Образ окружности при параллельном переносе

Найдите уравнение окружности, являющейся образом окружности (х — 2)^2 + (у + 6)^2 = 36 при параллельном переносе на вектор а (-4; 1).

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№29 - Параллельный перенос.)

Ваш ответ

Видео:Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | МатематикаСкачать

Параллельный перенос. Симметрия. Поворот | Математика

решение вопроса

Видео:63 Окружность и параллельный переносСкачать

63 Окружность и параллельный перенос

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,277
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,868
  • разное 16,824

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:Урок 8. Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.Скачать

Урок 8.  Параллельный перенос. Декартовы координаты на плоскости.

Метод параллельного переноса

Перейдем сразу к решению задач на построение методом параллельного переноса.

Задача 6.34. Даны две окружности Fv F2 и прямая I. Провести прямую, параллельную прямой I, на которой окружности Fr и F2 высекают равные хорды.

Пусть прямая V искомая, т.е. прямая V высекает на данных окружностях равные хорды АВ иА’В’ (рис. 6.34).

Образ окружности при параллельном переносе

Тогда точки АиА’,ВиВ’ можно рассматривать как соответственные при параллельном переносе ОхО<.

Так как точка А’ является образом точки А, принадлежащей окружности Fb то точка Л’ принадлежит образу окружности F,. Следовательно, А’ — общая точка окружности F2 и образа окружности Fj при параллельном переносе 0-[0[. Построив точку А’, находим на окружности F] ее прообраз. _

Если F2 есть образ точки Fx при параллельном переносе OjOf, то задача имеет бесконечное множество решений. В остальных случаях задача имеет не более четырех решений, так как окружность F2 имеет не более двух точек пересечения с окружностью F <и не более двух точек пересечения с окружностью (образ окружности Fj при параллельном переносе ОуО<).

Задача 6.35. Между двумя данными окружностями (О, Р) и (Q, г) провести отрезок данной длины (а) параллельно данной прямой (АР).

Анализ. Допустим, что задача решена и отрезок CD является искомым (рис. 6.35). Если мысленно будем перемещать отрезок CD параллельно самому себе, оставляя один из его концов D скользящим по данной окружности (Q, г), то ясно, что другой конец (С) отрезка CD опишет в это время окружность того же радиуса (г), имеющую центр в некоторой точке Р, отстоящей от точки Q на расстояние, равное отрезку а. Отсюда следует, что, построив окружность (Р, г), мы сможем построить и искомые отрезки.

Образ окружности при параллельном переносе

Построение. 1. Проведем из точки Q отрезок QP, который параллелен прямой АВ и равен отрезку а.

  • 2. Около точки Р радиусом, равным г, опишем вспомогательную окружность (Р, г).
  • 3. Обозначим буквами С и ? те точки, в которых вспомогательная окружность (Р, г) пересечет окружность (О, Р).
  • 4. Если из точек С и ? проведем прямые, параллельные прямой АВ, то они пересекут окружность (Q, г) в некоторых точках D и F.

Отрезки CD и ?? — искомые.

Доказательство несложное, а поэтому предлагаем провести самостоятельно.

Исследование. Если вспомогательная окружность (Р, г) пересекает данную окружность (О, К), то задача имеет два решения.

Если окружность (Р, г) будет лишь касаться окружности (О, Р), то задача имеет одно решение.

Наконец, если окружность (Р, г) не будет ни касаться окружности, ни пересекать ее, то задача не имеет решений.

Задача 6.36. Даны окружность и прямая I. На окружности даны две точки А и В. Найти на окружности такую точку М, чтобы прямые МА и МВ пересекали I в точках К и N таким образом, что KN — а, где а — заданный отрезок.

Построим точку А’ (рис. 6.36) так, чтобы NKAA’ был параллелограммом (А’ получается из А при помощи известного параллельного переноса). Поскольку ZBNA’ = ZBMA, а последний известен, то точка N находится как пересечение I с соответствующим геометрическим местом точек. Следует также рассмотреть случай расположения точки М на другой дуге АВ.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№30 - Поворот.)

Окружность в параллельном переносе

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

11 класс, 12 урок, Параллельный перенос

Преобразования декартовой системы координат с примерами решения

Содержание:

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Преобразования декартовой системы координат

Параллельный перенос и поворот системы координат

1. Параллельный перенос системы координат. Пусть на плоскости две декартовы системы координат, причем соответствующие оси параллельны и сонаправлены (Рис.46):

Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 46. Параллельный перенос одной системы координат относительно другой системы.

Систему координат Образ окружности при параллельном переносе

Пример:

Дана точка М(3;2) и начало новой системы координат Образ окружности при параллельном переносеВычислить положение точки М в новой системе отсчета.

Решение:

Используя формулы, определяющие параллельный перенос одной системы отсчета относительно другой, получим Образ окружности при параллельном переносеСледовательно, точка М в новой системе отсчета имеет координаты М(4; -1).

2. Поворот системы координат. Пусть даны две системы координат (старая и новая), имеющие общее начало отсчета и повернутые относительно друг друга на угол Образ окружности при параллельном переносе(Рис. 47): Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 47. Поворот одной системы координат относительно другой системы с общим началом координат двух систем.

Получим формулы, связывающие старые и новые координаты произвольной точки М(х; у). Из рисунка видно, что в новой системе координат координаты точки равны Образ окружности при параллельном переносеа координаты этой точки в старой системе координат равны Образ окружности при параллельном переносеТаким образом формулы перехода от новых координат произвольной точки М к старым имеет вид Образ окружности при параллельном переносеВ матричном виде эти равенства можно записать в виде Образ окружности при параллельном переносегде матрица перехода Образ окружности при параллельном переносе

Найдем обратное преобразование системы координат, найдем матрицу Образ окружности при параллельном переносеобратную к матрице А: Образ окружности при параллельном переносе

Найдем алгебраические дополнения всех элементов

Образ окружности при параллельном переносеЗапишем обратную матрицу Образ окружности при параллельном переносе

Определение: Унитарными преобразованиями называются такие преобразования, для которых определитель матрицы преобразования равен 1.

Определение: Ортогональными преобразованиями называются такие преобразования, для которых обратная матрица к матрице преобразования совпадает с транспонированной матрицей преобразования.

Таким образом, имеем Образ окружности при параллельном переносеСледовательно, формулы перехода от старой системы отсчета к новой системе отсчета имеют вид:

Образ окружности при параллельном переносе

Пример:

Найти координаты точки М(1; 2) в новой системе координат, повернутой относительно старой системы отсчета на угол Образ окружности при параллельном переносе

Решение:

Воспользуемся полученными формулами Образ окружности при параллельном переносет.е. в новой системе координат точка имеет координаты М(2; -1).

Рассмотрим применение преобразования координат:

а) Преобразовать уравнение параболы Образ окружности при параллельном переносек каноническому виду. Проведем параллельный перенос системы координат Образ окружности при параллельном переносеполучим Образ окружности при параллельном переносеВыберем начало отсчета новой системы координат так, чтобы выполнялись равенства Образ окружности при параллельном переносетогда уравнение принимает вид Образ окружности при параллельном переносеВыполним поворот системы координат на угол Образ окружности при параллельном переносетогда Образ окружности при параллельном переносеПодставим найденные соотношения в уравнение параболы Образ окружности при параллельном переносегде параметр параболы Образ окружности при параллельном переносе

Пример:

Преобразовать уравнение параболы Образ окружности при параллельном переносек каноническому виду.

Решение:

Найдем начало отсчета новой системы координат после параллельного переноса Образ окружности при параллельном переносет.е. точка Образ окружности при параллельном переносе— начало координат новой системы отсчета. В этой системе уравнение параболы имеет вид Образ окружности при параллельном переносеПроведем поворот системы отсчета на угол Образ окружности при параллельном переносетогда

Образ окружности при параллельном переносеследовательно, параметр параболы р = 1/4.

б) Выяснить, какую кривую описывает функция Образ окружности при параллельном переносе

Проведем следующее преобразование Образ окружности при параллельном переносеПроизводя параллельный перенос системы координат, вводя обозначение

Образ окружности при параллельном переносеи новые координаты Образ окружности при параллельном переносеполучим уравнение Образ окружности при параллельном переносекоторое описывает равнобочную гиперболу.

Полярные координаты. Замечательные кривые

Пусть полярная ось совпадает с осью абсцисс Ох, а начало полярной оси (полюс полярной системы координат) совпадает с началом координат декартовой системы отсчета (Рис. 48). Любая точка М(х;у) в полярной системе координат характеризуется длиной радиус-вектора, соединяющего эту точку с началом отсчета и углом Образ окружности при параллельном переносемежду радиус-вектором и полярной осью (угол отсчитывается против часовой стрелки). Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 48. Полярная система координат.

Главными значениями угла Образ окружности при параллельном переносеявляются значения, лежащие в интервале Образ окружности при параллельном переносеИз рисунка видно, что декартовы и полярные координаты связаны формулами Образ окружности при параллельном переносе

Рассмотрим замечательные кривые в полярной системе координат:

1. Спираль Архимеда Образ окружности при параллельном переносегде число Образ окружности при параллельном переносе(Рис. 49). Для построения кривой в полярной системе координат, разобьем декартову плоскость лучами с шагом по углу Образ окружности при параллельном переносеи на каждом луче отложим ему соответствующее значение р. Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 49. Спираль (улитка) Архимеда.

2. Уравнение окружности: уравнение Образ окружности при параллельном переносеописывает окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R (Рис. 50). В полярной системе координат уравнение принимает вид Образ окружности при параллельном переносеОбраз окружности при параллельном переносе

Рис. 50. Окружность с центром в точке A(R; 0) и радиусом R.

3. Уравнение Образ окружности при параллельном переносеописывает окружность с центром в т. А(0; R) и радиусом R (Рис. 51). В полярной системе координат уравнение принимает видОбраз окружности при параллельном переносе

Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 51. Окружность с центром в точке А(0; R) и радиусом R.

4. Кардиоиды: Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 52. Кардиоида Образ окружности при параллельном переносе

Образ окружности при параллельном переносе

Рис. 53. Кардиоида Образ окружности при параллельном переносе

Аналогично выглядят кардиоиды Образ окружности при параллельном переносено они вытянуты вдоль оси абсцисс Ох.

5. Петля: Образ окружности при параллельном переносеВеличина Образ окружности при параллельном переносеравна нулю при Образ окружности при параллельном переносе

Для первого корня у = 0, а для второго и третьего — у = 9 . Следовательно, петля имеет вид Образ окружности при параллельном переносе

Рекомендую подробно изучить предметы:
  1. Математика
  2. Алгебра
  3. Линейная алгебра
  4. Векторная алгебра
  5. Высшая математика
  6. Дискретная математика
  7. Математический анализ
  8. Математическая логика
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Бесконечно малые и бесконечно большие функции
  • Замечательные пределы
  • Непрерывность функций и точки разрыва
  • Точки разрыва и их классификация
  • Экстремум функции
  • Методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)
  • Скалярное произведение и его свойства
  • Векторное и смешанное произведения векторов

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Физика - движение по окружности

Параллельный перенос

Параллельный перенос — это преобразование плоскости, при котором точки смещаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние.

Строгое определение параллельного переноса даётся либо через декартовы координаты, либо через вектор.

1) Введём на плоскости декартовы координаты x, y.

Параллельный перенос — это такое преобразование фигуры F, при котором её произвольная точка (x;y) переходит в точку (x+a; y+b), где a и b — некоторые числа, одинаковые для всех точек (x;y) фигуры F.

Формулы параллельного переноса

Образ окружности при параллельном переносеЕсли при параллельном переносе точка A(x;y) переходит в точку A1(x1;y1)

Образ окружности при параллельном переносе

то параллельный перенос задаётся формулами:

Образ окружности при параллельном переносе

Говорят также, что A1 является образом точки A при параллельном переносе на вектор (a; b). Точка A называется прообразом.

2) Параллельный перенос на данный вектор ā называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка A отображается в такую точку A1, то вектор AA1 равен вектору ā:

Образ окружности при параллельном переносе

Свойства параллельного переноса

1) Параллельный перенос есть движение (то есть параллельный перенос сохраняет расстояние).

2) При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

3) При параллельном переносе каждая прямая переходит в параллельную ей прямую (или в себя).

4) Каковы бы ни были точки A и A1, существует единственный параллельный перенос, при котором точка A переходит в точку A1.

В алгебре параллельный перенос широко используется для построения графиков функций.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Метод параллельного переноса

Перейдем сразу к решению задач на построение методом параллельного переноса.

Задача 6.34. Даны две окружности Fv F2 и прямая I. Провести прямую, параллельную прямой I, на которой окружности Fr и F2 высекают равные хорды.

Пусть прямая V искомая, т.е. прямая V высекает на данных окружностях равные хорды АВ иА’В’ (рис. 6.34).

🔍 Видео

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

9 класс, 32 урок, Параллельный переносСкачать

9 класс, 32 урок, Параллельный перенос

Видеоурок "Преобразование координат"Скачать

Видеоурок "Преобразование координат"

9 класс. Параллельный переносСкачать

9 класс. Параллельный перенос

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 классСкачать

Параллельный перенос. Координаты точек при параллельном переносе. Геометрия 8 класс

Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС И ПОВОРОТ 9 класс геометрия Атанасян

Тема: Движения. Урок: Движения на плоскости. Параллельный переносСкачать

Тема: Движения. Урок: Движения на плоскости. Параллельный перенос

Поворот и параллельный перенос координатных осей. ЭллипсСкачать

Поворот и параллельный перенос координатных осей.  Эллипс

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрияСкачать

8 класс, 9 урок, Осевая и центральная симметрия

Геометрия 9 класс (Урок№31 - Решение задач на движение по теме «Движение»)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№31 - Решение задач на движение по теме «Движение»)
Поделиться или сохранить к себе: