Найти углы квадрата вписанного в окружность

Квадрат вписанный в окружность

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Определение

Квадрат, вписанный в окружность — это квадрат, который находится
внутри окружности и соприкасается с ней углами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
квадрата
и окружность, вписанная в квадрат.
Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Формулы

Радиус вписанной окружности в квадрат

  1. Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна сторона:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен периметр:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна площадь:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известен радиус описанной окружности:

Радиус вписанной окружности в квадрат, если известна диагональ:

Радиус описанной окружности около квадрата

  1. Радиус описанной окружности около квадрата, если известна сторона:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен периметр:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнаплощадь:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известен радиус вписанной окружности:

Радиус описанной окружности около квадрата, если известнадиагональ:

Сторона квадрата

  1. Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнаплощадь:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известнадиагональ:

Сторона квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата

  1. Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Площадь квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Периметр квадрата

  1. Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известенрадиус вписанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Периметр квадрата вписанного в окружность, если известна диагональ:

Диагональ квадрата

  1. Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна сторона:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известна площадь:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен периметр:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус вписанной окружности:

Диагональ квадрата вписанного в окружность, если известен радиус описанной окружности:

Видео:Как вписать квадрат в окружностьСкачать

Как вписать квадрат в окружность

Квадрат. Онлайн калькулятор

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Можно дать и другие определение квадрата.

Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.

Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойства квадрата

  • Длины всех сторон квадрата равны.
  • Все углы квадрата прямые.
  • Диагонали квадрата равны.
  • Диагонали пересекаются под прямым углом.
  • Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
  • Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.

Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:

Найти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

Диагональ квадрата

Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.

Найти углы квадрата вписанного в окружность

На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.

Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:

Найти углы квадрата вписанного в окружность
Найти углы квадрата вписанного в окружность.(1)

Из равенства (1) найдем d:

Найти углы квадрата вписанного в окружность.(2)

Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.

Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2Скачать

2095 Найдите сторону квадрата вписанного в окружность радиуса 18 корней из 2

Окружность, вписанная в квадрат

Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать

Как построить квадрат, два способа

Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата

Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:

Найти углы квадрата вписанного в окружность(3)

Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.

Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСССкачать

Урок по теме ЦЕНТРАЛЬНЫЕ И ВПИСАННЫЕ УГЛЫ 8 КЛАСС

Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности

Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:

Найти углы квадрата вписанного в окружность(4)

Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Геометрия с нуля! / Выпуск № 6. Формула квадрата, вписанного в окружность / ОГЭ по математике 2022Скачать

Геометрия с нуля! / Выпуск № 6. Формула квадрата, вписанного в окружность / ОГЭ по математике 2022

Окружность, описанная около квадрата

Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата

Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.

Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:

Найти углы квадрата вписанного в окружность
Найти углы квадрата вписанного в окружность(5)

Из формулы (5) найдем R:

Найти углы квадрата вписанного в окружность
Найти углы квадрата вписанного в окружность(6)

или, умножая числитель и знаменатель на Найти углы квадрата вписанного в окружность, получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность.(7)

Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.

Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математикаСкачать

Вписанные и центральные углы #огэ #огэматематика #математика

Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности

Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.

Из формулы (1) выразим a через R:

Найти углы квадрата вписанного в окружность
Найти углы квадрата вписанного в окружность.(8)

Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти углы квадрата вписанного в окружностьНайти сторону квадрата.

Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя Найти углы квадрата вписанного в окружностьв (8), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Периметр квадрата

Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.

Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:

Найти углы квадрата вписанного в окружность(9)

где Найти углы квадрата вписанного в окружность− сторона квадрата.

Пример 6. Сторона квадрата равен Найти углы квадрата вписанного в окружность. Найти периметр квадрата.

Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя Найти углы квадрата вписанного в окружностьв (9), получим:

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Ответ: Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Признаки квадрата

Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.

Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом. Найти углы квадрата вписанного в окружность

Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть

Найти углы квадрата вписанного в окружность(10)

Так как AD и BC перпендикулярны, то

Найти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружность(11)

Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда

Найти углы квадрата вписанного в окружность(12)

Эти реугольники также равнобедренные. Тогда

Найти углы квадрата вписанного в окружностьНайти углы квадрата вписанного в окружность(13)

Из (13) следует, что

Найти углы квадрата вписанного в окружность(14)

Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).Найти углы квадрата вписанного в окружность

Видео:Задание 16 Часть 3Скачать

Задание 16  Часть 3

Формулы квадрата

Для расчёта всех основных параметров квадрата воспользуйтесь калькулятором.

Найти углы квадрата вписанного в окружность

Свойства квадрата

  1. Длины сторон квадрата равны.
  2. Все углы квадрата прямые, равны 90°.
  3. Противолежащие стороны квадрата параллельны друг другу.
  4. Сумма всех углов квадрата равна 360°.
  5. Величина угла между диагональю и стороной равна 45°.
  6. Диагонали квадрата — тождественны, перпендикулярны и разделяются точкой пересечения пополам.
  7. Каждая из диагоналей делит квадрат на два равнобедренных прямоугольных треугольника.
  8. Обе диагонали делят квадрат на 4 равнобедренных прямоугольных треугольника.
  9. Пересечение диагоналей является центром вписанной и описанной окружности.

Сторона квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата
RВ – радиус вписанной окружности
RO – радиус описанной окружности
AA1 — линия выходящая из угла на середину стороны квадрата

Стороны квадрата через диагональ

Стороны квадрата через радиус вписанной окружности

Стороны квадрата через радиус описанной окружности

Стороны квадрата через площадь, S

Стороны квадрата через периметр, P

Стороны квадрата через линию выходящую из угла на середину стороны квадрата, AA1

Площадь квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата

Площадь квадрата через сторону

Площадь квадрата через диагональ

Периметр квадрата

Где:AB – сторона квадрата

$$ P = 4 * AB $$

Диагональ квадрата

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата
S – площадь квадрата
P – периметр квадрата

Диагональ квадрата через сторону

Диагональ квадрата через площадь

Диагональ квадрата через периметр

Вписанная окружность

Где:AB – сторона квадрата

Радиус вписанной окружности

Длина окружности, L

Площадь окружности, S

Описанная окружность

Где:AB – сторона квадрата
AC(BD) – диагональ квадрата

Радиус описанной окружности через сторону

Радиус описанной окружности через диагональ

🔍 Видео

Вписанные углы в окружностиСкачать

Вписанные углы в окружности

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите уголСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Угол А четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, равен 25.Найдите угол

Найти площадь квадрата вписанного в четверть окружности.Скачать

Найти площадь квадрата вписанного в четверть окружности.

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностейСкачать

СТОРОНА КВАДРАТА через РАДИУС вписанной и описанной окружностей
Поделиться или сохранить к себе: