Угол образованный двумя радиусами окружности

Центральный угол окружности

Центральный угол окружности — это угол, образованный двумя радиусами окружности, вершина которого совпадает с центром окружности.

Угол образованный двумя радиусами окружности

O — центр окружности, AO и OB — радиусы окружности, образующие два центральных угла с вершиной в центре O.

Дуга, лежащая во внутренней области угла, называется дугой, соответствующей этому центральному углу.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Углу AOB соответствует две дуги с концами A и B. Если угол AOB является развёрнутым, то он будет разделять окружность на две равные дуги, называемые полуокружностями:

Угол образованный двумя радиусами окружности

∠AOB — развёрнутый угол, Угол образованный двумя радиусами окружностиALB и Угол образованный двумя радиусами окружностиAMB — полуокружности.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Градусная мера дуги окружности

Дугу окружности можно измерять в градусах. Градусная мера дуги — это градусная мера соответствующего ей центрального угла.

Если дуга AB окружности с центром O меньше полуокружности или является полуокружностью, то её градусная мера считается равной градусной мере центрального угла AOB. Если же дуга больше полуокружности, то её градусная мера считается равной 360° —∠AOB:

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружностиAMB = ∠AOB = 180°;

Угол образованный двумя радиусами окружностиNLB = ∠NOB = 135°;

Угол образованный двумя радиусами окружностиNMB = 360° — ∠NOB = 360° — 135° = 225°.

Сумма градусных мер двух дуг с общими концами равна 360°:

Угол образованный двумя радиусами окружностиAMB + Угол образованный двумя радиусами окружностиALB = 360°.

Видео:Углы, связанные с окружностьюСкачать

Углы, связанные с окружностью

Углы, связанные с окружностью

Угол образованный двумя радиусами окружностиВписанные и центральные углы
Угол образованный двумя радиусами окружностиУглы, образованные хордами, касательными и секущими
Угол образованный двумя радиусами окружностиДоказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Видео:№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащейСкачать

№661. Найдите острый угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей

Вписанные и центральные углы

Определение 1 . Центральным углом называют угол, вершина которого совпадает с центром окружности, а стороны являются радиусами радиусами (рис. 1).

Угол образованный двумя радиусами окружности

Определение 2 . Вписанным углом называют угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны являются хордами хордами (рис. 2).

Угол образованный двумя радиусами окружности

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Определение 3 . Угловой мерой (угловой величиной) дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.

Видео:Угол между касательной и хордойСкачать

Угол между касательной и хордой

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ФигураРисунокТеорема
Вписанный уголУгол образованный двумя радиусами окружности
Вписанный уголУгол образованный двумя радиусами окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.
Вписанный уголУгол образованный двумя радиусами окружностиВписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды
Вписанный уголУгол образованный двумя радиусами окружностиДва вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды
Вписанный уголУгол образованный двумя радиусами окружностиВписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр
Окружность, описанная около прямоугольного треугольникаУгол образованный двумя радиусами окружности

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

Угол образованный двумя радиусами окружности

Два вписанных угла, опирающихся на одну и ту же хорду, в сумме составляют 180° , если их вершины лежат по разные стороны от этой хорды

Угол образованный двумя радиусами окружности

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

Угол образованный двумя радиусами окружности

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Видео:❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)Скачать

❓ Угол между двумя секущими (внутри окружности)

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Вписанный угол
Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ФигураРисунокТеоремаФормула
Угол, образованный пересекающимися хордамиУгол образованный двумя радиусами окружностиУгол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне кругаУгол образованный двумя радиусами окружностиУгол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касанияУгол образованный двумя радиусами окружностиУгол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный касательной и секущейУгол образованный двумя радиусами окружностиУгол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный двумя касательными к окружностиУгол образованный двумя радиусами окружностиУгол образованный двумя радиусами окружности

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
Угол образованный двумя радиусами окружности
Формула: Угол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный секущими секущими , которые пересекаются вне круга
Формула: Угол образованный двумя радиусами окружности

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный касательной и хордой хордой , проходящей через точку касания
Угол образованный двумя радиусами окружности
Формула: Угол образованный двумя радиусами окружности
Угол, образованный касательной и секущей касательной и секущей
Формула: Угол образованный двумя радиусами окружности

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Угол, образованный двумя касательными касательными к окружности
Формулы: Угол образованный двумя радиусами окружности

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Видео:Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105Скачать

Задача 6 №27862 ЕГЭ по математике. Урок 105

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

Теорема 1 . Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Доказательство . Рассмотрим сначала вписанный угол ABC , сторона BC которого является диаметром окружности диаметром окружности , и центральный угол AOC (рис. 5).

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

Угол образованный двумя радиусами окружности

В этом случае справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

Угол образованный двумя радиусами окружности

В этом случае справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

что и завершает доказательство теоремы 1.

Теорема 2 . Величина угла, образованного пересекающимися хордами хордами , равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 8.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Нас интересует величина угла AED , образованного пересекающимися в точке E хордами AB и CD . Поскольку угол AED – внешний угол треугольника BED , а углы CDB и ABD являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 3 . Величина угла, образованного секущими секущими , пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного пересекающимися в точке E секущими AB и CD . Поскольку угол ADC – внешний угол треугольника ADE , а углы ADC , DCB и DAB являются вписанными углами, то справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 4 . Величина угла, образованного касательной и хордой касательной и хордой , проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 10.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Нас интересует величина угла BAC , образованного касательной AB и хордой AC . Поскольку AD – диаметр диаметр , проходящий через точку касания, а угол ACD – вписанный угол, опирающийся на диаметр, то углы DAB и DCA – прямые. Поэтому справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

что и требовалось доказать

Теорема 5 . Величина угла, образованного касательной и секущей касательной и секущей , равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 11.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательной AB и секущей CD . Заметим, что угол BDC – внешний угол треугольника DBE , а углы BDC и BCD являются вписанными углами. Кроме того, углы DBE и DCB , в силу теоремы 4, равны. Поэтому справедливы равенства

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

что и требовалось доказать.

Теорема 6 .Величина угла, образованного двумя касательными к окружности касательными к окружности , равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.

Доказательство . Рассмотрим рисунок 12.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Угол образованный двумя радиусами окружности

Нас интересует величина угла BED , образованного касательными AB и CD . Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство

Видео:8 класс. Углы в окружностиСкачать

8 класс. Углы в окружности

Окружность. Центральный угол.

Центральным угол – это угол образованный двумя радиусами окружности. Пример центрального угла — угол AOB, ВОС, СОЕ и так далее.

О центральном угле и дуге, заключенной между его сторонами, говорят, что они соответствуют друг другу.

В одном круге или в равных кругах:

1. если центральные углы равны, то и соответствующие им дуги равны.

2. если центральные углы не равны, то большему из них соответствует большая дуга.

Пусть AOB и COD два центральных угла, равных или неравных. Повернем сектор AOB вокруг центра в направлении, указанном стрелкой, настолько, чтобы радиус OA совместился с OC.Тогда, если центральные углы равны, то радиус OA совпадет с OD и дуга AB с дугой СD.

Значит эти дуги будут равны.

Если же центральные углы не равны, то радиус OB пойдет не по OD, а по какому-нибудь иному направлению, например, по OE или по OF. В том и другом случае большему углу, очевидно, соответствует и большая дуга.

Угол образованный двумя радиусами окружности

Теорема, доказанная нами для одного круга, остается верной для равных кругов, потому что такие круги ничем друг от друга не отличаются, кроме своего положения.

Обратные предложения так же будет верным. В одном круге или в равных кругах:

1. если дуги равны, то и соответствующие им центральные углы равны.

2. если дуги не равны, то большей из них соответствует больший центральный угол.

В одном круге или в равных кругах центральные углы относятся, как соответствующие им дуги. Или перефразировав получаем, что центральный угол пропорционален соответствующей ему дуге.

🔍 Видео

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательнымиСкачать

8 класс. Геометрия. Углы, образованные хордами, секущими и касательными

Центральный угол окружностиСкачать

Центральный угол окружности

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.Скачать

Окружнось, дуга, длина дуги, центральный угол.

Задания ОГЭ по математике: решение варианта 17. Нахождение угла, образованного двумя радиусами..Скачать

Задания ОГЭ по математике: решение варианта 17. Нахождение угла, образованного двумя радиусами..

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Углы в окружности | ФормулыСкачать

Углы в окружности | Формулы

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

Окружность и круг, 6 классСкачать

Окружность и круг, 6 класс

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Угол между хордой и касательной. 9 класс.Скачать

Угол между хордой и касательной. 9 класс.

Задача на определение градусной мерыСкачать

Задача на определение градусной меры
Поделиться или сохранить к себе: