить от них наиболее полную подсказку.

Объясните как через данную точку окружности провести

7)4a² / a = 4a в выражение (a² — 9b²) / 4a = 1 / (4a + 12b) подставим а и б. Смотри ответ на фото. 13поуа не знаю, скину, как решу.

Объясните как через данную точку окружности провести

3)6 6)1 : 3 5)x = 2. 5 y = 4. 375.

Объясните как через данную точку окружности провести

AOD = 40 угол BOC равен 140 градусов BOC = 180 — 40 = 140 Угол ВОС суміжний с углом AOD Я из Украины поетому не знаю как переводиться суміжні если что преведи.

Объясните как через данную точку окружности провести

Объясните как через данную точку окружности провести

1) т. К. треугольник ABC — равнобедренный, где AB = BC, то угол A = углу C = 64 градуса, значит по теореме о сумме углов треугольника : Угол B = 180 — (64 + 64) = 52 градуса. 2) Рассмотрим треугольник ABD : Угол B мы нашли, он равен 52 градусам. У..

Объясните как через данную точку окружности провести

Значит А = 20 т. К сумма 2 — ух сторон равна 90 т. Е 90 — 70 = 20 а угол А = углу D вот и все.

Объясните как через данную точку окружности провести

Объём шара = 4 / 3 Пи * радиус в третьей степени об шара с рад 8 = 4 / 3 * пи * 512 об шара с рад 10 = 4 / 3 * пи * 1000 нужный объём резины = 4 / 3 * пи * 1000 — 4 / 3 * пи * 512 = 4 / 3 * пи (1000 — 512) = 4 / 3 * пи * 488 = примерно 2023 кубически..

Объясните как через данную точку окружности провести

Точка пересечения диагоналей параллелограмма делит эти диаонали пополам. Значит, AO = 14 : 2 = 7 ; BO = 10 : 2 = 5. Периметр треугольника AOB = AB + BO + AO. По условию периметр AOB = 20. Значит, AB = 20 — 7 — 5 = 8. Ответ : 8 см.

Объясните как через данную точку окружности провести

Троянский вирус это — Вирус который крадёт твои данные, номера телефонов, логины пароли от всего и вся если найдёт и передаёт их создателю вируса.

Объясните как через данную точку окружности провести

Если О — это точка пересечения диагоналей, тогда : ∠AOD = 90° [диагонали ромба перпендикулярны] ∠DAO = 160 / 2 = 80° [диагонали ромба — биссектрисы его углов] ∠ADO = 180 — 90 — 80 = 10° [сумма углов треугольника = 180°].

🔥 Видео

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

Построение угла равного данномуСкачать

Построение угла равного данному

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность | ГеометрияСкачать

Отрезки касательных из одной точки до точек касания окружности равны | Окружность |  Геометрия

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Построение биссектрисы углаСкачать

Построение биссектрисы угла

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построениеСкачать

7 класс, 23 урок, Примеры задач на построение
Поделиться или сохранить к себе: