Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – определение и примеры нахождения.

В этой статье дано определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью, приведена теория, необходимая для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью методом координат, а также подробно разобраны решения характерных примеров и задач.

Навигация по странице.

Видео:19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

19. Расстояние между параллельными прямыми Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – определение.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью определяется через расстояние от точки до плоскости.

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.

Рассмотрим прямую a и параллельную ей плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Отметим на прямой a точку M1 и опустим перпендикуляр M1H1 из этой точки на плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Длина перпендикуляра M1H1 есть расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью.

Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой

Озвученное определение расстояния между параллельными прямой и плоскостью тесно связано со следующей теоремой.

Если прямая a параллельна плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, то все точки прямой a равноудалены от плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Проведем через произвольную точку прямой a плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойпараллельно плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Прямая a при таком построении плоскости лежит в этой плоскости (если бы это было не так, то прямая a пересекала бы плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, а, значит, пересекала бы и плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойв силу параллельности плоскостей Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойи Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой). В статье расстояние между параллельными плоскостями мы доказали теорему о том, что все точки одной из параллельных плоскостей находятся на одинаковом расстоянии от другой плоскости. Следовательно, все точки прямой a , которая лежит в плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, параллельной плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, равноудалены от плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, что и требовалось доказать.

Видео:10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскости

Нахождение расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью – теория, примеры, решения.

Расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с помощью методов, изученных на уроках геометрии в 10-11 классах, — с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников, определения синуса, косинуса или тангенса угла и т.п.

Когда в трехмерном пространстве введена прямоугольная система координат и требуется вычислить расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью, то применяется метод координат. Сейчас мы его подробно разберем, после чего рассмотрим решения нескольких примеров.

Поставим перед собой следующую задачу.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz , в ней заданы параллельные прямая a и плоскость Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, и требуется найти расстояние между прямой a и плоскостью Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Решение этой задачи будем строить на основе определения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

Искомое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью по определению равно расстоянию от точки М1 , лежащей на прямой a , до плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Если мы определим координаты Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойнекоторой точки М1 , лежащей на прямой a , и получим нормальное уравнение плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойв виде Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, то мы сможем вычислить искомое расстояние Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, применив формулу Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой(эта формула была получена в разделе нахождение расстояния от точки до плоскости).

Итак, алгоритм, позволяющий найти расстояние между параллельными прямой a и плоскостью Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, таков:

  • находим координаты Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойнекоторой точки М1 , лежащей на заданной прямой a (это легко сделать, если знать основные виды уравнений прямой в пространстве);
  • получаем нормальное уравнение заданной плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойвида Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой(для этого нужно знать основные виды уравнения плоскости и при необходимости уметь приводить уравнение плоскости к нормальному виду);
  • вычисляем требуемое расстояние Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямоймежду прямой a и параллельной ей плоскостью Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойпо формуле Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Воспользуемся полученным алгоритмом при решении задач, в которых требуется вычислить расстояние между параллельными прямой и плоскостью.

Найдите расстояние между параллельными прямой Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойи плоскостью Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Очевидно, точка Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойлежит на прямой, которую определяют канонические уравнения прямой в пространстве Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Получим нормальное уравнение плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Для этого приведем заданное общее уравнение плоскости к нормальному виду: вычисляем нормирующий множитель Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, умножаем на него обе части заданного общего уравнения плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Осталось вычислить требуемое расстояние между заданными параллельными прямой и плоскостью как расстояние от точки Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойдо плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой:
Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой

Найдите расстояние между прямой Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойи параллельной ей плоскостью Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

В рассматриваемой задаче прямая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Найдем координаты Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойнекоторой точки М1 , лежащей на этой прямой. Координаты точки М1 должны удовлетворять уравнениям прямой, то есть, Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой— частное решение системы линейных уравнений Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Найдем частное решение этой системы (при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений). Приняв Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, приходим к системе уравнений Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, откуда находим Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. То есть, имеем Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Теперь получим нормальное уравнение плоскости, которую задает уравнение плоскости в отрезках вида Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Для этого переходим к общему уравнению плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой. Полученное общее уравнение плоскости уже является нормальным уравнением плоскости и его не нужно приводить к нормальному виду.

Осталось вычислить расстояние от точки Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямойдо плоскости Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой, которое равно искомому расстоянию между параллельными прямой и плоскостью: Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой.

Видео:Расстояние между параллельными плоскостямиСкачать

Расстояние между параллельными плоскостями

Геометрия

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Расстояние между параллельными прямымиСкачать

Расстояние между параллельными прямыми

Понятие перпендикуляра

Пусть есть некоторая плоскость α и точка М в пространстве, не лежащая на α. Проведем через М прямую, перпендикулярную α. Она пересечет α в какой-нибудь точке К. Отрезок МК именуют перпендикуляром к плоскости α.

Если через М мы проведем ещё одну прямую, пересекающую α, то она пересечет α в какой-нибудь точке Н. В результате мы получим прямоугольный ∆МНК:

Запомним некоторые геометрические термины. В таком построении:

  • отрезок МН – это наклонная;
  • отрезок НК – это проекция наклонной, или просто проекция;
  • К – основание перпендикуляра;
  • Н – основание наклонной.

Заметим, что в ∆МНК отрезок МН – это гипотенуза, а МК – это катет. Напомним, что катет всегда меньше гипотенузы. Отсюда вытекает вывод – длина перпендикуляра всегда меньше длины наклонной (конечно, если они проведены из одной точки).

Это значит, что из всех отрезков, которыми можно соединить точку и плоскость, именно перпендикуляр будет кратчайшим. Поэтому его называют расстоянием между точкой и плоскостью.

Видео:7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)Скачать

7. Расстояние от точки до плоскости (вывод формулы примеры)

Расстояния между плоскостями и прямыми

Докажем довольно очевидный факт:

Действительно, пусть α и β – параллельные плоскости. Выберем на α произвольные точки М и Р, а далее опустим перпендикуляры из точек М и Р на β, которые пересекут β в точках Н и К соответственно:

Так как МН и РК перпендикулярны плоскости α, то они параллельны. Но также и α||β. Тогда, по теореме 12 из этого урока, отрезки МН и РК одинаковы, ч. т. д.

Этот факт позволяет ввести понятия расстояния между параллельными плоскостями.

Уточним, что если плоскости пересекаются, то расстояние между ними не может быть определено.

Далее рассмотрим случай с плоскостью α и параллельной ей прямой m. Оказывается, и в этом случае точки прямой равноудалены от плоскости.

Действительно, отметим на m произвольную точку К. Далее через K проведем такую плоскость β, что α||β. Так как точки β равноудалены от α, то нам достаточно показать, что m будет полностью принадлежать β:

Так как m и β уже имеют общую точку K, то они m либо пересекает β, либо лежит в ней. Будем рассуждать от противного и предположим, что m и β пересекаются. Так как m||α, то в α можно построить прямую n, параллельную m. Если m пересекает β, то и nтакже должна ее пересекать (по теореме 3 из этого урока). Но если n пересекает β, то точка их пересечения будет одновременно принадлежать и β, и α. То есть у этих плоскостей будет общая точка. Но α и β параллельны и потому не могут иметь общих точек. Значит, на самом деле m и β НЕ пересекаются. Остается один вариант – m принадлежит β, ч. т. д.

Из этой теоремы вытекает понятие расстояния между прямой и плоскостью.

Уточним, что если плоскость и прямая не параллельны, то расстояние между ними определить нельзя.

Осталось понять, как определять расстояние между прямыми в пространстве. Для параллельных прямых определение расстояния известно ещё из курса планиметрии. Естественно, что для пересекающихся прямых расстояние определить невозможно. Остается только случай скрещивающихся прямых.

Пусть прямые m и n скрещиваются. Тогда через n можно построить плоскость α, параллельную m. И наоборот, через m возможно провести плоскость β, параллельную n:

Далее опустим из какой-нибудь точки m перпендикуляр на α. Обозначим этот перпендикуляр как р. Тогда через пересекающиеся прямые m и р можно провести единственную плоскость γ:

Заметим, что плоскости α и γ обязательно пересекутся по некоторой прямой m’, причем m’||m. Действительно, m’ и m не могут скрещиваться, ведь они находятся в одной плоскости γ. Не могут они и пересекаться, ведь в противном случае точка их пересечения была бы общей для m и α, а они параллельны и общих точек не имеют.

Также заметим, что прямые n и m’ пересекаются, ведь они располагаются в одной плоскости α. Параллельными они быть не могут, ведь тогда по свойству транзитивности параллельности получилось бы, что и n||m, а это не так. Обозначим точку пересечения n и m’ буквой K.

Далее через K в плоскости γ проведем прямую р’, параллельную р:

Теперь начнем рассуждения. Если р⊥α, то также р⊥m’. Так как р’||р, то и р’⊥m’, ведь прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, будет перпендикулярна и второй прямой. По этому же правилу из того факта, что m’||m и р’⊥m’ вытекает, что и m⊥р’. Наконец, если р⊥α, то р⊥n. Для ясности отметим все найденные нами прямые углы на рисунке:

В итоге получилось, что отрезок HK перпендикулярен и n, и m. По этой причине его называют общим перпендикуляром к прямым n и m. Именно он и считается расстоянием между скрещивающимися прямыми m и n.

Отдельно отметим, что HK – это ещё и общий перпендикуляр к α и β. Понятно, что так как р⊥α и р’||р, то и р’⊥α, то есть HK – перпендикуляр к α.

Теперь через точку H проведем прямую n’, параллельную n. Так как β||n, то n’ будет находиться в β (по теор. 6 в этом уроке).

Раз n||n’ и р’⊥n, то и р’⊥n’. Тогда получается, что в β есть сразу две пересекающихся прямых (это m и n’), которые перпендикулярны р’. Поэтому можно утверждать, что р’⊥β, то есть HK– перпендикуляр к β.

Отсюда сразу вытекает ещё один важный вывод – плоскости α и β параллельны, так как имеют общий перпендикуляр.

Итак, мы показали, что общий перпендикуляр можно построить для любых двух скрещивающихся прямых. Но можно построить ещё один такой перпендикуляр? Нельзя, и это можно показать.

Сначала заметим, что второй перпендикуляр нельзя провести через точку К, ведь в таком случае получалось бы, что к m проведены два различных перпендикуляра из одной и той же точки, что невозможно. Аналогично перпендикуляр не может проходить и через Н.

Предположим тогда, что второй перпендикуляр проходит через точки С и D, причем С находится на m, а D находится на n. То есть CD⊥m и СD⊥n:

Проведем через С прямую n’’, параллельную n. Раз СD⊥n и n||n’’, то и СD⊥n’’. При этом n’’ находится в β (это доказывается также, как и в случае с n’). Тогда получается, что в β есть две прямые, n’’ и m, каждая из которых перпендикулярна СD, и при этом n’’ и m пересекаются. Тогда CD⊥β. Из этого вытекает, что СD и HK параллельны, а потому через них можно провести плоскость δ. Этой плоскости будут принадлежать точки С, H, К и D. Но тогда в этой плоскости должны находиться прямые m и n, ведь они имеют с ней по две общих точки. Но m и n – скрещивающиеся прямые, то есть они никак не могут находиться в одной плоскости. Это противоречие означает, что второй общий перпендикуляр CD не существует.

Итак, из всех наших рассуждений мы можем сделать следующие выводы:

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Теорема о трех перпендикулярах

Сформулируем важное утверждение, которое называют теоремой о трех перпендикулярах.

Проиллюстрируем теорему с помощью картинки:

Доказательство этой теоремы очень простое. Так как МК⊥α, то также МК⊥m. Теперь рассмотрим расположение плоскости МНК и прямой m. МК⊥m и HK⊥m. Тогда по признаку перпендикулярности можно утверждать, что m перпендикулярна всей плоскости HM, то есть каждой находящейся в ней прямой. В частности, m⊥HK, ч. т. д.

Оказывается, верно и обратное утверждение (так называемая обратная теорема о трех перпендикулярах):

Доказательство аналогично предыдущему. Так как m⊥MH и m⊥MK, то m⊥HMK. Отсюда вытекает, что и m⊥HK.

Видео:Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшего расстояние между скрещивающимися прямыми методом замены плоскостей проекции

Угол между прямой и плоскостью

Проекция наклонной позволяет ввести такое понятие, как угол между прямой и плоскостью.

Пусть надо определить угол между прямой HM и плоскостью α:

Здесь надо просто построить перпендикуляр МК. В результате появится отрезок HK– проекция HM на α. Тогда угол между HM и HK, то есть ∠MHK, как раз и будет углом между HM и α.

Однако не всегда таким образом можно построить проекцию прямой. Проблемы возникнут, если прямая либо параллельна, либо перпендикулярна плоскости. В таких случаях используются такие правила:

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.

Задачи на перпендикуляры, наклонные, расстояния

Рассмотрим несколько задач, в каждой из которых рассматривается куб АВСDEFGH. При этом предполагается, что ребро такого куба имеет длину, равную единице.

Задание. В кубе АВСDEFGH найдите расстояние между точкой А и гранью CDHG:

Решение. Ребро AD перпендикулярно грани DH (так как AD⊥DH и AD⊥CD). Поэтому как раз АD и является расстоянием между А и СDHG. Значит, оно равно единице.

Примечание. Для решения следующих задач запомним, что ребро DH перпендикулярно грани АВСD. Вообще в кубе все ребра, пересекающиеся с гранями, перпендикулярны таким граням.

Задание. Найдите в кубе расстояние между вершиной А и плоскостью BDH:

Решение. Проведем на грани АВСD перпендикуляр АК из А к прямой BD:

Докажем, что АК – перпендикуляр в BDH. Для этого надо найти две прямые в BDH, перпендикулярные АК. Первая такая прямая – это BD (мы специально провели АК⊥BD). Вторая такая прямая – это DH. Действительно, DH перпендикулярна всей грани АВСD, а значит, и прямой АК.

Теперь найдем длину АК. Ее можно вычислить из прямоугольного ∆АКD. В нём ∠ADB =45°, ведь это угол между стороной квадрата АВСD и его диагональю.

Найти АК можно с помощью тригонометрии в ∆АКD:

Задание. Найдите расстояние от H до плоскости EDG:

Решение. Обозначим середину отрезка ЕD буквой М.Далее в ∆МНG опустим высоту из НК на сторону MG:

Попытаемся доказать, что HK – это перпендикуляр к EDG. Заметим, что ∆HDG и ∆EHG равны, ведь у них одинаковую длину имеют ребра DH, EH, ребро GH – общее, а ∠DHG и ∠EHG прямые. Тогда одинаковы отрезки EG и DG. Это означает, что ∆EGD – равнобедренный.

В ∆EGDMG– это медиана. Так как ∆EGD – равнобедренный, то MG одновременно ещё и высота, поэтому MD⊥MG.

Аналогично ∆EHD– равнобедренный (EH = HD), а потому MH в нем – и медиана, и высота. Поэтому MD⊥MH.

Получили, что MD перпендикулярен и MH, и MG, то есть двум прямым в плоскости MHG. Тогда MD перпендикулярен всей плоскости MHG, и, в частности, отрезку HK: HK⊥MD.

Но также MD⊥MG. Получается, KH перпендикулярен двум прямым в плоскости EDG, и потому он является перпендикуляром к плоскости EDG. Значит, именно его длину нам и надо найти.

Рассмотрим ∆MDH. Он прямоугольный, а ∠MDH = 45° (угол между стороной и диагональю квадрата). Тогда длину MH можно найти так:

Так как ребро GH перпендикулярно грани АЕНD, то ∆MHG – прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора можно найти MG:

Далее можно найти HK разными способами, но проще воспользоваться подобием ∆MHG и ∆MKH. Они оба – прямоугольные, и у них есть общий угол ∠KMH, этого достаточно для подобия треугольников. Записываем пропорцию:

Здесь слева записано отношение сторон, лежащих против ∠KMH, а справа – отношение сторон, лежащих против прямых углов (то есть отношение гипотенуз). Используем пропорцию дальше:

Задание. Найдите расстояние между прямыми ВС и DH:

Решение. ВС и DH – скрещивающиеся. Надо найти общий перпендикуляр к ним. В данном случае он очевиден – это отрезок CD. Действительно, CD⊥ВС как стороны квадрата АВСD, но и DH⊥CD как стороны в другом квадрате, СDHG.. Длина же ребра CD равна единице, ведь у куба все ребра одинаковы.

Задание. Каково расстояние между прямыми ВС и DG:

Решение.На грани СDHG опустим из С перпендикуляр СК на диагональ GD:

Будет ли СК являться расстоянием между ВС и DG? Ясно, что СК⊥DG. При этом ребро ВС перпендикулярно грани СGHD, так как ВС⊥СG и ВС⊥СD. Значит, также ВС⊥СК. То есть СК – общий перпендикуляр к ВС и DG, и по определению как раз и является искомым расстоянием.

Длину СК найдем из прямоугольного ∆СKG. ∠СGK составляет 45°, ведь это угол между диагональю DG и стороной квадрата СG. Тогда можно записать:

Задание. Найдите расстояние между ребрами АВ и HG:

Решение. Здесь ребра АВ и HG параллельны, так как каждая их них параллельна ребру CD. Проведем отрезок АН. Так как и АВ, и HG перпендикулярны грани АЕНD, то эти ребра одновременно перпендикулярны и АН. То есть АН – общий перпендикуляр к АВ и HG, и поэтому именно его длину и надо найти.

Сделать это можно из прямоугольного ∆АНD, в котором ∠НАD составляет 45°:

Задание. Чему равно расстояние между ребром AB и диагональю FD:

Решение. Пусть А1, D1, H1 и Е1 – середины ребер АВ, DC, HG, и EF соответственно. Проведем через А1, D1, H1 плоскость. Диагональ FD пересечет ее в какой-нибудь точке К:

Сначала покажем, что плоскости α и ADH (то есть нижняя грань) параллельны.

Заметим, что в четырехугольнике АА1D1D стороны АА1 и DD1 параллельны (ведь они лежат на сторонах квадрата АВСD) и одинаковы (ведь они составляют половину от длины ребер АВ и CD, то есть имеют длину 0,5). Тогда АА1D1D – параллелограмм. Более того, раз у него есть прямые углы ∠А1АDи ∠АDD1, то можно утверждать, что АА1D1D – прямоугольник. Тогда АD||A1D1. Аналогично можно показать, что DHH1D1 – прямоугольник, и DH||D1H1.

Далее можно действовать разными способами. Первый способ – это использование признака параллельности плоскостей (теорема 9 из этого урока). Так как в α есть пересекающиеся прямые А1D1и D1H1, а в плоскости ADH находятся прямые AD и DH, и АD||A1D1, и DH||D1H1, то по этому признаку α||ADH.

Однако, если этот признак вдруг оказался «забыт», то можно использовать отрезок DD1. Он перпендикулярен и грани ADHE, и плоскости α, ведь в каждой из них есть по две прямых, перпендикулярных ему. Это AD и DH на грани ADHE и A1D1и D1H1 в α. Тогда α и ADH перпендикулярны одной и той же прямой, а потому они параллельны. Так или иначе, мы выяснили, что α||ADH.

Отсюда вытекает, что α должна проходить через середину Е1. Действительно, расстояние между параллельными плоскостями не зависит от выбора точек измерения. В данном случае оно равно отрезку АА1, то есть 0,5. Но FE– это также общий перпендикуляр к α и ADH. Значит, α пересекает FE в точке, находящейся на расстоянии 0,5 от Е. А это как раз и есть середина FE, то есть точка Е1.

Далее докажем, что точка К, в которой прямая FD пересекает α – это середина отрезка Е1D1. Для этого удобно отдельно показать плоскость, проходящую через параллельные ребра FE и CD, то есть четырехугольник FEDC:

Заметим, так как ребра FE и CD перпендикулярны верхней и нижней грани, то они перпендикулярны и отрезкам FC и ED, то есть FEDC прямоугольник. Тогда FC||ED, и ∠Е1FD = ∠D1DF (накрест лежащие углы при секущей FD). ∠FKE1 и ∠DKD1 одинаковы уже как вертикальные углы. Тогда ∆FKE1 и ∆DKD1 подобны по 2 углам. Но отрезки FE1 и DD1 одинаковы как половины равных ребер FE и CD. Получается, что ∆FKE1 и ∆DKD1 равны, и поэтому Е1К = KD1. Это и значит, что К – середина Е1D1.

Также отметим, что Е1D1 – диагональ в четырехугольнике А1Е1Н1D1. Докажем, что А1Е1Н1D – это квадрат. Ранее мы уже показали, что АА1D1D и DHH1D1 – прямоугольники. Аналогично можно продемонстрировать, что прямоугольниками являются также АА1Е1Е и ЕЕ1Н1Н. Из этого вытекает равенство сторон:

То есть в А1Е1Н1D1 все стороны одинаковы, и эта фигура – ромб. Теперь надо показать, что и углы в этом четырехугольнике составляют 90°. Продемонстрируем это на примере ∠А1D1H1. AD⊥CDHG и AD||A1D1, поэтому А1D1⊥CDHG. Значит, также А1D перпендикулярна любой прямой на грани CDHG, в том числе и D1H1. То есть ∠А1D1H1 = 90°. Но если в ромбе хотя бы один угол прямой, то он является квадратом.

Итак, мы выяснили, что А1Е1Н1D1 – квадрат, а К – середина его диагонали Е1D1. Получается, что К – точка пересечения диагоналей квадрата А1Е1Н1D1, ведь эта точка пересечения как раз делит диагонали пополам.

Теперь мы можем наконец доказать, что А1К – это и есть искомое расстояние. Действительно, так как АВ – перпендикуляр к α, та А1К принадлежит α, то А1К⊥АВ. Но как же доказать, что А1К⊥FD. Здесь поможет теорема о трех перпендикулярах. Е1К – это проекция FK на α, и Е1К⊥А1К, ведь диагонали квадрата пересекаются под прямым углом. Раз отрезок А1К перпендикулярен проекции, то он перпендикулярен и самой наклонной, то есть А1К⊥FK.

Осталось лишь вычислить длину А1К. Для этого по аналогии с предыдущими задачами используем прямоугольный∆А1Е1К, в котором ∠А1Е1К = 45°:

Отвлечемся от куба и рассмотрим другую задачу.

Задание. В ∆АВС вписана окружность. Через центр этой окружности (точку О) проведена прямая ОН, причем она перпендикулярна плоскости АВС. Верно ли, что точка Н находится на одинаковом расстоянии от прямых АВ, АС и ВС?

Решение. Пусть N, K и M – точки касания окружности и сторон АВ, АС и ВС соответственно. Тогда ОN, OK и OM– радиусы, а они должны быть перпендикулярны касательным, то есть

Заметим, что ОN, OK и OM – это также проекции прямых HN, HK и HM соответственно. Раз отрезки АВ, АС и ВС перпендикулярны этим проекциям, то они должны быть перпендикулярны и наклонным:

Это значит, что HN, HK и HM– это расстояния от H до сторон ∆АВС. Осталось показать, что они одинаковы. Это можно сделать с помощью ∆HON, ∆HOK и ∆HOM. Они все прямоугольные, причем катет OH– общий, а катеты ON, OM и OK одинаковы как радиусы одной окружности. Отсюда вытекает вывод, что эти треугольники равны, то есть одинаковы и их гипотенузы HN, HKи HM, ч. т. д.

Теперь снова вернемся к кубу, чтобы на практике научиться определять угол между прямой и плоскостью.

Задание. Найдите угол между ребром куба BD и гранью СDHG:

Решение. ВС – это перпендикуляр к грани СDHG, поэтому CD– проекция BD на грань СDHG. Тогда нам надо найти ∠BDC. Он составляет 45°, так как это угол между стороной и диагональю квадрата АВСD:

Задание. Вычислите угол между ребром CD и плоскостью BDHF:

Решение. Нам надо из С опустить перпендикуляр на BDHF. Несложно догадаться, что для этого надо на грани ABCD опустить перпендикуляр СК на диагональ BD:

Действительно, СK⊥BD. Надо найти ещё одну прямую в BDHF, перпендикулярную СК. И такой прямой может быть BF. Так как BF перпендикулярна всей грани АВСD, то она обязательно перпендикулярна и СК. Получаем, что СК⊥BF и CK⊥BD, и тогда СK⊥BDHF.

Если СK– перпендикуляр, то KD – это проекция СD. Тогда искомый нами угол – это ∠СDK. Он равен 45°, ведь BD – диагональ квадрата АВСD, а CD – его сторона.

Задание. Чему равен угол между прямой BD и плоскостью ABGH:

Решение. На нижней грани АЕНD опустим на АН перпендикуляр DK:

Заметим, что ребро АВ перпендикулярно грани АЕНD, поэтому KD⊥АВ. Но также KD⊥AH (мы специально построили так KD). Тогда можно утверждать, что KD – это перпендикуляр ко всей плоскости АВGH.

В таком случае BK – это проекция BD на AB. Значит, нам необходимо вычислить ∠DBK. Его можно найти из прямоугольного ∆DBK, но сперва надо вычислить длины сторон KD и BD.

ВD найдем из прямоугольного ∆ABD:

Теперь мы можем найти ∠DBK, а точнее его синус, из ∆DBK:

По таблице синусов легко определить, что ∠DBK = 30°.

В ходе сегодняшнего урока мы узнали о перпендикуляре к плоскости. Перпендикуляры используются для определения расстояний в стереометрии, а также угла между прямой и плоскостью.

Видео:Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).Скачать

Определение расстояние между параллельными прямыми (Способ замены плоскостей проекции).

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение и примеры нахождения

В статье ниже мы найдем определение, что же представляет собой расстояние между прямой и плоскостью, параллельными друг другу; разберем способ определить это расстояние и применим полученный навык в решении конкретных задач.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.

Пусть нам даны прямая a и плоскость ϒ 1 , ей параллельная. Используем некоторую точку М 1 , принадлежащую прямой a : проведем перпендикуляр из этой точки на заданную плоскость. Основание перпендикуляра на плоскости обозначим как Н 1 . Длина перпендикуляра М 1 Н 1 и будет являться расстоянием между исходными параллельными прямой и плоскостью.

Найти расстояние между плоскостью и параллельной ей прямой

Указанное определение имеет тесную взаимосвязь со следующей теоремой.

Когда прямая a параллельна плоскости ϒ 1 , все точки прямой a находятся на одинаковом расстоянии от плоскости ϒ 1 .

Используем любую произвольную точку на прямой a – проведем через нее плоскость ϒ 2 , параллельную заданной плоскости ϒ 1 . В таком построении прямая а принадлежит плоскости ϒ 2 (в ином случае прямая а пересекала бы эту плоскость, а, следовательно, пересекала бы и плоскость ϒ 1 , что противоречит исходному условию). В статье, которая разбирает тему расстояния между параллельными плоскостями, мы доказали теорему о том, что все точки одной из параллельных плоскостей равноудалены от точек другой плоскости. Таким образом, все точки прямой a , принадлежащей плоскости ϒ 2 (в свою очередь, параллельной плоскости ϒ 1 ) находятся на одинаковом расстоянии от плоскости ϒ 1 . Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

Нахождение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

Искомое расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и пр.

Если же в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат, мы можем применить метод координат. Разберем его подробнее.

Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована некоторая прямоугольная система координат O x y z , в которой заданы прямая a и плоскость ϒ 1 , параллельные между собой. Требуется определить расстояние между заданными прямой и плоскостью.

Построим решение этой задачи на указанном выше определении расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

Используем некоторую точку М 1 , принадлежащую прямой a : расстояние от этой точки до заданной плоскости и будет являться искомым расстоянием между параллельными прямой и плоскостью. Определим координаты точки М 1 как ( x 1 , y 1 , z 1 ) и запишем нормальное уравнение плоскости ϒ 1 : cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 . Теперь мы можем вычислить искомое расстояние, для чего применим формулу:

M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p

Вывод этой формулы можно изучить в статье о нахождении расстояния от точки до плоскости.

Таким образом, мы можем сформулировать алгоритм для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью:

— определяем координаты точки, принадлежащей заданной прямой (для этого пригодятся навыки работы с основными видами уравнений в пространстве);

— записываем нормальное уравнение заданной плоскости вида cos α · x + cos β · y + cos γ · z — p = 0 (чтобы легко справиться с этим пунктом, следует повторить материал по основным видам уравнений плоскости и вспомнить навык приведения уравнения плоскости к нормальному виду);

— вычисляем искомое расстояние по формуле: M 1 H 1 = cos α · x 1 + cos β · y 1 + cos γ · z 1 — p

Задана прямая x — 1 2 = y 0 = z + 1 1 и параллельная ей плоскость 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 . Необходимо определить расстояние между ними.

Решение

Заданные условием задачи канонические уравнения прямой x — 1 2 = y 0 = z + 1 1 дают возможность определить точку М 1 ( 1 , 0 , — 1 ) , принадлежащую этой прямой.

Запишем нормальное уравнение исходной плоскости, т.е. преобразуем заданное условием задачи общее уравнение в нормальный вид. Вычислим нормирующий множитель: 1 3 2 + 2 2 + ( — 6 ) 2 = 1 7 и умножим на него обе части исходного общего уравнения плоскости:

3 x + 2 y — 6 z — 2 = 0 ⇔ 1 7 · 3 x + 2 y — 6 z — 2 = 1 7 · 0 ⇔ 3 7 x + 2 7 y — 6 7 z — 2 7

Теперь можем вычислить требуемое расстояние как расстояние от точки М 1 до плоскости 3 7 x + 2 7 y — 6 7 z — 2 7 = 0 :

M 1 H 1 = 3 7 · 1 + 2 7 · 0 — 6 7 · — 1 — 2 7 = 1

Ответ: 1 .

Заданы прямая 2 x — y + 9 = 0 2 x + y — 2 z + 3 = 0 и параллельная ей плоскость x — 3 2 + y 3 2 + z — 3 = 1 . Необходимо найти расстояние между ними.

Решение

Условием задачи прямая описывается уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Определим координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) некой точки М 1 , принадлежащей этой прямой. Искомые координаты должны отвечать условиям уравнений прямой, т.е. координаты ( x 1 , y 1 , z 1 ) будут частным решением системы линейных уравнений 2 x — y + 9 = 0 2 x + y — 2 z + 3 = 0 . Найдем частное решение этой системы.

Примем z = 0 , тогда получим: 2 x — y = — 9 2 x + y = — 3 , откуда x = — 3 , y = 3 .

Таким образом, координаты точки М 1 равны ( — 3 , 3 , 0 ) .

Теперь запишем нормальное уравнение плоскости, заданной условием задачи уравнением плоскости в отрезках. Сначала осуществим переход к общему уравнению плоскости:

x — 3 2 + y 3 2 + z — 2 = 1 ⇔ — 2 3 x + 2 3 y — 1 3 z — 1 = 0

Полученное общее уравнение уже является нормальным уравнением плоскости, поэтому в дальнейших преобразованиях необходимости нет.

Наконец, вычислим расстояние от точки до плоскости, которое и будет являться требуемым расстоянием от заданной прямой к заданной плоскости:

M 1 H 1 = — 2 3 · — 3 + 2 3 · 3 — 1 3 · 0 — 1 = 0 = 3

🎦 Видео

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"Скачать

Видеоурок "Расстояние между прямыми в пространстве"

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Точка встречи прямой с плоскостьюСкачать

Точка встречи прямой с плоскостью

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулы

Геометрия 10 класс (Урок№10 - Перпендикуляр и наклонные.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№10 - Перпендикуляр и наклонные.)

18. Расстояние от точки до прямой в пространствеСкачать

18. Расстояние от точки до прямой в пространстве

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Расстояние между скрещивающимися прямымиСкачать

Расстояние между скрещивающимися прямыми
Поделиться или сохранить к себе: