Найти сопротивление цепи треугольник

Пусть требуется рассчитать цепь, показанную на рис. 7.1, а.

Рис. 7.1 — Преобразования электрической цепи

Расчет можно осуществить одним из описанных выше методов. Но так как в цепи имеется только один источник питания, наиболее простым было бы использование закона Ома. Однако попытка определения общего сопротивления цепи оказывается безрезультатной, так как здесь мы не находим ни последовательно, ни параллельно соединенных сопротивлений. Решить задачу помогает преобразование треугольника сопротивлений в эквивалентную звезду.

Треугольник и звезда сопротивлений имеют вид, показанный на рис. 7.2.

Рис. 7.2 — Треугольник и звезда сопротивлений

Если при замене одной из этих схем другой не изменяются потенциалы одноименных точек и подтекающие к ним токи, то во внешней цепи также не произойдет никаких изменений. В этом случае говорят, что схемы эквивалентны.

Можно показать, что условием эквивалентности являются следующие уравнения:

а) при преобразовании треугольника в звезду:

б) при преобразовании звузды в треугольник:

Например, сопротивление звезды R1, присоединенное к узлу 1, получается перемножением сопротивлений R12 и R31 треугольника, присоединенных к этому же узлу, и делением полученного произведения на сумму всех сопротивлений треугольника.

При обратном преобразовании сопротивление треугольника R12, лежащее между узлами 1 и 2, равно сумме сопротивлений звезды R1 и R2, присоединенных к этим узлам, плюс их произведение, деленное на сопротивление третьего луча звезды R3.

Пример 1.3. Рассчитать токи в цепи, изображенной на рис. 1.12, а, при следующих числовых значениях ее параметров: Е = 660 В, R1 = 20 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 5 Ом, R4 = 20 Ом, R5 = 50 Ом.

а) Решение преобразованием треугольника в звезду.

Теперь общее сопротивление цепи легко находится:

Ток, протекающий по источнику (одинаковый в заданной и преобразованной схемах), равен:

Токи в паралельных ветвях:

Возвращаемся к исходной схеме (рис. 7.1, а):

Ток в пятой ветви находим из первого закона Кирхгофа: I5 = I1–I3 = 26–28 = –2 A. Знак минус говорит о том, что действительное направление тока I5 противоположно указанному на схеме.

б) Решение преобразованием звезды в треугольник.

Преобразуем звезду, образуемую в схеме на рис. 7.1, а сопротивлениями R1, R5 и R3, в эквивалентный треугольник (рис. 7.1, в).

Определяем сопротивления треугольника:

Теперь рассчитываем преобразованную цепь. Сначала находим эквивалентные сопротивления участков ac и cd:

Затем определяем общее сопротивление и токи:

Возвращаемся к исходной схеме:

Рекомендуем подставить в приведенные формулы числовые значения параметров цепи и сравнить результаты вычислений с полученными в примере 1.3а.

Треугольник в звезду

Расчет и исследование сложных электрических цепей во многих случаях можно значительно облегчить и сделать более наглядным путем преобразования электрических схем одного вида в схемы другого вида. Одним из способов является эквивалентное преобразование треугольника в звезду. В этом методе выполняется преобразование пассивной части электрической цепи, т.е. приемников электрической энергии.

Определение соединения сопротивлений треугольником

Если три сопротивления соединены так, что образуют собою стороны треугольника, то такое соединение сопротивлений называют треугольником сопротивлений.

Соединение, при котором три сопротивления, находящиеся в пассивных ветвях, соединены между собою попарно и образуют замкнутый контур — называется треугольником.

Обычно в курсе электротехники принято элементы рисовать только горизонтально и вертикально. На следующем рисунке так же представлено соединение треугольником.

Определение соединения сопротивлений звездой

Если соединение трех сопротивлений имеет общий узел и имеет внешний вид трехлучевой звезды, то такое соединение сопротивлений называется звездой.

Причина преобразования треугольника в звезду

При расчете электрической цепи бывают случаи, когда нет ни последовательных, ни параллельных соединений сопротивлений. В этом случае можно попробовать отыскать соединение сопротивлений треугольником и выполнить экивалентное преобразование треугольника в звезду.

Если в электрической цепи нашли соединение сопротивлений треугольником, то в узлы соединения сопротивлений подставляем концы лучей соединения сопротивлений в виде звезды.

Далее убираем (удаляем первоначальное) соединение треугольником. В результате получается эквивалентное соединение звездой.

Формулы для расчета преобразования треугольника в звезду

Пример преобразования

Для электрической цепи необходимо выполнить преобразование треуголькника R12 — R23 — R31 в звезду.

Добавляем к узлам подключения сопротивлений треугольником концы лучей подключения сопротивлений звездой.

Удаляем соединение сопротивлений треугольником. В результате остается подключение сопротивлений звездой. По формулам рассчитываются значения сопротивлений R1, R2, R3.

4 инструмента крутого Кирхгофщика

Зачёт кое-как сдал, а всё равно толком не понял?

Я тебе расскажу, как учиться, чтобы понимать.
Как учиться эффективно. Практические советы.

Инструмент 1. Вычисление сопротивления цепи из нескольких последовательно соединённых сопротивлений

Просто, как . Сложил все эти сопротивления и получил сопротивление цепи.

Инструмент 2. Вычисление сопротивления участка из нескольких параллельно соединённых сопротивлений

Рассмотрим участок с двумя параллельными одинаковыми сопротивлениями. Сопротивление его в два раза меньше, чем каждого сопротивления. Если сопротивлений три, сопротивление участка будет в три раза меньше.

Какую тут можно провести аналогию?

Несколько одинаковых дырок. Через них протечёт воды в столько раз больше, чем через одну дырку, сколько дырок имеется.

А как быть, если сопротивления не одинаковые? Есть такое понятие — проводимость. Оно означает величину, обратную сопротивлению. (рисунок 2)

Так если сопротивление больше, то проводимость что?

Чтобы вычислить проводимость нашего участка, надо сложить проводимости сопротивлений. Потом можно легко найти сопротивление участка.

А нельзя ли вычислить сопротивление участка, не преобразуя сопротивления в проводимости, а потом обратно? Можно. Пусть у нас участок из двух параллельно соединённых сопротивлений (рис. 2-1). Проводимость его равна сумме проводимостей сопротивлений (1 строчка). Приведём проводимости сопротивлений к общему знаменателю (2 строчка). Сложим их и получим суммарную проводимость (3 строчка). «Переворачиваем» формулу (4 строчка) и получаем формулу для участка из двух параллельно соединённых сопротивлений. А если сопротивлений не два, а больше?

Сформулируйте своими словами формулу сопротивления участка из нескольких параллельных сопротивлений, чтобы лучше её запомнить.

Надо умножить все сопротивления, и разделить на сумму произведений этих сопротивлений, но в каждом этом произведнии одного сопротивления не хватает. Вы, может быть, и получше сформулируете.

Инструмент 3. Преобразование «треугольника» в «звезду»

Пусть у нас в схеме есть вот такой участок цепи — «треугольник» (рис. 3, слева). Нам надо заменить его участком вот такого вида — «звездой» (рис. 3, справа), но чтобы сопротивления между сторонами «звезды» были такими же, как между соответствующими лучами «треугольника». Зачем это нужно? Позже узнаете.

Смотрим на «звезду» на рис. 3. Допустим, мы знаем сопротивления между точками A и B, то есть (R_a+R_b); A и C, то есть (R_a+R_c); B и C, то есть (R_b+R_c). Чему будут равны сопротивления R_a, &nbsp R_b, &nbsp R_c ?

Зная все сопротивления между концами лучей «звезды», мы можем вычислить сопротивление каждого отдельного луча.

Теперь будем вычислять сопротивления между точками A, B, и C (звезды) через сопротивления треугольника, которые нам известны (рис. 3-2). Для начала вычислим сопротивление между точками A и B звезды (рис. 3-2 верхняя строчка). В нашем треугольнике мы имеем два параллельно включённых сопротивления — R_ab и (R_ac+R_bc). Вычислять их общее сопротивление мы умеем (ответы на вопросы 3 и 4). Вычисляем сопротивления между точками A и C, B и C (2 и 3 строчки). Обратите внимание, что во всех формулах знаменатель одинаковый.

Теперь можно вычислить сопротивление отдельного луча (рис. 3-3). Формула получилась очень громоздкая, но мы её хорошенько подсократим.

И получим вот такую стройную и изящную формулу (рис. 3-4, верхняя строчка). Аналогично вычисляем сопротивления других лучей звезды.

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 3-4, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление луча «звезды», надо умножить сопротивления сторон «треугольника», которые «прилегают» («имеют ту же букву»), и разделить на сумму сопротивлений всех сторон «треугольника».

Инструмент 4. Преобразование «звезды» в «треугольник»

Иногда полезно делать обратное преобразование — «звезды» в «треугольник». Нельзя ли вычислить сопротивление стороны «треугольника» через сопротивления эквивалентной «звезды», используя формулы, которые мы уже вывели? Можно. Смотрим рисунок 3-4. Проделаем с формулами этого рисунка следующий трюк: попарно их перемножим и результаты сложим (смотрим рис. 4-1).

Затем результат разделим на верхнюю формулу рисунка 3-4. Получится у нас вот что: рисунок 4-2, третья сверху формула. Маленько её подсократим и получим нижнюю формулу. Как раз то, что нам надо!

Сопротивления других сторон «треугольника» выводятся аналогично (рисунок 4-3).

Сформулируйте своими словами формулу из рисунка 4-3, чтобы лучше её запомнить.

Чтобы найти сопротивление стороны «треугольника», надо сложить сопротивления соответствующих сторон «звезды» (у которых «те же буквы»), и ещё прибавить произведение тех же сторон «звезды», делёное на оставшуюся сторону.

Зубрилка

формула 1 формула 2 формула 3 формула 4 скрыть все формулы