Найти прямоугольный треугольник рисунок

Прямоугольный треугольник. Теорема Пифагора.
Содержание
  1. теория по математике 📈 планиметрия
  2. Свойства прямоугольного треугольника
  3. Признаки равенства прямоугольных треугольников
  4. Теорема Пифагора
  5. Египетский треугольник
  6. Пифагоровы тройки
  7. Прямоугольный треугольник
  8. Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления
  9. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  10. Теорема Пифагора
  11. Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника
  12. Решение прямоугольных треугольников
  13. Пример №1
  14. Пример №2
  15. Пример №3
  16. Пример №4
  17. Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника
  18. Пример №5
  19. Пример №6
  20. Пример №7
  21. Пример №8
  22. Пример №9
  23. Пример №10
  24. Пример №11
  25. Перпендикуляр и наклонная, их свойства
  26. Пример №12
  27. Пример №13
  28. Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике
  29. Пример №14
  30. Пример №15
  31. Пример №16
  32. Пример №17
  33. Вычисление прямоугольных треугольников
  34. Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу
  35. Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу
  36. Решение прямоугольных треугольников по двум катетам
  37. Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе
  38. Определение прямоугольных треугольников
  39. Синус, косинус и тангенс
  40. Пример №18
  41. Тригонометрические тождества
  42. Пример №19
  43. Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения
  44. Значения тригонометрических функций углов 30 45 60
  45. Решение прямоугольных треугольников
  46. Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника
  47. Пример №20
  48. Примеры решения прямоугольных треугольников
  49. Пример №21
  50. Пример №22
  51. Пример №23
  52. Пример №24
  53. Пример №25
  54. Пример №26
  55. Историческая справка
  56. Приложения
  57. Теорема (обобщенная теорема Фалеса)
  58. Теорема (формула площади прямоугольника)
  59. Золотое сечение
  60. Пример №27
  61. Пример №28
  62. Пример №29
  63. Вычисление значений sin a, cos а и tg а
  64. Пример №31
  65. Как решать прямоугольные треугольники
  66. Пример №32
  67. Пример №33
  68. Пример №34
  69. Пример №35
  70. Пример №36
  71. Пример №37
  72. 💡 Видео

теория по математике 📈 планиметрия

Если в треугольнике есть угол, равный 90 градусов, то такой треугольник называется прямоугольным. Стороны прямоугольного треугольника называются – катеты и гипотенуза. Катеты – это стороны, образующие прямой угол. Гипотенуза – сторона, которая располагается напротив прямого угла.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

На рисунке треугольник АВС – прямоугольный, угол С равен 90º, стороны АС и ВС – катеты, а сторона АВ – гипотенуза.

Видео:Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

Свойства прямоугольного треугольника

  • В прямоугольном треугольнике гипотенуза является наибольшей стороной.
  • В прямоугольном треугольнике катет, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы. И обратно, если катет равен половине гипотенузы, то угол, лежащий напротив этого катета, равен 30 0 .

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Например, пусть угол А=30 0 , а гипотенуза АВ=28 см, то катет ВС будет равен 14 см, так как лежит напротив угла А=30 0 . Или, например, если катет ВС=6 см, а гипотенуза АВ равна 12 см, то угол А (лежащий напротив катета ВС), равен 30 0 .

  • Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна всегда 90 градусов.
  • Медиана, проведенная к гипотенузе, равна её половине.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

На рисунке изображен прямоугольный треугольник АВС, где CD – медиана, проведенная к гипотенузе. По свойству – медиана CD=0,5АВ, то есть AD=DB=CD.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnline

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

  1. по катетам;
  2. по катету и прилежащему острому углу;
  3. по гипотенузе и острому углу;
  4. по гипотенузе и катету.

Видео:Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18Скачать

Найдите углы прямоугольного треугольника, если его гипотенуза равна 12, а площадь равна 18

Теорема Пифагора

Древнегреческий философ, ученый, математик – Пифагор Самосский вывел теорему, которая до сих применима для решения задач. Теорема названа в честь него – «теорема Пифагора».

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

На рисунке в прямоугольном треугольнике АВ 2 =АС 2 +ВС 2

Например, если в данном треугольнике катеты равны 9 и 12 см, то можно найти длину гипотенузы, используя теорему: АВ 2 =9 2 +12 2 =81+144=225=15 2 , значит АВ=15 см.

Египетский треугольник

Треугольник со сторонами 3, 4 и 5 см называют Египетским треугольником.

Пифагоровы тройки

Тройки чисел, которые удовлетворяют теореме Пифагора, называют Пифагоровы тройки, а сами числа – Пифагоровы числа. Например, такими являются числа 16, 12 и 20 – это числа, которые при подстановке в формулу теоремы, дают нам верное равенство: 16 2 +12 2 =20 2 , 256+144=400, 400=400.

Видео:Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольникеСкачать

Лайфхак нахождения катета в прямоугольном треугольнике

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Найти прямоугольный треугольник рисунокЕсли гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Свойства прямоугольного треугольника

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90˚.

2. Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.

И обратно, если в треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

3. Теорема Пифагора:

Найти прямоугольный треугольник рисунок, где Найти прямоугольный треугольник рисунок– катеты, Найти прямоугольный треугольник рисунок– гипотенуза. Видеодоказательство

Найти прямоугольный треугольник рисунок

4. Площадь Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника с катетами Найти прямоугольный треугольник рисунок:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

5. Высота Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе выражается через катеты Найти прямоугольный треугольник рисуноки гипотенузу Найти прямоугольный треугольник рисунокследующим образом:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

6. Центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

7. Радиус Найти прямоугольный треугольник рисунокописанной окружности есть половина гипотенузы Найти прямоугольный треугольник рисунок:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

8. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине

9. Радиус Найти прямоугольный треугольник рисуноквписанной окружности выражается через катеты Найти прямоугольный треугольник рисуноки гипотенузу Найти прямоугольный треугольник рисунокследующим образом:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике смотрите здесь.

Видео:✓ Квадрат вписан в прямоугольный треугольник | Ботай со мной #129 | Борис ТрушинСкачать

✓ Квадрат вписан в прямоугольный треугольник | Ботай со мной #129 | Борис Трушин

Решение прямоугольных треугольников с формулами и примерами вычисления

Содержание:

В этой лекции вы ознакомитесь со знаменитой теоремой Пифагора. Вы научитесь по известным сторонам и углам прямоугольного треугольника находить его неизвестные стороны и углы.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№25 - Прямоугольные треугольники.)

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отрезки AD и DB называют проекциями катетов АС и СВ соответственно на гипотенузу.

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Докажите лемму самостоятельно.

Теорема 15.1. Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу. Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство. На рисунке 173 отрезок CD — высота прямоугольного треугольника ABC Найти прямоугольный треугольник рисунок

Докажем, что Найти прямоугольный треугольник рисунок

  • Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок
  • Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок
  • Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если длины отрезков на рисунке 173 обозначить так:

АС = Ь, Найти прямоугольный треугольник рисунокто доказанные соотношения принимают вид:
Найти прямоугольный треугольник рисунок
Эти равенства называют метрическими соотношениями в прямоугольном треугольнике.

Пример:

Даны два отрезка, длины которых равны а и b (рис. 174). Постройте третий отрезок, длина которого равна Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Рассмотрим треугольник ADC Найти прямоугольный треугольник рисунокв котором отрезок DB является высотой (рис. 175). Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунокЕсли обозначить Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Проведенный анализ показывает, как провести построение.

На произвольной прямой отметим точку А и отложим последовательно отрезки АВ и ВС так, чтобы АВ = а, ВС = b. Построим окружность с диаметром АС. Через точку В проведем прямую, перпендикулярную прямой АС (рис. 175).

Докажем, что отрезок DB искомый. Действительно, Найти прямоугольный треугольник рисуноккак вписанный угол, опирающийся на диаметр АС. Тогда по теореме 15.1 Найти прямоугольный треугольник рисунок

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Теорема Пифагора

Теорема 16.1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство. На рисунке 176 изображен прямоугольный треугольник ABC Найти прямоугольный треугольник рисунокДокажем, что Найти прямоугольный треугольник рисунок
Проведем высоту CD. Применив теорему 15.1 для катетов АС и ВС, получаем:
Найти прямоугольный треугольник рисунокСложив почленно эти равенства, получим:
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Далее имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если в прямоугольном треугольнике длины катетов равны а и b, а длина гипотенузы равна с, то теорему Пифагора можно выразить следующим равенством: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Теорема Пифагора позволяет по двум сторонам прямоугольного треугольника найти его третью сторону:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из равенства Найти прямоугольный треугольник рисуноктакже следует, что Найти прямоугольный треугольник рисунокотсюда Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть гипотенуза больше любого из катетов 1 .

1 Другим способом этот факт был установлен в курсе геометрии 7 класса.

Пифагор:

Вы изучили знаменитую теорему, которая носит имя выдающегося древнегреческого ученого Пифагора.

Исследования древних текстов свидетельствуют о том, что утверждение этой теоремы было известно задолго до Пифагора. Почему же ее приписывают Пифагору? Скорее всего потому, что именно Пифагор нашел доказательство этого утверждения.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

О жизни Пифагора мало что известно достоверно. Он родился на греческом острове Самос. По преданиям, он много путешествовал, приобретая знания и мудрость.

Поселившись в греческой колонии Кротон (на юге Италии), он окружил себя преданными учениками и единомышленниками. Так возник пифагорейский союз (или кротонское братство). Влияние этого союза было столь велико, что даже спустя столетия после смерти Пифагора многие выдающиеся математики Древнего мира Пифагор называли себя пифагорейцами.

Тригонометрические функции острого угла прямоугольного треугольника

На рисунке 180 изображен прямоугольный треугольник АВС Найти прямоугольный треугольник рисунокНапомним, что катет ВС называют противолежащим углу А, а катет АС — прилежащим к этому углу.

Определение. Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла А обозначают так: sin А (читают: «синус А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС имеем:
Найти прямоугольный треугольник рисунок
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, можно записать: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник АВС Найти прямоугольный треугольник рисунокв котором АС = ВС = а (рис. 182).

Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок
По определению Найти прямоугольный треугольник рисунокотсюда Найти прямоугольный треугольник рисунокВидим, что синус острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника не зависит от размеров треугольника, так как полученное значение синуса одинаково для всех значений а. Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокЭту запись не связывают с конкретным прямоугольным равнобедренным треугольником.

Вообще, если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны.

Действительно, эти прямоугольные треугольники подобны по первому признаку подобия треугольников. Поэтому отношение катета к гипотенузе одного треугольника равно отношению соответственного катета к гипотенузе другого треугольника.

Например, запись sin 17° можно отнести ко всем углам, градусные меры которых равны 17°. Значение этого синуса можно вычислить один раз, выбрав произвольный прямоугольный треугольник с острым углом 17°.
Следовательно, синус острого угла зависит только от величины этого угла.

Определение. Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла А обозначают так: cos А (читают: «косинус А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отметим, что катет прямоугольного треугольника меньше его гипотенузы, а поэтому синус и косинус острого угла меньше 1.

Определение. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла А обозначают так: tg А (читают: «тангенс А»).
Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Определение. Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Котангенс угла А обозначают так: ctg А (читают: «котангенс А»). Для острых углов А и В прямоугольного треугольника АВС (рис. 180) можно записать:
Найти прямоугольный треугольник рисунок
Для прямоугольного треугольника, изображенного на рисунке 181, записывают: Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Как было установлено, синус угла зависит только от величины угла. Рассуждая аналогично, можно прийти к следующему выводу: косинус, тангенс и котангенс острого угла зависят только от величины этого угла.

Вообще, каждому острому углу а соответствует единственное число — значение синуса (косинуса, тангенса, котангенса) этого угла. Поэтому зависимость значения синуса (косинуса, тангенса, котангенса) острого угла от величины этого угла является функциональной. Функцию, соответствующую этой зависимости, называют тригонометрической. Так, Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунок— тригонометрические функции, аргументами которых являются острые углы.

С древних времен люди составляли таблицы приближенных значений тригонометрических функции с некоторым шагом, один раз вычисляя значения тригонометрических функций для конкретного аргумента. Затем эти таблицы широко использовались во многих областях науки и техники.

В наше время значения тригонометрических функций острых углов удобно находить с помощью микрокалькулятора.

Тангенс и котангенс острого угла можно выразить через синус и косинус этого же угла. Рассмотрим прямоугольный треугольник (рис. 181).

Запишем: Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно, получаем такие формулы: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Заметим, что тангенс и котангенс одного и того же острого угла являются взаимно обратными числами, то есть имеет место равенство:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунокОбе части этого равенства делим на Найти прямоугольный треугольник рисунокИмеем: Найти прямоугольный треугольник рисунокУчитывая, что Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунокполучим: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Принято записывать: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отсюда имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок
Эту формулу называют основным тригонометрическим тождеством.

Отметим, что Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокто получаем такие формулы:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Мы уже знаем, что Найти прямоугольный треугольник рисунокНайдем теперь cos 45°, tg 45° и ctg 45°.

Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найдем синус, косинус, тангенс и котангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 183).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пусть ВС = а. Тогда по свойству катета, лежащего против угла 30°, получаем, что АВ = 2а. Из теоремы Пифагора следует, что Найти прямоугольный треугольник рисунок

Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок
Отсюда находим: Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку 60° = 90° — 30°, то получаем:
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для углов 30°, 45° и 60° полезно запомнить.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение прямоугольных треугольников

На рисунке 185 изображен прямоугольный треугольник с острыми углами Найти прямоугольный треугольник рисуноккатеты которого равны а и b, а гипотенуза равна с.
По определению синуса острого угла прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.

По определению косинуса острого угла прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По определению тангенса острого угла прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катету.

По определению котангенса острого угла прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок
Следовательно, катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому катету.
Из равенств Найти прямоугольный треугольник рисунокполучаем: Найти прямоугольный треугольник рисунок
Следовательно, гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла;

  • гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Решить прямоугольный треугольник означает найти его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Приведенные выше правила позволяют решать прямоугольный треугольник по одной стороне и одному острому углу.

В задачах на решение прямоугольных треугольников, если не обусловлено иначе, приняты такие обозначения (см. рис. 185): с — гипотенуза, а и b — катеты, Найти прямоугольный треугольник рисунок— углы, противолежащие катетам а и b соответственно.

Пример №1

Решите прямоугольный треугольник по катету и острому углу: a = 14 см, Найти прямоугольный треугольник рисунок= 38°. (Значения тригонометрических функций найдите с помощью микрокалькулятора и округлите их до сотых. Значения длин сторон округлите до десятых.)

Решение:

Найти прямоугольный треугольник рисунок
Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отметим, что эту задачу можно было решить и другим способом: например, найти гипотенузу, используя теорему Пифагора.

Пример №2

Решите прямоугольный треугольник по катету и гипотенузе:

a = 26 см, с = 34 см.

Решение:

Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Вычисляем угол Найти прямоугольный треугольник рисунокс помощью микрокалькулятора: Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда Найти прямоугольный треугольник рисунок
Найти прямоугольный треугольник рисунок
Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №3

Высота AD треугольника АВС (рис. 186) делит его сторону ВС на отрезки BD и CD такие, что Найти прямоугольный треугольник рисунокНайдите стороны АВ и АС, если Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Из треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокполучаем:
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокполучаем:Найти прямоугольный треугольник рисунок
Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №4

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна b, угол при основании равен Найти прямоугольный треугольник рисунокНайдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

В треугольнике АВС (рис. 187) Найти прямоугольный треугольник рисунок

Проведем высоту BD.

Из треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокполучаем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Точка О — центр окружности, вписанной в треугольник АВС. Следовательно, точка О принадлежит высоте ВD и биссектрисе АО угла ВАС. Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокто вписанная окружность касается стороны АС в точке D. Таким образом, OD — радиус вписанной окружности. Отрезок АО — биссектриса угла BAD, поэтому
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокполучаем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Напомню:

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

  • Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, равен произведению проекций катетов на гипотенузу.
  • Квадрат катета равен произведению гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Теорема Пифагора

  • В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус острого угла прямоугольного треугольника

  • Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус острого угла прямоугольного треугольника

  • Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс острого угла прямоугольного треугольника

  • Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к противолежащему.

Тригонометрические формулы

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок— основное тригонометрическое тождество

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Соотношения между сторонами и значениями тригонометрических функций углов в прямоугольном треугольнике

  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на синус угла, противолежащего этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению гипотенузы на косинус угла, прилежащего к этому катету.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на тангенс угла, противолежащего первому катет>г.
  • Катет прямоугольного треугольника равен произведению второго катета на котангенс угла, прилежащего к первому’ катету.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на синус противолежащего ему угла.
  • Гипотенуза прямоугольного треугольника равна частному от деления катета на косинус прилежащего к нему угла.

Четырехугольник, его элементы. Сумма углов четырехугольника

Рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии, которая показывает зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника.

Теорема 1 (теорема Пифагора). В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

На сегодняшний день известны более ста доказательств этой теоремы. Рассмотрим одно из них.

Доказательство:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисунок-данный прямоугольный треугольник, у которого Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 172). Докажем, что

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

1) Проведем высоту Найти прямоугольный треугольник рисунок
2) По теореме о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике имеем:

Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок

3) Сложим эти два равенства почленно. Учитывая, что Найти прямоугольный треугольник рисунокполучим:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

4) Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если в треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначить Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 173), то теорему Пифагора можно записать формулой:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Таким образом, зная две стороны прямоугольного треугольника, с помощью теоремы Пифагора можно найти третью. В этом нам поможет следующая схема:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №5

Катеты прямоугольного треугольника равны 7 см и 24 см. Найдите гипотенузу.

Решение:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисуноктогда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №6

Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 17 см, а один из катетов — 15 см. Найдите второй катет.

Решение:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисуноктогда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №7

Найдите диагональ квадрата, сторона которого равнаНайти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Рассмотрим квадрат Найти прямоугольный треугольник рисуноку которого Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 174). Тогда

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №8

Найдите медиану равностороннего треугольника со стороной Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Рассмотрим равносторонний треугольник Найти прямоугольный треугольник рисуноксо стороной Найти прямоугольный треугольник рисунок— его медиана (рис. 175).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Так как Найти прямоугольный треугольник рисунок— медиана равностороннего треугольника, то она является и его высотой.

Из Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №9

Основания равнобокой трапеции равны 12 см и 22 см, а боковая сторона — 13 см. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисунок— данная трапеция, Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 176).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

1) Проведем высоты Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок

2) Найти прямоугольный треугольник рисунок(по катету и гипотенузе), поэтому

Найти прямоугольный треугольник рисунок

3) Из Найти прямоугольный треугольник рисунокпо теореме Пифагора имеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №10

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 8 см, а второй на 2 см меньше гипотенузы. Найдите неизвестный катет треугольника.

Решение:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисуноксм и Найти прямоугольный треугольник рисуноксм- катеты треугольника, тогда Найти прямоугольный треугольник рисуноксм — его гипотенуза.

Так как по теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунокполучим уравнение: Найти прямоугольный треугольник рисунокоткуда Найти прямоугольный треугольник рисунок(см).

Следовательно, неизвестный катет равен 15 см.

Верно и утверждение, обратное теореме Пифагора.

Теорема 2 (обратная теореме Пифагора). Если для треугольника Найти прямоугольный треугольник рисуноксправедливо равенство Найти прямоугольный треугольник рисунокто угол Найти прямоугольный треугольник рисунокэтого треугольника — прямой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунокДокажем, что Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 177).

Рассмотрим Найти прямоугольный треугольник рисуноку которого Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунокТогда по теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунока следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Но Найти прямоугольный треугольник рисунокпо условию, поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Таким образом, Найти прямоугольный треугольник рисунок(по трем сторонам), откуда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Так как Найти прямоугольный треугольник рисунокто треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным. Такой треугольник часто называют египетским, потому что о том, что он прямоугольный, было известно еще древним египтянам.

Тройку целых чисел, удовлетворяющую теореме Пифагора, называют пифагоровой тройкой чисел, а треугольник, стороны которого равны этим числам, — пифагоровым треугольником. Например, пифагоровой является не только тройка чисел 3, 4, 5, но и 7, 24, 25 или 9, 40, 41 и т. п.

Заметим, что из теоремы Пифагора и теоремы, ей обратной, следует, что

треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат наибольшей стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон.

Пример №11

Является ли прямоугольным треугольник со сторонами: 1) 6; 8; 10; 2) 5; 7; 9?

Решение:

1) Так как Найти прямоугольный треугольник рисунокто треугольник является прямоугольным.

2) Так как Найти прямоугольный треугольник рисунокто треугольник не является прямоугольным.

Ответ. 1) Да; 2) нет.

Теорема, названная в честь древнегреческого философа и математика Пифагора, была известна задолго до него. В текстах давних вавилонян о ней вспоминалось еще за 1200 лет до Пифагора. Скорее всего, доказывать эту теорему вавилоняне не умели, а зависимость между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника установили опытным путем. Также эта теорема была известна в Древнем Египте и Китае.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Считается, что Пифагор — первый, кто предложил строгое доказательство теоремы. Он сформулировал теорему так: «Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах». Именно в такой формулировке она и была доказана Пифагором.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рисунок к этому доказательству еще называют «пифагоровыми штанами».

Зная, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 является прямоугольным, землемеры Древнего Египта использовали его для построения прямого угла. Бечевку делили узлами на 12 равных частей и соединяли ее концы. Потом веревку растягивали и с помощью колышков фиксировали на земле в виде треугольника со сторонами 3; 4; 5. В результате угол, противолежащий стороне, длина которой 5, был прямым.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Перпендикуляр и наклонная, их свойства

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисунокперпендикуляр, проведенный из точки Найти прямоугольный треугольник рисунокк прямой Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 185). Точку Найти прямоугольный треугольник рисунокназывают основанием перпендикуляра Найти прямоугольный треугольник рисунокПусть Найти прямоугольный треугольник рисунок— произвольная точка прямой Найти прямоугольный треугольник рисунокотличающаяся от Найти прямоугольный треугольник рисунокОтрезок Найти прямоугольный треугольник рисунокназывают наклонной, проведенной из точки Найти прямоугольный треугольник рисунокк прямой Найти прямоугольный треугольник рисунока точку Найти прямоугольный треугольник рисунокоснованием наклонной. Отрезок Найти прямоугольный треугольник рисунокназывают проекцией наклонной Найти прямоугольный треугольник рисунокна прямую Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим свойства перпендикуляра и наклонной.

1. Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой.

Действительно, в прямоугольном треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок-катет, Найти прямоугольный треугольник рисунок— гипотенуза (рис. 185). Поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

2. Если две наклонные, проведенные к прямой из одной точки, равны, то равны и их проекции.

Пусть из точки Найти прямоугольный треугольник рисунокк прямой Найти прямоугольный треугольник рисунокпроведены наклонные Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисуноки перпендикуляр Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 186). Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок(по катету и гипотенузе), поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Верно и обратное утверждение.

3. Если проекции двух наклонных, проведенных из точки к прямой, равны, то равны и сами наклонные.

Найти прямоугольный треугольник рисунок(по двум катетам), поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 186).

4. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большей является та, у которой больше проекция.

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок— наклонные, Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 187). Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок(из Найти прямоугольный треугольник рисунок), Найти прямоугольный треугольник рисунок(из Найти прямоугольный треугольник рисунок). Но Найти прямоугольный треугольник рисунокпоэтому Найти прямоугольный треугольник рисунокследовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Свойство справедливо и в случае, когда точки Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисуноклежат на прямой по одну сторону от точки Найти прямоугольный треугольник рисунок

Верно и обратное утверждение.

5. Из двух наклонных, проведенных из точки к прямой, большая наклонная имеет большую проекцию.

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок— наклонные, Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 187).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок(из Найти прямоугольный треугольник рисунок),

Найти прямоугольный треугольник рисунок(из Найти прямоугольный треугольник рисунок). Но Найти прямоугольный треугольник рисунокпоэтому Найти прямоугольный треугольник рисунокследовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №12

Из точки к прямой проведены две наклонные. Длина одной из них равна 10 см, а ее проекции — 6 см. Найдите длину второй наклонной, если она образует с прямой угол 30°.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

1) Из Найти прямоугольный треугольник рисунок(см).

2) Из Найти прямоугольный треугольник рисунокпо свойству катета, противолежащего углу 30°,

будем иметь: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ. 16 см.

Пример №13

Из точки Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямой проведены две наклонные, проекции которых равны 30 см и 9 см. Найдите длины наклонных, если их разность равна 9 см.

Решение:

Пусть на рисунке 187 Найти прямоугольный треугольник рисунокПо свойству 4: Найти прямоугольный треугольник рисунокОбозначим Найти прямоугольный треугольник рисуноксм. Тогда Найти прямоугольный треугольник рисуноксм.

Из Найти прямоугольный треугольник рисунокпоэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из Найти прямоугольный треугольник рисунокпоэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Левые части полученных равенств равны, следовательно, равны и правые их части.

Имеем уравнение: Найти прямоугольный треугольник рисунокоткуда Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно, Найти прямоугольный треугольник рисуноксм, Найти прямоугольный треугольник рисунок(см).

Ответ. 41 см, 50 см.

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найти прямоугольный треугольник рисунокс прямым углом Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 190). Для острого угла Найти прямоугольный треугольник рисуноккатет Найти прямоугольный треугольник рисунокявляется противолежащим катетом, а катет Найти прямоугольный треугольник рисунок— прилежащим катетом. Для острого угла Найти прямоугольный треугольник рисуноккатет Найти прямоугольный треугольник рисунокявляется противолежащим, а катет Найти прямоугольный треугольник рисунок— прилежащим.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Синус угла Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают так: Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно,

Найти прямоугольный треугольник рисунок
Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Косинус угла Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают так: Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно,

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Так как катеты Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунокменьше гипотенузы Найти прямоугольный треугольник рисунокто синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника меньше единицы.

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называют отношение противолежащего катета к прилежащему.

Тангенс угла Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают так: Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно,

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Докажем, что если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то синусы этих углов равны, косинусы этих углов равны и тангенсы этих углов равны.

Рассмотрим прямоугольные треугольники Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисуноку которых Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 191). Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок(по острому углу). Поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из этого следует, что Найти прямоугольный треугольник рисуноки поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Аналогично Найти прямоугольный треугольник рисунокпоэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

поэтому Найти прямоугольный треугольник рисунок

Таким образом, приходим к выводу: синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла.

Из определений синуса, косинуса и тангенса угла получаем следующие соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего: Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок
2. Гипотенуза равна катету, деленному на синус противолежащего ему угла или на косинус прилежащего:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

3. Катет, противолежащий углу Найти прямоугольный треугольник рисунокравен произведению второго катета на тангенс этого угла: Найти прямоугольный треугольник рисунок
4. Катет, прилежащий к углу Найти прямоугольный треугольник рисунокравен частному от деления другого катета на тангенс этого угла: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Значения Найти прямоугольный треугольник рисунокможно находить с помощью специальных таблиц, калькулятора или компьютера. Для вычислений используем клавиши калькулятора Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок(на некоторых калькуляторах Найти прямоугольный треугольник рисунокПоследовательность вычислений у разных калькуляторов может быть разной. Поэтому советуем внимательно познакомиться с инструкцией к калькулятору.

Пример №14

В треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунокНайдите Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 190). Найти прямоугольный треугольник рисунок(см).

Пример №15

В треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунокНайдите Найти прямоугольный треугольник рисунок(с точностью до десятых сантиметра).

Решение:

Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 190). С помощью таблиц или калькулятора находим Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ. Найти прямоугольный треугольник рисунок2,9 см.

С помощью таблиц, калькулятора или компьютера можно по данному значению Найти прямоугольный треугольник рисунокили Найти прямоугольный треугольник рисунокнаходить угол Найти прямоугольный треугольник рисунокДля вычислений используем клавиши калькулятора Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №16

В треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найдите острые углы треугольника.

Решение:

Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 190). С помощью калькулятора находим значение угла Найти прямоугольный треугольник рисунокв градусах: 51,34019. Представим его в градусах и минутах (в некоторых калькуляторах это возможно сделать с помощью специальной клавиши): Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найдем синус, косинус и тангенс углов 30° и 60°. Рассмотрим Найти прямоугольный треугольник рисуноку которого Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 192).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тогда по свойству катета, противолежащего углу 30°, Найти прямоугольный треугольник рисунок

По теореме Пифагора:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найдем синус, косинус и тангенс угла 45°.

Рассмотрим Найти прямоугольный треугольник рисуноку которого Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 193). Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунокПо теореме Пифагора:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокто есть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Систематизируем полученные данные в таблицу:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №17

Найдите высоту равнобедренного треугольника, проведенную к основанию, если основание равно 12 см, а угол при вершине треугольника равен 120°.

Решение:

Пусть Найти прямоугольный треугольник рисунок— данный треугольник, Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 194).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Проведем к основанию Найти прямоугольный треугольник рисуноквысоту Найти прямоугольный треугольник рисунокявляющуюся также медианой и биссектрисой. Тогда

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из Найти прямоугольный треугольник рисунок

отсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок(см).

Ответ. Найти прямоугольный треугольник рисуноксм.

Вычисление прямоугольных треугольников

Решить треугольник — значит найти все неизвестные его стороны и углы по известным сторонам и углам.

Для того чтобы можно было решить прямоугольный треугольник, известными должны быть или две стороны треугольника или одна из сторон и один из острых углов треугольника.

Используя в прямоугольном треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначение Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 198) и соотношение между его сторонами и углами:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок(теорема Пифагора);

Найти прямоугольный треугольник рисунок

можно решить любой прямоугольный треугольник.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим четыре вида задач на решение прямоугольных треугольников.

Образцы записи их решения в общем виде и примеры задач представлены в виде таблиц.

Решение прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу

Пример:

Дано гипотенузу Найти прямоугольный треугольник рисуноки острый угол Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника и его катеты.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Пример:

Дано катет Найти прямоугольный треугольник рисуноки острый угол Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника. Найдите второй острый угол треугольника, второй катет и гипотенузу.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение прямоугольных треугольников по двум катетам

Пример:

Дано катеты Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника. Найдите гипотенузу и острые углы треугольника.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Пример:

Дано катет Найти прямоугольный треугольник рисуноки гипотенуза Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника. Найдите второй катет и острые углы треугольника.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример:

Найдите высоту дерева Найти прямоугольный треугольник рисунокоснование Найти прямоугольный треугольник рисуноккоторого является недоступным (рис. 199).

Решение:

Обозначим на прямой, проходящей через точку Найти прямоугольный треугольник рисунок— основание дерева, точки Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисуноки измеряем отрезок Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

1) В Найти прямоугольный треугольник рисунок

2) В Найти прямоугольный треугольник рисунок

3) Так как Найти прямоугольный треугольник рисунокимеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

откуда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Определение прямоугольных треугольников

Из этой главы вы узнаете, как решать прямоугольные треугольники, т. е. находить их неизвестные стороны и углы по известным. Необходимые для этого теоретические знания можно почерпнуть из раздела математики, родственного как с геометрией, так и с алгеброй, — из тригонометрии. Собственно, само слово «тригонометрия» в переводе с греческого означает «измерение треугольников». Поэтому отношения сторон прямоугольного треугольника, с которыми вы познакомитесь далее, получили название тригонометрических функций.

Соотношения, которые будут применяться в этой главе, в полной мере можно считать проявлением подобия треугольников. Вообще, подобие треугольников, теорема Пифагора и площадь — это те три кита, на которых держится геометрия многоугольника. Именно исследование взаимосвязей между этими теоретическими фактами и составляет основное содержание курса геометрии в восьмом классе.

Синус, косинус и тангенс

Как уже было доказано, все прямоугольные треугольники, имеющие по равному острому углу, подобны. Свойство подобия обусловливает не только равенство отношений пропорциональных сторон этих треугольников, но и равенство отношений между катетами и гипотенузой каждого из этих треугольников. Именно эти отношения и будут предметом дальнейшего рассмотрения.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найти прямоугольный треугольник рисунокгипотенузой Найти прямоугольный треугольник рисуноки острым углом Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 168).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Определение

Синусом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника (обозначается Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Косинусом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника (обозначается Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение прилежащего катета к гипотенузе:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тангенсом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника (обозначается Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Кроме синуса, косинуса и тангенса, рассматривают также котангенс острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокпрямоугольного треугольника (обозначается Найти прямоугольный треугольник рисуноккоторый равен отношению прилегающего катета к противолежащему:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку катет прямоугольного треугольника меньше гипотенузы, то синус и косинус острого угла меньше единицы.

Покажем, что значения тригонометрических функций зависят только от величины угла. Пусть прямоугольные треугольники Найти прямоугольный треугольник рисунокимеют равные острые углы Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 169).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Эти треугольники подобны, отсюда Найти прямоугольный треугольник рисунокили по основному свойству пропорции, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Правая и левая части этого равенства по определению равны синусам острых углов Найти прямоугольный треугольник рисуноксоответственно. Имеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

т.е. синус угла Найти прямоугольный треугольник рисунокне зависит от выбора треугольника. Аналогичные рассуждения можно провести и для других тригонометрических функций (сделайте это самостоятельно). Таким образом, тригонометрические функции острого угла зависят только от величины угла.

Имеет место еще один важный факт: если значения некоторой тригонометрической функции для острых углов Найти прямоугольный треугольник рисунокравны, то Найти прямоугольный треугольник рисунокИначе говоря, каждому значению тригонометрической функции соответствует единственный острый угол.

Пример №18

Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.

Решение:

Пусть в треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 170).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку в треугольнике наименьший угол лежит против наименьшей стороны, то угол Найти прямоугольный треугольник рисунок— наименьший угол треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокПо определению Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тригонометрические тождества

Выведем соотношения (тождества), которые выражают зависимость между тригонометрическими функциями одного угла.

Теорема (основное тригонометрическое тождество)

Для любого острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По определению синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника (см. рис. 168) имеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По теореме Пифагора числитель этой дроби равен Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следствие

Для любого острого углаНайти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Докажем еще несколько тригонометрических тождеств.

Непосредственно из определений синуса

sin a а b ас а и косинуса имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунокт.е. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Аналогично доказывается, что Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отсюда следует, что Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №19

Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен 0,8.

Решение:

Пусть для острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Вычисление значений тригонометрических функций. Формулы дополнения

Тригонометрические тождества, которые мы рассмотрели, устанавливают взаимосвязь между разными тригонометрическими функциями одного угла. Попробуем установить связь между функциями двух острых углов прямоугольного треугольника.

Теорема (формулы дополнения)

Для любого острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим прямоугольный треугольник Найти прямоугольный треугольник рисунокс гипотенузой Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 172).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если Найти прямоугольный треугольник рисунокВыразив синусы и косинусы острых углов треугольника, получим:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следствие

Для любого острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Заметим, что название «формулы дополнения», как и название «косинус», в котором префикс «ко» означает «дополнительный», объясняется тем, что косинус является синусом угла, который дополняет данный угол до Найти прямоугольный треугольник рисунокАналогично объясняется и название «котангенс».

Значения тригонометрических функций углов 30 45 60

Вычислим значения тригонометрических функций угла Найти прямоугольный треугольник рисунокДля этого в равностороннем треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисуноксо стороной Найти прямоугольный треугольник рисунокпроведем высоту Найти прямоугольный треугольник рисуноккоторая является также биссектрисой и медианой (рис. 173).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

В треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисуноки по теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунокИмеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок
С помощью формул дополнения получаем значения тригонометрических функций угла Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Для вычисления значений тригонометрических функций угла Найти прямоугольный треугольник рисунокрассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник Найти прямоугольный треугольник рисунокс катетами Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 174).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунокИмеем:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Представим значения тригонометрических функций углов Найти прямоугольный треугольник рисунокв виде таблицы.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Значения тригонометрических функций других углов можно вычислить с помощью калькулятора или специальных таблиц (см. Приложение 3).

Решение прямоугольных треугольников

Нахождение неизвестных сторон прямоугольного треугольника

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами Найти прямоугольный треугольник рисунокгипотенузой Найти прямоугольный треугольник рисуноки острыми углами Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 175).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Зная градусную меру угла Найти прямоугольный треугольник рисуноки длину любой из сторон треугольника, мы имеем возможность найти две другие его стороны. Правила нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника непосредственно следуют из определений тригонометрических функций и могут быть обобщены в виде справочной таблицы.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Заметим, что для нахождения неизвестных сторон прямоугольного треугольника можно использовать и Найти прямоугольный треугольник рисунок(соответствующие правила и формулы получите самостоятельно).

Запоминать содержание справочной таблицы не обязательно. Для нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника можно действовать по такому плану.

1. Выбрать формулу определения той тригонометрической функции данного угла, которая связывает искомую сторону с известной (этот этап можно выполнить устно).

2. Выразить из этой формулы искомую сторону.

3. Провести необходимые вычисления.

Пример №20

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 м найдите катет, прилежащий к углу Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Пусть в прямоугольном треугольнике (см. рисунок) Найти прямоугольный треугольник рисунокНайдем катет Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: 6 м.

Примеры решения прямоугольных треугольников

Решить треугольник означает найти его неизвестные стороны и углы по известным сторонам и углам. Прямоугольный треугольник можно решить по стороне и острому углу или по двум сторонам. Рассмотрим примеры конкретных задач на решение прямоугольных треугольников, пользуясь обозначениями рисунка 175. При этом договоримся округлять значения тригонометрических функций до тысячных, длины сторон — до сотых, а градусные меры углов — до единиц.

Пример №21

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найти прямоугольный треугольник рисуноки острому углу Найти прямоугольный треугольник рисунок(см. рисунок).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

т.е. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

т.е. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №22

Решите прямоугольный треугольник по катету Найти прямоугольный треугольник рисуноки острому углу Найти прямоугольный треугольник рисунок(см. рисунок).

Решение:

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №23

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе Найти прямоугольный треугольник рисуноки катету Найти прямоугольный треугольник рисунок(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокоткуда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №24

Решите прямоугольный треугольник по катетам Найти прямоугольный треугольник рисунок(см. рисунок).

Решение:

По теореме Пифагора Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокоткуда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку сумма острых углов прямоугольного треугольника равна Найти прямоугольный треугольник рисунок

На отдельных этапах решения задач 1—4 можно использовать другие способы. Но следует заметить, что в том случае, когда одна из двух сторон треугольника найдена приближенно, для более точного нахождения третьей стороны целесообразно использовать определения тригонометрических функций.

Рассмотрим примеры применения решения треугольников в практических задачах.

Пример №25

Найдите высоту данного предмета (рис. 176).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

На определенном расстоянии от данного предмета выберем точку Найти прямоугольный треугольник рисуноки измерим угол Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку в прямоугольном треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Для определения высоты предмета необходимо прибавить к Найти прямоугольный треугольник рисуноквысоту Найти прямоугольный треугольник рисунокприбора, с помощью которого измерялся угол. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №26

Насыпь шоссейной дороги имеет ширину 60 м в верхней части и 68 м в нижней. Найдите высоту насыпи, если углы наклона откосов к горизонту равны Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Рассмотрим равнобедренную трапецию Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 177), в которой Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Проведем высоты Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок(докажите это самостоятельно), то Найти прямоугольный треугольник рисунокВ треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок

т.е. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Ответ: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Синусом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение противолежащего катета к гипотенузе:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Косинусом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение прилежащего катета

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тангенсом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение противолежащего катета к прилежащему:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Котангенсом острого угла Найти прямоугольный треугольник рисунокназывается отношение прилежащего катета к противолежащему:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тригонометрические тождества

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Значения тригонометрических функций некоторых углов

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Историческая справка

Умение решать треугольники необходимо при рассмотрении многих практических задач, возникающих в связи с потребностями географии, астрономии, навигации. Поэтому элементы тригонометрии появились еще в Древнем Вавилоне в период интенсивного развития астрономии. В работе греческого ученого Птолемея «Альмагест» (II в. н. где изложена античная система мира, содержатся элементы сферической тригонометрии.

В Древней Греции вместо синуса угла Найти прямоугольный треугольник рисунокрассматривали длину хорды, соответствующей центральному углу Найти прямоугольный треугольник рисунокДействительно, если радиус окружности равен единице, то Найти прямоугольный треугольник рисунокизмеряется половиной такой хорды (проверьте это самостоятельно). Первые тригонометрические таблицы были составлены Гиппархом во II в. н.э.

Синус и косинус как вспомогательные величины использовались индийскими математиками в V в., а тангенс и котангенс впервые появились в работах арабского математика X в. Абу-аль-Вефы.

Как отдельный раздел математики тригонометрия выделилась в произведениях персидского ученого Насреддина Туси (1201-1274), а системное изложение тригонометрии первым из европейцев представил немецкий математик и механик Иоганн Мюллер (1436-1476), более известный под псевдонимом Региомонтан.

Современную форму изложения и современную символику тригонометрия приобрела благодаря Леонарду Эйлеру в XVIII в. Кроме известных вам четырех тригонометрических функций иногда рассматриваются еще две:

секанс Найти прямоугольный треугольник рисунок

и косеканс Найти прямоугольный треугольник рисунок

Приложения

Обобщенная теорема Фалеса и площадь прямоугольника

В ходе доказательства некоторых геометрических теорем используется процедура деления отрезка на некоторое количество равных частей. Это позволяет дать числовые оценки в виде неравенств и с их помощью получить противоречие.

В курсе геометрии 8 класса такой подход целесообразно применить для доказательства двух приведенных ниже теорем.

Теорема (обобщенная теорема Фалеса)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки.

По данным рисунка 180 докажем три формулы:

Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Докажем сначала формулу 1. Пусть отрезок Найти прямоугольный треугольник рисунокможно разделить на Найти прямоугольный треугольник рисунокравных отрезков так, что одна из точек деления совпадет с точкой Найти прямоугольный треугольник рисунокпричем на отрезке Найти прямоугольный треугольник рисунокбудут лежать Найти прямоугольный треугольник рисунокточек деления. Тогда, проведя через точки деления прямые, параллельные Найти прямоугольный треугольник рисунокпо теореме Фалеса получим деление отрезков Найти прямоугольный треугольник рисуноксоответственно на Найти прямоугольный треугольник рисунокравных отрезков. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунокчто и требовалось доказать.

Если описанное деление отрезка Найти прямоугольный треугольник рисунокневозможно, то докажем формулу 1 от противного. Пусть Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим случай, когда Найти прямоугольный треугольник рисунок(другой случай рассмотрите самостоятельно).

Отложим на отрезке Найти прямоугольный треугольник рисунокотрезок Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 181).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Разобьем отрезок Найти прямоугольный треугольник рисунокна такое количество равных отрезков чтобы одна из точек деления Найти прямоугольный треугольник рисунокпопала на отрезок Найти прямоугольный треугольник рисунокПроведем через точки деления прямые, параллельные Найти прямоугольный треугольник рисунокПусть прямая, проходящая через точку Найти прямоугольный треугольник рисунокпересекает луч Найти прямоугольный треугольник рисунокв точке Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда по доказанному Найти прямоугольный треугольник рисунокУчитывая, что в этой пропорции Найти прямоугольный треугольник рисунокимеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Это неравенство противоречит выбору длины отрезка Найти прямоугольный треугольник рисунокСледовательно, формула 1 доказана полностью.

Докажем формулы 2 и 3. Пользуясь обозначениями рисунка 180,
по формуле 1 имеем Найти прямоугольный треугольник рисунокРазделив в каждом из этих равенств числитель на знаменатель, получим: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Откуда Найти прямоугольный треугольник рисунокТаким образом, доказано, что Найти прямоугольный треугольник рисунокт.е. формулы 2 и 3 выполняются.

Теорема доказана полностью.

Из курса математики 5 класса известно, что площадь прямоугольника равна произведению двух его соседних сторон. Так, на рисунке 182 дан прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисуноккоторый делится на 15 квадратов площадью 1. Следовательно, по аксиомам площади, его площадь равна 15 кв. ед., то есть Рис- 182. Найти прямоугольный треугольник рисуноккв. ед.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Таким способом легко найти площадь прямоугольника, у которого длины сторон выражены любыми целыми числами. Но справедливость этой формулы при условии, что длины сторон прямоугольника не являются целыми числами,— совсем неочевидная теорема. Докажем ее.

Теорема (формула площади прямоугольника)

Площадь прямоугольника равна произведению его соседних сторон:

Найти прямоугольный треугольник рисунок— стороны прямоугольника.

Докажем сначала, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Пусть прямоугольники Найти прямоугольный треугольник рисунокимеют общую сторону Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 183,
Найти прямоугольный треугольник рисунок

Разобьем сторону Найти прямоугольный треугольник рисунокравных частей. Пусть на отрезке Найти прямоугольный треугольник рисуноклежит Найти прямоугольный треугольник рисунокточек деления, причем точка деления Найти прямоугольный треугольник рисунокимеет номер Найти прямоугольный треугольник рисунока точка Найти прямоугольный треугольник рисунок—номер Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда Найти прямоугольный треугольник рисунокоткуда — Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Теперь проведем через точки деления прямые, параллельные Найти прямоугольный треугольник рисунокОни разделят прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисунокравных прямоугольников (т. е. таких, которые совмещаются при наложении). Очевидно, что прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисуноксодержится внутри прямоугольника Найти прямоугольный треугольник рисунока прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисуноксодержит прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Сравнивая выражения для Найти прямоугольный треугольник рисунокубеждаемся, что оба эти отношения расположены между Найти прямоугольный треугольник рисунокт.е. отличаются не больше чем на Найти прямоугольный треугольник рисунокнатуральное число). Докажем от противного, что эти отношения равны.

Действительно, если это не так, т.е. Найти прямоугольный треугольник рисуноктакое натуральное число Найти прямоугольный треугольник рисунокчто Найти прямоугольный треугольник рисунокПолученное противоречие доказывает, что площади прямоугольников с одним равным измерением относятся как длины других измерений.

Рассмотрим теперь прямоугольники Найти прямоугольный треугольник рисуноксо сторонами Найти прямоугольный треугольник рисунок Найти прямоугольный треугольник рисуноксо сторонами Найти прямоугольный треугольник рисуноки 1 и квадрат Найти прямоугольный треугольник рисуноксо стороной 1 (рис. 183, б).

Тогда по доказанному Найти прямоугольный треугольник рисунок

Поскольку Найти прямоугольный треугольник рисуноккв. ед., то, перемножив полученные отношения, имеем Найти прямоугольный треугольник рисунок

Золотое сечение

С давних времен люди старались познать мир путем поиска гармонии и совершенства. Одним из вопросов, которыми задавались еще древние греки, был поиск наилучшего соотношения неравных частей одного целого. Таким соотношением еще со времен Пифагора считали гармоническое деление, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому. Такое деление отрезка на части описано во II книге «Начал» Евклида и названо делением в среднем и крайнем отношении. Рассмотрим деление отрезка Найти прямоугольный треугольник рисунокточкой Найти прямоугольный треугольник рисунокпри котором Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 184). Пусть длина отрезка Найти прямоугольный треугольник рисунокравна Найти прямоугольный треугольник рисунока длина отрезка Найти прямоугольный треугольник рисунокравна Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда

Найти прямоугольный треугольник рисунокОтсюда Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокто геометрический смысл имеет только значение Найти прямоугольный треугольник рисунокЗначит, если длина данного отрезка равна 1, то при делении в крайнем и среднем отношении его большая часть приблизительно равна 0,6. Полученное число обозначают греческой буквой Найти прямоугольный треугольник рисунокКроме того, часто рассматривают и отношение Найти прямоугольный треугольник рисунокЗаметим, что Найти прямоугольный треугольник рисунок— первая буква имени древнегреческого скульптора Фидия, который часто использовал такое деление в своем творчестве (в частности, в знаменитой статуе Зевса Олимпийского, которую считают одним из семи чудес света).

В эпоху Возрождения (XV—XVII вв.) интерес к гармоническому делению чрезвычайно возрос. Выдающийся ученый и художник Леонардо да Винчи (1452—1519) назвал такое деление золотым сечением, а его современник и соотечественник, итальянский монах-математик Лука Па-чоли (1445—1514) — божественной пропорцией. Золотое сечение и близкие к нему пропорциональные отношения составляли основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, в частности архитектуры Античности и Возрождения. Одно из величайших сооружений Древней Эллады — Парфенон в Афинах (V в. до н. э.) — содержит в себе золотые пропорции (в частности, отношение высоты к длине этого сооружения равно Найти прямоугольный треугольник рисунок

Итак, дадим определение золотому сечению.

Определение:

Золотым сечением называется такое деление величины на две неравные части, при котором меньшая часть относится к большей, как большая часть относится ко всему целому.

Иначе говоря, золотое сечение — это деление величины в отношении Найти прямоугольный треугольник рисунок(или Найти прямоугольный треугольник рисунок

Построить золотое сечение отрезка заданной длины Найти прямоугольный треугольник рисунокс помощью циркуля и линейки довольно просто: для этого достаточно построить прямоугольный треугольник с катетами Найти прямоугольный треугольник рисуноки провести две дуги из вершин острых углов так, как показано на рисунке 185.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

По теореме о пропорциональности отрезков секущей и касательной Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку по построению Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунокпо определению золотого сечения. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунокУбедиться в правильности построения можно также с помощью теоремы Пифагора (сделайте это самостоятельно.)

С золотым сечением связывают геометрические фигуры, при построении которых используются отношения Найти прямоугольный треугольник рисунокРассмотрим некоторые из них.

Равнобедренный треугольник называется золотым, если две его стороны относятся в золотом сечении. Докажем, что треугольник с углами Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 186, а) является золотым. Действительно, пусть в треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокбиссектриса. Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунокпо двум углам. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунокт. е. треугольник Найти прямоугольный треугольник рисунок— золотой.

И наоборот: если в равнобедренном треугольнике Найти прямоугольный треугольник рисунокто такой треугольник подобен треугольнику Найти прямоугольный треугольник рисунокт. е. имеет углы Найти прямоугольный треугольник рисунок

Предлагаем самостоятельно убедиться в том, что золотым является также треугольник с углами Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 186, б) и других золотых треугольников не существует.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Золотые треугольники связаны с правильным пятиугольником (т.е. выпуклым пятиугольником, у которого все стороны равны и все углы равны).

В правильном пятиугольнике:

1) диагональ относится к стороне в золотом сечении;

2) точка пересечения диагоналей делит каждую из них в золотом сечении;

3) диагональ делит другую диагональ на два отрезка, один из которых делится в золотом сечении еще одной диагональю.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Согласно обозначениям рисунка 187 это означает, что Найти прямоугольный треугольник рисунокДля доказательства этих свойств достаточно заметить, что в правильном пятиугольнике все углы равны Найти прямоугольный треугольник рисунокследовательно, треугольники Найти прямоугольный треугольник рисунокявляются золотыми. Подробные доказательства предлагаем провести самостоятельно.

Диагонали правильного пятиугольника образуют звезду, которая в древние времена олицетворяла совершенство и имела мистическое значение. Пифагорейцы называли ее пентаграммой и избрали символом своей научной школы. В наши дни пятиконечная звезда — самая распространенная геометрическая фигура на флагах и гербах многих стран (приведите соответствующие примеры из истории и географии).

Прямоугольник называется золотым, если его стороны относятся в золотом сечении. Для построения золотого прямоугольника произвольный квадрат перегибаем пополам (рис. 188, а), проводим диагональ одного из полученных прямоугольников (рис. 188, б) и радиусом, равным этой диагонали, проводим дугу окружности с центром Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 188, в). Полученный прямоугольник Найти прямоугольный треугольник рисунок— золотой (убедитесь в этом самостоятельно).

Найти прямоугольный треугольник рисунок
Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то оставшийся прямоугольник также будет золотым. Действительно, на рисунке 189, а имеем Найти прямоугольный треугольник рисуноктогда Найти прямоугольный треугольник рисунокНеограниченно продолжая этот процесс (рис. 189, б), можно получить так называемые вращающиеся квадраты, и весь данный прямоугольник будет составлен из таких квадратов.Найти прямоугольный треугольник рисунок

Через противолежащие вершины квадратов проходит так называемая золотая спираль, которая часто встречается в природе. Например, по принципу золотой спирали располагаются семена в подсолнечнике; по золотой спирали закручены раковины улиток, рога архаров, паутина отдельных видов пауков и даже наша Солнечная система, как и некоторые другие галактики.

Отметим также, что золотое сечение имеет немало алгебраических свойств. Отношение Найти прямоугольный треугольник рисунокприближенно может быть выражено дробями Найти прямоугольный треугольник рисуноктак называемые числа Фибоначчи. Приведем без доказательства две алгебраические формулы, связанные с числами Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Золотое сечение, золотые многоугольники и золотая спираль являются математическими воплощениями идеальных пропорций в природе. Недаром великий немецкий поэт Иоганн Вольфганг Гете считал их математическими символами жизни и духовного развития.
Приложение 3. Таблица значений тригонометрических функций

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Значение тригонометрических функций острых углов можно приближенно определять с помощью специальных таблиц. Одна из таких таблиц представлена выше.

Таблица составлена с учетом формул дополнения. В двух крайних столбцах указаны градусные меры углов (в левом — от Найти прямоугольный треугольник рисунокв правом — от Найти прямоугольный треугольник рисунокМежду этими столбцами содержатся четыре столбца значений тригонометрических функций:

1-й — синусы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок(или косинусы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок

2-й — тангенсы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок(или котангенсы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок

3-й — котангенсы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок(или тангенсы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок

4-й — косинусы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок(или синусы углов от Найти прямоугольный треугольник рисунок

Рассмотрим несколько примеров применения данной таблицы. 1) Определим Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку Найти прямоугольный треугольник рисунокнайдем в крайнем левом столбце значение 25 и рассмотрим соответствующую строку первого столбца значений. Углу Найти прямоугольный треугольник рисунокв ней соответствует число 0,423. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

2) Определим Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку 45° ے C = 90° (рис. 412).

Доказать: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Доказательство. Проведём из вершины прямого угла С высоту CD. Каждый катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу. Поэтому Найти прямоугольный треугольник рисуноки Найти прямоугольный треугольник рисунок. Сложив равенства почленно и зная, что AD+ DB= АВ, получим: Найти прямоугольный треугольник рисунок. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если а и b — катеты прямоугольного треугольника, с — его гипотенуза, то из формулы Найти прямоугольный треугольник рисунокполучим следующие формулы:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Используя эти формулы, по двум любым сторонам прямоугольного треугольника находим его третью сторону (табл. 28).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Справедлива и теорема, обратная теореме Пифагора: если квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то этот треугольник — прямоугольный.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см — прямоугольный, поскольку Найти прямоугольный треугольник рисунок. Такой треугольник иногда называют египетским.

Пример №27

Сторона ромба равна 10 см, а одна из его диагоналей — 16 см. Найдите другую диагональ ромба.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Пусть ABCD— ромб (рис. 413), АС= 16см,AD = 10см. Найдём диагональ BD. Как известно, диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам. Поэтому ∆AOD — прямоугольный ( ے 0= 90°). АС 16

В нём: катет Найти прямоугольный треугольник рисунокгипотенуза AD= 10 см.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Для того чтобы найти определённый элемент фигуры (сторону, высоту, диагональ), выделите на рисунке прямоугольный треугольник, воспользовавшись свойствами фигуры, и примените теорему Пифагора.

Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Пусть ВС — перпендикуляр, проведённый из точки В на прямую а (рис. 414). Возьмём произвольную точку А на прямой а, отличную от точки С, и соединим точки А и В. Отрезок АВ называется наклонной, проведённой из точки В на прямую а. Точка А называется основанием наклонной, а отрезок АС — проекцией наклонной.

Наклонные имеют следующие свойства. Если из данной точки к прямой провести перпендикуляр и наклонные, то:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра;
  2. равные наклонные имеют равные проекции;
  3. из двух наклонных больше та, проекция которой больше.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Покажем, что свойства наклонных следуют из теоремы Пифагора.

  1. По теореме Пифагора, Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 415), тогда Найти прямоугольный треугольник рисунокили АВ > ВС.
  2. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 416) имеем:
  3. Найти прямоугольный треугольник рисунокПоскольку в этих равенствах АВ = ВС (по условию), то AD = DC.
  4. Из прямоугольных треугольников ABD и CBD (рис. 417) имеем: Найти прямоугольный треугольник рисунок. В этих равенствах AD > DC. Тогда АВ > ВС.

Пример №28

Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых равны 5 см и 9 см. Найдите наклонные, если одна из них на 2 см больше другой.

Решение:

Пусть AD = 5 см, DC = 9 см (рис. 418). Поскольку AD ے A = a (рис. 441). Вы знаете, что катет а — противолежащий углу а, катет b — прилежащий к углу a . Отношение каждого катета к гипотенузе, а также катета к катету имеют специальные обозначения:

  • — отношение Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают sin а и читают «синус альфа»;
  • — отношение Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают cos а и читают «косинус альфа»;
  • — отношение Найти прямоугольный треугольник рисунокобозначают tg а и читают «тангенс альфа».

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Сформулируем определения sin a, cos а и tg а.

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.

Отношение сторон прямоугольного треугольника и их обозначения указаны в Найти прямоугольный треугольник рисунок

Зависят ли синус, косинус и тангенс острого угла от размеров треугольника?

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Нет, не зависят. Итак, пусть ABC и Найти прямоугольный треугольник рисунок-два прямоугольных треугольника, в которых Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 442). Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунокпо двум углам (Найти прямоугольный треугольник рисунок). Соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из этих равенств следует:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, в прямоугольных треугольниках с одним и тем же острым углом синусы этого утла равны, косинусы и тангенсы — равны. Если градусную меру угла изменить, то изменится и соотношение сторон прямоугольного треугольника. Это означает, что синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника зависят только от градусной меры угла и не зависят от размеров треугольника.

По исходному значению sin A, cos А или tg А можно построить угол А.

Пример №29

Постройте угол, синус которого равен Найти прямоугольный треугольник рисунок.

Решение:

Выбираем некоторый единичный отрезок (1 мм, 1 см, 1 дм). Строим прямоугольный треугольник, катет ВС которого равен двум единичным отрезкам, а гипотенуза АВ — трём (рис. 443). Угол А, лежащий против катета ВС, — искомый, поскольку sin А = Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

В прямоугольном треугольнике любой из двух катетов меньше гипотенузы. Поэтому sin а ے C = а (рис. 452). Проведём высоту BD. В прямоугольном треугольнике DBCкатет DC, прилежащий к углу а, равен произведению гипотенузы а на cos a: DC = a cos а. Поскольку высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, является медианой, то DC = AD. Тогда основание АС = 2 DC =2 a cos а.

В этой главе вы ознакомились с новыми приёмами вычисления длин сторон и градусных мер углов прямоугольного треугольника. Может возникнуть вопрос: Какова необходимость использования этих приёмов? Вы знаете, что в древности расстояния и углы сначала измеряли непосредственно инструментами. Например, транспортиром пользовались вавилоняне ещё за 2 ООО лет до н. э.

Но на практике непосредственно измерять расстояния и углы не всегда возможно. Как вычислить расстояние между двумя пунктами, которые разделяет препятствие (река, озеро, лес), расстояние до Солнца, Луны, как измерить высоту дерева, горы, как найти угол подъёма дороги либо угол при спуске с горы? Поэтому были открыты приёмы опосредствованного измерения расстояний и углов. При этом использовали равные либо подобные треугольники и геометрические построения. Строили на местности вспомогательный треугольник и измеряли необходимые его элементы.

Итак, вы знаете, как определить расстояние между пунктами А и В, разделёнными препятствием (рис. 453). Для этого строим ∆COD = ∆АОВ и вместо искомого расстояния Ив измеряем равное ему расстояние CD.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Но при использовании этих приёмов получали недостаточно точные результаты, особенно при измерении значительных расстояний на местности. Кроме того, без угломерных инструментов нельзя найти градусные меры углов по длинам тех или других отрезков. Поэтому возникла необходимость в таких приёмах, когда непосредственные измерения сводились к минимуму, а результаты получали преимущественно вычислением элементов прямоугольного треугольника. В основе таких приёмов лежит использование cos а, sin а и tg а. Накопление вычислительных приёмов решения задач обусловило создание нового раздела математики, который в XVI в. назвали тригонометрией. Слово «тригонометрия» происходит от греческих слов trigonon — треугольник и metreo — измеряю. Греческих математиков Гиппарха (II в. до н. э.) и Птолемея (II в.) считают первыми, кто использовал тригонометрические приёмы для решения разных задач. В дальнейшем их усовершенствовали индийский математик Брамагупта (VI в.), узбекские математики аль-Каши и Улугбек (XII в.). В работах академика Леонарда Эйлера (XVIII в.) тригонометрия приобретает тот вид, который в основном имеет и в наше время.

Вычисление значений sin a, cos а и tg а

ЕЭ| Пусть в прямоугольном треугольнике ABC ZA = а, тогда ZB — 90° — а (рис. 467). Из определения синуса и косинуса следует:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокСравнивая эти два столбца, находим: sin а = cos (90° — а), cos а = sin (90° — а).

Как видим, между синусом и косинусом углов а и 90° — а, которые дополняют друг друга до 90°, существует зависимость: синус одного из этих углов равен косинусу другого.

Например: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Найдём значения синуса, косинуса и тангенса для углов 45°, 30°, 60°. 1) Для угла 45°. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой С и ے A = 45° (рис. 468). Тогда ے B = 45°. Следовательно, ∆ABC — равнобедренный. Пусть АС = ВС = а. Согласно теореме Пифагора,

Найти прямоугольный треугольник рисунок

2) Для углов 30° и 60°.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с гипотенузой с и ے A = 30″ (рис. 469). Найдём катеты АС и ВС.

ВС = Найти прямоугольный треугольник рисуноккак катет, лежащий против угла 30°.

Согласно теореме Пифагора, Найти прямоугольный треугольник рисунок

ТогдаНайти прямоугольный треугольник рисунок

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Если в прямоугольном треугольнике ABC ے A = 30° (рис. 469),

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Составим таблицу 35 значений синуса, косинуса и тангенса для углов 30°, 45°, 60°

Таблица 35 Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из таблицы видно, что при увеличении угла синус и тангенс острого угла возрастают, а косинус — уменьшается. При уменьшении угла синус и тангенс острого угла уменьшаются, а косинус — увеличивается. Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №31

Сторона ромба равна 6 см, а один из его углов Найдите высоту ромба.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Пусть ABCD — ромб (рис. 470), в котором АВ = 6 см, ے А = 60°. Проведём высоту ВМ. Из прямоугольного треугольника АВМ: Найти прямоугольный треугольник рисунокКак вычислить значения синусов, косинусов и тангенсов углов, отличных от 30°, 45°, 60°?

При помощи инженерных калькуляторов (или программы «калькулятор» компьютера) либо специальных таблиц можно решить две задачи:

1) для заданного угла а найти sin a, cos а, tg а;

2) по заданному значению sin a, cos а, tg а найти угол а.

Если вы используете калькулятор, а угол указан в градусах и минутах, то минуты переведите в десятые доли градуса (разделите их на 60). Например, для угла 55°42° получите 55,7°. Если, например, для cos Найти прямоугольный треугольник рисунок0,8796 нашли Найти прямоугольный треугольник рисунок28,40585° то доли градуса переведите в минуты (умножьте дробную часть на 60). Округлив, получите: Найти прямоугольный треугольник рисунок28°24°.

Значение sin a, cos а, tg а находим по таблицам.

Таблица синусов и косинусов (см. приложение 1) состоит из четырёх столбцов. В первом столбце слева указаны градусы от 0° до 45°, а в четвёртом — от 90° до 45°. Над вторым и третьим столбцами указаны названия «синусы» и «косинусы», а в нижней части этих столбцов — «косинусы» и «синусы».

Верхние названия «синусы» и «косинусы» отображают значения углов, которые меньше 45°, а нижние — больше 45°. Например, по таблице находим: sin34° Найти прямоугольный треугольник рисунок0,559, cos67° Найти прямоугольный треугольник рисунок0,391, sin85° Найти прямоугольный треугольник рисунок0,996 и т. д. По таблице можно найти угол а по заданному значению sin a, cos а. Например, нужно найти угол а, если sin Найти прямоугольный треугольник рисунок0,615. В столбцах синусов находим число, приближённое к 0,615. Таким числом является 0,616. Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок38″.

Таблица тангенсов (см. приложение 2) состоит из двух столбцов: в одном указаны углы от 0° до 89°, в другом — значения тангенсов этих углов.

Например, tg 19° Найти прямоугольный треугольник рисунок0,344. Если tg Найти прямоугольный треугольник рисунок0,869, то Найти прямоугольный треугольник рисунок41°.

1. Вы уже знаете, что каждой градусной мере угла а прямоугольного треугольника соответствует единственное значение sin a, cos а, tg а. Поэтому синус, косинус и тангенс угла а являются функциями данного угла. Эти функции называются тригонометрическими функциями, аргумент которых изменяется от О° до 90°.

2. Уточним происхождение слова «косинус». Именно равенство cos а = sin (90° — а) явилось основой образования латинского слова cosinus — дополнительный синус, то есть синус угла, дополняющий заданный до 90°.

3. Первые таблицы синусов углов от 0° до 90° составил греческий математик Гиппарх (II в. до н. э.). Эти таблицы не сохранились. Нам известны только тригонометрические таблицы, помещённые в работе «Альмагест» александрийского учёного Клавдия Птолемея (II в.). Птолемей Также сохранились таблицы синусов и косинусов индийского учёного Ариаб-хаты (V в.), таблицы тангенсов арабских учёных аль-Баттани и Абу-ль-Вефа (X в.).

Как решать прямоугольные треугольники

Решить прямоугольный треугольник — это означает по заданным двум сторонам либо стороне и острому углу найти другие его стороны и острые углы.

Возможны следующие виды задач, в которых требуется решить прямоугольный треугольник по: 1) катетам; 2) гипотенузе и катету; 3) гипотенузе и острому углу; 4) катету и острому углу. Алгоритмы решения этих четырёх видов задач изложены в таблице 36.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пример №32

Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе с= 16 и углу а = 76°21′ (рис. 482).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение. Это задача третьего вида. Алгоритм её решения указан в таблице 38.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение многих прикладных задач основано на решении прямоугольных треугольников. Рассмотрим некоторые виды прикладных задач.

1. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого доступно.

Пример №33

Найдите высоту дерева (рис. 483).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

На некотором расстоянии MN= а от дерева устанавливаем угломерный прибор AM (например, теодолит) и находим угол а между горизонтальным направлением АС и направлением на верхнюю точку В дерева. Из прямоугольного треугольника ABC получим: ВС= a • tg а. С учётом высоты угломерного прибора AM= h имеем формулу для вычисления высоты дерева: BN= о • tg а + h.

Пусть результаты измерения следующие: Найти прямоугольный треугольник рисунок.

Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок(м).

2. Задачи на нахождение высоты предмета, основание которого недоступно.

Пример №34

Найдите высоту башни, которая отделена от вас рекой (рис. 484).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

На горизонтальной прямой, проходящей через основание башни (рис. 484), обозначим две точки М и N, измерим отрезок MN= а и углы Найти прямоугольный треугольник рисунок. Из прямоугольных треугольников ADC и BDC получим: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Почленно вычитаем полученные равенства: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Отсюда Найти прямоугольный треугольник рисунок

Следовательно, Найти прямоугольный треугольник рисунок

Прибавив к DC высоту прибора AM= Н, которым измеряли углы, получим

формулу для вычисления высоты башни: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Пусть результаты измерения следующие: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тогда Найти прямоугольный треугольник рисунок

3. Задачи на нахождение расстояния между двумя пунктами, которые разделяет препятствие.

Пример №35

Найдите расстояние между пунктами А и В, разделёнными рекой (рис. 485).

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

Провешиваем прямую Найти прямоугольный треугольник рисуноки отмечаем на ней точку С. Измеряем расстояние АС= а и угол а. Из прямоугольного треугольника ABC получим формулу АВ= a- tg а для определения расстояния между пунктами А и В. Пусть результаты измерения следующие: Найти прямоугольный треугольник рисунок

Тогда АВ = Найти прямоугольный треугольник рисунок

4. Задачи на нахождение углов (угла подъёма дороги; угла уклона; угла, под которым виден некоторый предмет, и т. д.).

Пример №36

Найдите угол подъёма шоссе, если на расстоянии 200 м высота подъёма составляет 8 м.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Решение:

На рисунке 486 угол a — это угол подъёма дороги, АС— горизонтальная прямая. Проведём Найти прямоугольный треугольник рисунок, тогда ВС- высота подъёма дороги. По условию, АВ = 200 м, ВС = 8 м. Угол a найдём из прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунокТогда Найти прямоугольный треугольник рисунок

У вас может возникнуть вопрос: Почему в геометрии особое внимание уделяется прямоугольному треугольнику, хотя не часто встречаются предметы подобной формы?

Итак, поразмышляем. Как в химии изучают вначале элементы, а затем — их соединения, в биологии — одноклеточные, а потом — многоклеточные организмы, так и в геометрии изучают сначала простые геометрические фигуры — точки, отрезки и треугольники, из которых состоят другие геометрические фигуры. Среди этих фигур прямоугольный треугольник играет особую роль. Действительно, любой многоугольник можно разбить на треугольники (рис. 487).

Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Умея находить угловые и линейные элементы этих треугольников, можно найти все элементы многоугольника. В свою очередь, любой треугольник можно разбить одной из его высот на два прямоугольных треугольника, элементы которых связаны более простой зависимостью (рис. 488). Найти элементы треугольника можно, если свести задачу к решению этих двух прямоугольных треугольников. Проиллюстрируем это на примере.

Пример №37

Найти прямоугольный треугольник рисунок(рис. 489). Найдите ے B, ے C и сторону а.

Решение:

Проведём высоту BD. Точка D будет лежать между точками А и С, поскольку ے A — острый и b> с.

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из прямоугольного треугольника ABD:

Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из прямоугольного треугольника Найти прямоугольный треугольник рисунок

Из прямоугольного треугольника BDC:Найти прямоугольный треугольник рисунокНайти прямоугольный треугольник рисунок

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Перпендикулярность прямой и плоскости
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве
  • Подобие треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

💡 Видео

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»Скачать

7 кл г. Теорема: «катет лежавший напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы»

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математикеСкачать

Задача по геометрии на прямоугольный треугольник и теорему Пифагора из реального ОГЭ по математике

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1Скачать

Найдите гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, площадь которого равна 1

Теорема Пифагора для чайников)))Скачать

Теорема Пифагора для чайников)))

Геометрия Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а его проекция на гипотенузу – 4 смСкачать

Геометрия Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а его проекция на гипотенузу – 4 см

Высота прямоугольного треугольникаСкачать

Высота прямоугольного треугольника

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?Скачать

Найдите биссектрису прямоугольного треугольника с катетами 3 и 5 ★ Как решать?

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13Скачать

Найдите площадь прямоугольного треугольника, если сумма его катетов равна 15, а гипотенуза равна 13
Поделиться или сохранить к себе: