Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Все формулы для радиуса вписанной окружности

Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус вписанной окружности в треугольник

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

a , b , c — стороны треугольника

p — полупериметр, p=( a + b + c )/2

Формула радиуса вписанной окружности в треугольник ( r ):

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Радиус вписанной окружности в равносторонний треугольник

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

a — сторона треугольника

r — радиус вписанной окружности

Формула для радиуса вписанной окружности в равносторонний треугольник ( r ):

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Видео:Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружностиСкачать

Геометрия Один из углов ромба равен 60, а большая диагональ равна 24 см. Найдите радиус окружности

Радиус вписанной окружности равнобедренный треугольник

1. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: стороны и угол

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

α — угол при основании

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через стороны ( r ) :

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и угол ( r ) :

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

2. Формулы радиуса вписанной окружности если известны: сторона и высота

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

a — равные стороны равнобедренного треугольника

b — сторона ( основание)

h — высота

О — центр вписанной окружности

r — радиус вписанной окружности

Формула радиуса вписанной окружности в равнобедренный треугольник через сторону и высоту ( r ) :

Видео:Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Задача 11125 1.Найдите радиус окружности, вписанной в.

Условие

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

1.Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если один из углов треугольника равен 60о, а расстояние от центра окружности до вершины этого угла равно 10.

2.Отрезки АВ и ВС являются соответственно диаметром и хордой окружности с центром О. Найдите угол АОС, если угол АВС равен 67градусов. Ответ дайте в градусах.

3.Окружность с центром О касается сторон угла с вершиной А в точках В и С. Найдите угол ВАС, если угол ВОС равен 127о. Ответ дайте в градусах.

4.Диагональ прямоугольника образует с одной из его сторон угол 11о. Найдите угол между прямыми, содержащими диагонали прямоугольника. Ответ дайте в градусах.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Теорема синусов

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Формула теоремы синусов:

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

  • Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов
    bc sinα = ca sinβ
    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Центральный угол AOB, равный 60 градусов, опирается на хорду AB длиной 3. Найдите радиус окружности.Скачать

    Центральный угол AOB, равный 60 градусов, опирается на хорду AB длиной 3. Найдите радиус окружности.

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать

    Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

    Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Найти радиус окружности вписанной в угол 60 градусов

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    🎥 Видео

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

    Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

    Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129Скачать

    Задача 6 №27909 ЕГЭ по математике. Урок 129

    Формулы для радиуса окружности #shortsСкачать

    Формулы для радиуса окружности #shorts

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

    Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

    ЕГЭ Задание 16 Окружности вписанные в уголСкачать

    ЕГЭ Задание 16 Окружности вписанные в угол

    Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Из точки A проведены две касательные к окружности ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

    Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

    Центральный угол AOB опирается на хорду AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Центральный угол AOB опирается на хорду AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

    Длина окружности. Математика 6 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: