Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Содержание
  1. Свойства трапеции
  2. Свойства и признаки равнобедренной трапеции
  3. Вписанная окружность
  4. Площадь
  5. Трапеция
  6. Основные свойства трапеции
  7. Формулы определения длин сторон трапеции:
  8. Как найти площадь трапеции через четыре стороны
  9. Средняя линия трапеции
  10. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  11. Через длины оснований и высоту
  12. Формула
  13. Пример
  14. Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали
  15. Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны
  16. Таблица с формулами площади трапеции
  17. Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол
  18. Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании
  19. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:
  20. Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?
  21. Площадь трапеции через основания и два угла
  22. Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции
  23. Основные свойства трапеции
  24. Сторона трапеции
  25. Формулы определения длин сторон трапеции:
  26. Средняя линия трапеции
  27. Формулы определения длины средней линии трапеции:
  28. Высота трапеции
  29. Формулы определения длины высоты трапеции:
  30. Диагонали трапеции
  31. Формулы определения длины диагоналей трапеции:
  32. Площадь трапеции
  33. Формулы определения площади трапеции:
  34. Периметр трапеции
  35. Формула определения периметра трапеции:
  36. Окружность описанная вокруг трапеции
  37. Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
  38. Окружность вписанная в трапецию
  39. Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности
  40. Другие отрезки разносторонней трапеции
  41. Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Видео:8 класс, 15 урок, Площадь трапецииСкачать

8 класс, 15 урок, Площадь трапеции

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

3. Треугольники Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьи Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия – Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Отношение площадей этих треугольников есть Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

4. Треугольники Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьи Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Видео:КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать

КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | Математика

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьи она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьи Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность, то Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Видео:Трапеция и вписанная окружностьСкачать

Трапеция и вписанная окружность

Площадь

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьили Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьгде Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность– средняя линия

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИСкачать

18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙДИТЕ ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ

Трапеция

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 класс

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a – h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a – c· cos α – d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Сможешь найти площадь трапеции? Как найти площадь трапеции если все стороны известны?Скачать

Сможешь найти площадь трапеции? Как найти площадь трапеции если все стороны известны?

Как найти площадь трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания меньшее.

Найдите квадрат полученного числа.

Прибавьте к результату квадрат одной боковой стороны и отнимите квадрат второй.

Поделите полученное число на удвоенную разность оснований.

Найдите квадрат результата и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из полученного числа.

Умножьте результат на половину от суммы оснований.

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

  • S – искомая площадь трапеции.
  • a, b – основания трапеции.
  • c, d – боковые стороны.

Видео:Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Средняя линия трапеции

Средняя линия – отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции.

Формулы определения длины средней линии трапеции:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Через длины оснований и высоту

Чему равна площадь трапеции если известны основания a и b, а также высота h?

Формула

Пример

Если у трапеции основание a = 3 см, основание b = 6 см, а высота h = 4 см, то её площадь:

S = ½ ⋅ (3 + 6) ⋅ 4 = 36 / 2 = 18 см²

Видео:Геометрия Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см Чему равна площадь трапеции если в нееСкачать

Геометрия Основания равнобокой трапеции равны 32 см и 50 см Чему равна площадь трапеции если в нее

Площадь трапеции через перпендикулярные диагонали

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Формула для нахождения площади трапеции через перпендикулярные диагонали: <S=dfracd_1 cdot d_2> , где d1, d2 — диагонали трапеции (перпендикулярные).

Видео:№480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:Скачать

№480. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:

Как вычислить площадь равнобедренной трапеции через четыре стороны

Отнимите от большего основания трапеции меньшее и поделите результат на два.

Найдите квадрат полученного числа и отнимите его от квадрата боковой стороны.

Найдите корень из результата.

Умножьте полученное число на сумму оснований и поделите на два.

  • S — искомая площадь трапеции.
  • a, b — основания трапеции.
  • c, d — боковые стороны (напомним, в равнобедренной трапеции они равны).

Видео:№495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:Скачать

№495. Найдите площадь трапеции ABCD с основаниями АВ и CD, если:

Таблица с формулами площади трапеции

В зависимости от известных исходных данных и вида трапеции, площадь трапеции можно вычислить по различным формулам.

эскизформула
Площадь для всех видов трапеции
1высота и два основанияНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
2высота и средняя линияНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
3четыре стороныНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
4диагонали и угол между нимиНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
5основания и углы при одном из основанийНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
Площадь равнобедренной трапеции
6стороныНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
7основание, боковые стороны и угол при основанииНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
8основание, боковые стороны и угол при основанииНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
9основания и углы при одном из основанийНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
10диагонали и угол между нимиНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
11средняя линия, боковые стороны и углы между основанием и боковыми сторонамиНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
12радиус вписанной окружности и угол при основанииНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
13основания и радиус вписанной окружностиНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
14основания и углы при одном из основанийНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
15основания и боковые стороныНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
16основания и средняя линияНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Видео:Площадь трапеции.  Быстрый способ запомнить формулуСкачать

Площадь трапеции.  Быстрый способ запомнить формулу

Найти площадь равнобедренной трапеции, зная радиус вписанной окружности и угол

Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность

Видео:Площадь трапецииСкачать

Площадь трапеции

Через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

Чему равна площадь равнобедренной трапеции если средняя линия m, боковая сторона с, a угол при основании α?

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Задача про трапецию, описанную около окружности

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Видео:№527. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапецииСкачать

№527. В равнобедренной трапеции диагональ равна 10 см, а высота равна 6 см. Найдите площадь трапеции

Пусть a и b основания трапеции. доказать что отрезок, соединяющий середины её диагоналей равен 1/2 * | а – б|?

Возьмем трапецию ABCD

Определим точку М как середину диагонали АС, точку N как середину диагонали BD. Тогда средняя линия трапеции KF будет проходить через точки M и N.

Вспомним свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции является параллельной основаниям и равняется полусумме их длин.

Рассмотрим треугольник ACD:

Рассмотрим треугольник BCD

Выразим MN через отрезки MF и NF:

Подставим в формулу значения отрезков MF и NF:

MN = AD/2-BC/2 = (AD-BC)/2

Видео:Как быстро найти площадь трапецииСкачать

Как быстро найти площадь трапеции

Площадь трапеции через основания и два угла

  • Параллельные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.
  • Расстояние между основаниями называется высотой трапеции.
  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой (или равнобедренной)
  • Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • У равнобокой трапеции углы при основании равны.
  • У равнобокой трапеции диагонали равны.
  • Если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность.
  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.
  • В трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и продолжения боковых сторон находятся на одной прямой.

Видео:Как найти площадь трапеции? #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #егэСкачать

Как найти площадь трапеции? #математикапрофиль2023 #егэ2023 #математика #школа #егэ

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам
Найти площадь трапеции если в нее можно вписать окружностьНайти площадь трапеции если в нее можно вписать окружность
Рис.1Рис.2

Видео:В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадьравна 1620, можно вписать...Скачать

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадьравна 1620, можно вписать...

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

m =a + b
2

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 смСкачать

№481. Найдите площадь прямоугольной трапеции, у которой две меньшие стороны равны 6 см

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

с =hd =h
sin αsin β

Видео:Как найти площадь трапеции?Скачать

Как найти площадь трапеции?

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

m =a + b
2

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

m =S
h

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
a + ba + b

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

h =sin γ ·d 1 d 2=sin δ ·d 1 d 2
2 m2 m

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

h =2S
a + b

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

h =S
m

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d 1 =d 2 + ab —a ( d 2 — c 2 )
a — b
d 2 =c 2 + ab —a ( c 2 — d 2 )
a — b

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

S =( a + b )· h
2

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

S =d 1 d 2· sin γ=d 1 d 2· sin δ
22

4. Формула площади через четыре стороны:

S =a + bc 2 —(( a — b ) 2 + c 2 — d 2)2
22( a — b )

5. Формула Герона для трапеции

S =a + b√ ( p — a )( p — b )( p — a — c )( p — a — d )
| a — b |

где

p =a + b + c + d— полупериметр трапеции.
2

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

R =a·c·d 1
4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1)

где

p =a + c + d 1
2

a — большее основание

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

r =h
2

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

KM = NL =bKN = ML =aTO = OQ =a · b
22a + b

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Поделиться или сохранить к себе: