Найти пары подобных треугольников

Подобные треугольники
Содержание
  1. Определение
  2. Практические задачи с подобными треугольниками
  3. Практические примеры
  4. Подобные треугольники
  5. Определение
  6. Признаки подобия треугольников
  7. Свойства подобных треугольников
  8. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  9. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  10. Подобные треугольники
  11. Первый признак подобия треугольников
  12. Пример №1
  13. Теорема Менелая
  14. Теорема Птолемея
  15. Второй и третий признаки подобия треугольников
  16. Пример №4
  17. Прямая Эйлера
  18. Обобщенная теорема Фалеса
  19. Пример №5
  20. Подобные треугольники
  21. Пример №6
  22. Пример №7
  23. Признаки подобия треугольников
  24. Пример №8
  25. Пример №9
  26. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  27. Пример №10
  28. Пример №11
  29. Свойство биссектрисы треугольника
  30. Пример №12
  31. Пример №13
  32. Применение подобия треугольников к решению задач
  33. Пример №14
  34. Пример №15
  35. Подобие треугольников
  36. Определение подобных треугольники
  37. Пример №16
  38. Вычисление подобных треугольников
  39. Подобие треугольников по двум углам
  40. Пример №17
  41. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  42. Пример №18
  43. Подобие треугольников по трем сторонам
  44. Подобие прямоугольных треугольников
  45. Пример №19
  46. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  47. Пример №20
  48. Теорема Пифагора и ее следствия
  49. Пример №21
  50. Теорема, обратная теореме Пифагора
  51. Перпендикуляр и наклонная
  52. Применение подобия треугольников
  53. Свойство биссектрисы треугольника
  54. Пример №22
  55. Метрические соотношения в окружности
  56. Метод подобия
  57. Пример №23
  58. Пример №24
  59. Справочный материал по подобию треугольников
  60. Теорема о пропорциональных отрезках
  61. Подобие треугольников
  62. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  63. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  64. Признак подобия прямоугольных треугольников
  65. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  66. Теорема Пифагора и ее следствия
  67. Перпендикуляр и наклонная
  68. Свойство биссектрисы треугольника
  69. Метрические соотношения в окружности
  70. Подробно о подобных треугольниках
  71. Пример №25
  72. Пример №26
  73. Обобщённая теорема Фалеса
  74. Пример №27
  75. Пример №28
  76. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  77. Пример №29
  78. Применение подобия треугольников
  79. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  80. Пример №31
  81. 📸 Видео

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Определение

Найти пары подобных треугольников

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac
$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac
=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Найти пары подобных треугольников

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR. Найти пары подобных треугольников

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
Найти пары подобных треугольников

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac = frac = frac = frac = frac Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
Найти пары подобных треугольников

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac = frac = frac Rightarrow CA = frac = 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Найти пары подобных треугольников

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac = frac = frac Rightarrow AB = frac = 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Найти пары подобных треугольников

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.
Найти пары подобных треугольников

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.
Найти пары подобных треугольников

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.
Найти пары подобных треугольников

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac = frac = frac Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Подобные треугольники

Видео:Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | МатематикаСкачать

Задача на подобие треугольников. А ты сможешь решить? | TutorOnline | Математика

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Найти пары подобных треугольников

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Найти пары подобных треугольников

Видео:Сможешь найти ВСЕ пары подобных треугольников?Скачать

Сможешь найти ВСЕ пары подобных треугольников?

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Найти пары подобных треугольников II признак подобия треугольников

Найти пары подобных треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Найти пары подобных треугольников

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Найти пары подобных треугольников
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Найти подобные треугольники и доказать их подобие. Первый признак. Геометрия 8.Скачать

Найти подобные треугольники и доказать их подобие. Первый признак. Геометрия 8.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Найти пары подобных треугольников

2. Треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 классСкачать

Решение задач на тему "Подобные треугольники". 8 класс

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Предположим, что Найти пары подобных треугольниковПусть серединой отрезка Найти пары подобных треугольниковявляется некоторая точка Найти пары подобных треугольниковТогда отрезок Найти пары подобных треугольников— средняя линия треугольника Найти пары подобных треугольников

Отсюда
Найти пары подобных треугольниковЗначит, через точку Найти пары подобных треугольниковпроходят две прямые, параллельные прямой Найти пары подобных треугольниковчто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Предположим, что Найти пары подобных треугольниковПусть серединой отрезка Найти пары подобных треугольниковявляется некоторая точка Найти пары подобных треугольниковТогда отрезок Найти пары подобных треугольников— средняя линия трапеции Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковЗначит, через точку Найти пары подобных треугольниковпроходят две прямые, параллельные прямой Найти пары подобных треугольниковМы пришли к противоречию. Следовательно, Найти пары подобных треугольников
Аналогично можно доказать, что Найти пары подобных треугольникови т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Найти пары подобных треугольников
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Найти пары подобных треугольниковЗаписывают: Найти пары подобных треугольников
Если Найти пары подобных треугольниковто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Найти пары подобных треугольников

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Найти пары подобных треугольниковто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Найти пары подобных треугольников

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Найти пары подобных треугольников

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Найти пары подобных треугольников(рис. 113). Докажем, что: Найти пары подобных треугольников
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Найти пары подобных треугольников, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Найти пары подобных треугольников— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Найти пары подобных треугольниковравных отрезков, каждый из которых равен Найти пары подобных треугольников.

Найти пары подобных треугольников

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Найти пары подобных треугольников
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Найти пары подобных треугольниковсоответственно на Найти пары подобных треугольниковравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Имеем: Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольников

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Найти пары подобных треугольниковпараллельной прямой Найти пары подобных треугольников(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Найти пары подобных треугольниковтреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Найти пары подобных треугольниковтакже проходит через точку М и Найти пары подобных треугольников
Проведем Найти пары подобных треугольниковПоскольку Найти пары подобных треугольниковто по теореме Фалеса Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольниковПоскольку Найти пары подобных треугольников

По теореме о пропорциональных отрезках Найти пары подобных треугольников

Таким образом, медиана Найти пары подобных треугольниковпересекая медиану Найти пары подобных треугольниковделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Найти пары подобных треугольниковтакже делит медиану Найти пары подобных треугольниковв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Найти пары подобных треугольников

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Найти пары подобных треугольниковв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Найти пары подобных треугольниковПоскольку BE = ВС, то Найти пары подобных треугольников

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Найти пары подобных треугольниковтак, чтобы Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Найти пары подобных треугольниковОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Найти пары подобных треугольников

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Найти пары подобных треугольников

На рисунке 131 изображены треугольники Найти пары подобных треугольникову которых равны углы: Найти пары подобных треугольников

Стороны Найти пары подобных треугольниковлежат против равных углов Найти пары подобных треугольниковТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Найти пары подобных треугольников

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Найти пары подобных треугольникову которых Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Найти пары подобных треугольников(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Найти пары подобных треугольников»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Найти пары подобных треугольниковс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Найти пары подобных треугольников
Поскольку Найти пары подобных треугольниковто можно также сказать, что треугольник Найти пары подобных треугольниковподобен треугольнику АВС с коэффициентом Найти пары подобных треугольниковПишут: Найти пары подобных треугольников

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Найти пары подобных треугольников

Докажите это свойство самостоятельно.

Найти пары подобных треугольников

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Найти пары подобных треугольниковпараллелен стороне АС. Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Углы Найти пары подобных треугольниковравны как соответственные при параллельных прямых Найти пары подобных треугольникови секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Найти пары подобных треугольников
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольников

Проведем Найти пары подобных треугольниковПолучаем: Найти пары подобных треугольниковПо определению четырехугольник Найти пары подобных треугольников— параллелограмм. Тогда Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольников
Таким образом, мы доказали, что Найти пары подобных треугольников
Следовательно, в треугольниках Найти пары подобных треугольниковуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Найти пары подобных треугольниковподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Найти пары подобных треугольниковоткудаНайти пары подобных треугольников

Пусть Р1 — периметр треугольника Найти пары подобных треугольниковР — периметр треугольника АВС. Имеем: Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Найти пары подобных треугольниковвыполняются условия Найти пары подобных треугольниковто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольников, у которых Найти пары подобных треугольниковДокажем, что Найти пары подобных треугольников

Если Найти пары подобных треугольниковто треугольники Найти пары подобных треугольниковравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Найти пары подобных треугольниковОтложим на стороне ВА отрезок Найти пары подобных треугольниковравный стороне Найти пары подобных треугольниковЧерез точку Найти пары подобных треугольниковпроведем прямую Найти пары подобных треугольниковпараллельную стороне АС (рис. 140).

Найти пары подобных треугольников

Углы Найти пары подобных треугольников— соответственные при параллельных прямых Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковАле Найти пары подобных треугольниковПолучаем, что Найти пары подобных треугольниковТаким образом, треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Найти пары подобных треугольниковСледовательно, Найти пары подобных треугольников

Пример №1

Средняя линия трапеции Найти пары подобных треугольниковравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Найти пары подобных треугольников
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Найти пары подобных треугольников

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Найти пары подобных треугольников
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Найти пары подобных треугольниковУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Найти пары подобных треугольников
Отсюда Найти пары подобных треугольников

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Найти пары подобных треугольниковвв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Найти пары подобных треугольников а на продолжении стороны АС — точку Найти пары подобных треугольников Для того чтобы точки Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Найти пары подобных треугольников

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Найти пары подобных треугольниковлежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Найти пары подобных треугольников(рис. 153, а). Поскольку Найти пары подобных треугольниковто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольников
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Найти пары подобных треугольников
Из подобия треугольников Найти пары подобных треугольниковследует равенство Найти пары подобных треугольников

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольниковполучаем равенство

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Найти пары подобных треугольниковлежат на одной прямой.
Пусть прямая Найти пары подобных треугольниковпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Найти пары подобных треугольниковлежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Найти пары подобных треугольников

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Найти пары подобных треугольниковто есть точки Найти пары подобных треугольниковделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Найти пары подобных треугольниковпересекает сторону ВС в точке Найти пары подобных треугольников
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Найти пары подобных треугольниковлежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Найти пары подобных треугольников

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Найти пары подобных треугольников

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

На диагонали АС отметим точку К так, что Найти пары подобных треугольниковУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

Поскольку Найти пары подобных треугольниковУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольниковв которых Найти пары подобных треугольниковДокажем, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Если k = 1, то Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольникова следовательно, треугольники Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Найти пары подобных треугольниковтак, что Найти пары подобных треугольников(рис. 160). Тогда Найти пары подобных треугольников

Покажем, что Найти пары подобных треугольниковПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Найти пары подобных треугольников
Имеем: Найти пары подобных треугольниковтогда Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Найти пары подобных треугольников
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Найти пары подобных треугольников

Треугольники Найти пары подобных треугольниковравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольников

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольниковв которых Найти пары подобных треугольниковДокажем, что Найти пары подобных треугольников

Если k = 1, то треугольники Найти пары подобных треугольниковравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Найти пары подобных треугольниковтакие, что Найти пары подобных треугольников(рис. 161). Тогда Найти пары подобных треугольников

В треугольниках Найти пары подобных треугольниковугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Найти пары подобных треугольников

Учитывая, что по условию Найти пары подобных треугольниковполучаем: Найти пары подобных треугольников
Следовательно, треугольники Найти пары подобных треугольниковравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Найти пары подобных треугольниковполучаем: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Найти пары подобных треугольников— высоты треугольника АВС. Докажем, что Найти пары подобных треугольников
В прямоугольных треугольниках Найти пары подобных треугольниковострый угол В общий. Следовательно, треугольники Найти пары подобных треугольниковподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольников

Тогда Найти пары подобных треугольниковУгол В — общий для треугольников Найти пары подобных треугольниковСледовательно, треугольники АВС и Найти пары подобных треугольниковподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Найти пары подобных треугольников

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Найти пары подобных треугольниковто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Найти пары подобных треугольников — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Найти пары подобных треугольников(рис. 167).

Найти пары подобных треугольников

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Найти пары подобных треугольников(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Найти пары подобных треугольников. Для этой окружности угол Найти пары подобных треугольниковявляется центральным, а угол Найти пары подобных треугольников— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Найти пары подобных треугольниковУглы ВАС и Найти пары подобных треугольниковравны как противолежащие углы параллелограмма Найти пары подобных треугольниковпоэтому Найти пары подобных треугольниковПоскольку Найти пары подобных треугольниковто равнобедренные треугольники Найти пары подобных треугольниковподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Найти пары подобных треугольников— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Найти пары подобных треугольников
Докажем теперь основную теорему.

Найти пары подобных треугольников

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Найти пары подобных треугольниковПоскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольниковУглы Найти пары подобных треугольниковравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Найти пары подобных треугольниковподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольниковЗначит, точка М делит медиану Найти пары подобных треугольниковв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковназывают отношение их длин, то есть Найти пары подобных треугольников

Говорят, что отрезки Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковпропорциональные отрезкам Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Например, если Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольниковдействительно Найти пары подобных треугольников

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковпропорциональны трем отрезкам Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковесли

Найти пары подобных треугольников

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковпересекают стороны угла Найти пары подобных треугольников(рис. 123). Докажем, что

Найти пары подобных треугольников

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Найти пары подобных треугольниковкоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Найти пары подобных треугольникови на отрезке Найти пары подобных треугольников

Пусть Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Найти пары подобных треугольниковПоэтому Найти пары подобных треугольников

Имеем: Найти пары подобных треугольников

2) Разделим отрезок Найти пары подобных треугольниковна Найти пары подобных треугольниковравных частей длины Найти пары подобных треугольникова отрезок Найти пары подобных треугольников— на Найти пары подобных треугольниковравных частей длины Найти пары подобных треугольниковПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Найти пары подобных треугольников(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Найти пары подобных треугольниковна Найти пары подобных треугольниковравных отрезков длины Найти пары подобных треугольниковпричем Найти пары подобных треугольниковбудет состоять из Найти пары подобных треугольниковтаких отрезков, а Найти пары подобных треугольников— из Найти пары подобных треугольниковтаких отрезков.

Имеем: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

3) Найдем отношение Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковБудем иметь:

Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Найти пары подобных треугольников

Следствие 2. Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Поскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

Учитывая, что Найти пары подобных треугольников

будем иметь: Найти пары подобных треугольников

Откуда Найти пары подобных треугольников

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Найти пары подобных треугольниковПостройте отрезок Найти пары подобных треугольников

Решение:

Поскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Для построения отрезка Найти пары подобных треугольниковможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Найти пары подобных треугольников(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Найти пары подобных треугольникова на другой — отрезки Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

2) Проведем прямую Найти пары подобных треугольниковЧерез точку Найти пары подобных треугольниковпараллельно Найти пары подобных треугольниковпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Найти пары подобных треугольниковугла обозначим через Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковСледовательно, Найти пары подобных треугольников

Построенный отрезок Найти пары подобных треугольниковназывают четвертым пропорциональным отрезков Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковтак как для этих отрезков верно равенство: Найти пары подобных треугольников

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Найти пары подобных треугольников

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковподобны (рис. 127), то

Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Найти пары подобных треугольниковЧисло Найти пары подобных треугольниковназывают коэффициентом подобия треугольника Найти пары подобных треугольниковк треугольнику Найти пары подобных треугольниковили коэффициентом подобия треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Подобие треугольников принято обозначать символом Найти пары подобных треугольниковВ нашем случае Найти пары подобных треугольниковЗаметим, что из соотношения Найти пары подобных треугольниковследует соотношение

Найти пары подобных треугольников

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Тогда Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пример №7

Стороны треугольника Найти пары подобных треугольниковотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Найти пары подобных треугольниковравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

Обозначим Найти пары подобных треугольниковПо условию Найти пары подобных треугольниковтогда Найти пары подобных треугольников(см). Имеем: Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:Геометрия Укажите пары подобных треугольников, изображенных на рисунке, найдите длину отрезка xСкачать

Геометрия Укажите пары подобных треугольников, изображенных на рисунке, найдите длину отрезка x

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Найти пары подобных треугольниковпересекает стороны Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольниковсоответственно в точках Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников(рис. 129). Докажем, что Найти пары подобных треугольников

1) Найти пары подобных треугольников— общий для обоих треугольников, Найти пары подобных треугольников(как соответственные углы при параллельных прямых Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольников(аналогично, но для секущей Найти пары подобных треугольниковСледовательно, три угла треугольника Найти пары подобных треугольниковравны трем углам треугольника Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Найти пары подобных треугольников

3) Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Через точку Найти пары подобных треугольниковпроведем прямую, параллельную Найти пары подобных треугольникови пересекающую Найти пары подобных треугольниковв точке Найти пары подобных треугольниковТак как Найти пары подобных треугольников— параллелограмм, то Найти пары подобных треугольниковПо обобщенной теореме Фалеса: Найти пары подобных треугольников

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Найти пары подобных треугольников

Но Найти пары подобных треугольниковСледовательно, Найти пары подобных треугольников

4) Окончательно имеем: Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникова значит, Найти пары подобных треугольников

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникову которых Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников(рис. 130). Докажем, что Найти пары подобных треугольников

1) Отложим на стороне Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольникови проведем через Найти пары подобных треугольниковпрямую, параллельную Найти пары подобных треугольников(рис. 131). Тогда Найти пары подобных треугольников(по лемме).

Найти пары подобных треугольников

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Найти пары подобных треугольниковНо Найти пары подобных треугольников(по построению). Поэтому Найти пары подобных треугольниковПо условию Найти пары подобных треугольниковследовательно, Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

3) Так как Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Найти пары подобных треугольниковследовательно, Найти пары подобных треугольников

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникову которых Найти пары подобных треугольников(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Найти пары подобных треугольников

2) Найти пары подобных треугольниковно Найти пары подобных треугольниковПоэтому Найти пары подобных треугольников

3) Тогда Найти пары подобных треугольников(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникову которых Найти пары подобных треугольников(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Найти пары подобных треугольников

2) Тогда Найти пары подобных треугольниковно Найти пары подобных треугольниковпоэтому

Найти пары подобных треугольниковУчитывая, что

Найти пары подобных треугольниковимеем: Найти пары подобных треугольников

3) Тогда Найти пары подобных треугольников(по трем сторонам).

4) Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковНо Найти пары подобных треугольниковзначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Найти пары подобных треугольников— параллелограмм (рис. 132). Найти пары подобных треугольников— высота параллелограмма. Проведем Найти пары подобных треугольников— вторую высоту параллелограмма.

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Найти пары подобных треугольников— прямоугольный треугольник Найти пары подобных треугольников— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

1) У прямоугольных треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковугол Найти пары подобных треугольников— общий. Поэтому Найти пары подобных треугольников(по острому углу).

2) Аналогично Найти пары подобных треугольников-общий, Найти пары подобных треугольниковОткуда Найти пары подобных треугольников

3) У треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Поэтому Найти пары подобных треугольников(по острому углу).

Отрезок Найти пары подобных треугольниковназывают проекцией катета Найти пары подобных треугольниковна гипотенузу Найти пары подобных треугольникова отрезок Найти пары подобных треугольниковпроекцией катета Найти пары подобных треугольниковна гипотенузу Найти пары подобных треугольников

Отрезок Найти пары подобных треугольниковназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников, если Найти пары подобных треугольников

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Найти пары подобных треугольников(по лемме). Поэтому Найти пары подобных треугольниковили Найти пары подобных треугольников

2) Найти пары подобных треугольников(по лемме). Поэтому Найти пары подобных треугольниковили Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников(по лемме). Поэтому Найти пары подобных треугольниковили Найти пары подобных треугольников

Пример №10

Найти пары подобных треугольников— высота прямоугольного треугольника Найти пары подобных треугольников

с прямым углом Найти пары подобных треугольниковДокажите, что Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольникова так как Найти пары подобных треугольниковто

Найти пары подобных треугольниковПоэтому Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

1) Найти пары подобных треугольников

2) Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольниковТак как Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

3) Найти пары подобных треугольниковТак как Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

4) Найти пары подобных треугольников

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Найти пары подобных треугольников— биссектриса треугольника Найти пары подобных треугольников(рис. 147). Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

1) Проведем через точку Найти пары подобных треугольниковпрямую, параллельную Найти пары подобных треугольникови продлим биссектрису Найти пары подобных треугольниковдо пересечения с этой прямой в точке Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольников(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольников

2) Найти пары подобных треугольников— равнобедренный (так как Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольникова значит, Найти пары подобных треугольников

3) Найти пары подобных треугольников(как вертикальные), поэтому Найти пары подобных треугольников(по двум углам). Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Но Найти пары подобных треугольниковтаким образом Найти пары подобных треугольников

Из пропорции Найти пары подобных треугольниковможно получить и такую: Найти пары подобных треугольников

Пример №12

В треугольнике Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников— биссектриса треугольника. Найдите Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Решение:

Рассмотрим Найти пары подобных треугольников(рис. 147). Пусть Найти пары подобных треугольников

тогда Найти пары подобных треугольниковТак как Найти пары подобных треугольниковимеем уравнение: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Следовательно, Найти пары подобных треугольников

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Найти пары подобных треугольниковмедиана (рис. 148).

Найти пары подобных треугольников

Тогда Найти пары подобных треугольниковявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Найти пары подобных треугольников— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Найти пары подобных треугольников— радиус окружности.

Учитывая, что Найти пары подобных треугольниковобозначим Найти пары подобных треугольниковТак как Найти пары подобных треугольников— середина Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников— биссектриса треугольника Найти пары подобных треугольниковпоэтому Найти пары подобных треугольников

Пусть Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковИмеем: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Найти пары подобных треугольников и Найти пары подобных треугольников пересекаются в точке Найти пары подобных треугольниковто

Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Пусть хорды Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковпересекаются в точке Найти пары подобных треугольников(рис. 150). Рассмотрим Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникову которых Найти пары подобных треугольников(как вертикальные), Найти пары подобных треугольников(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Найти пары подобных треугольников

Тогда Найти пары подобных треугольников(по двум углам), а значит, Найти пары подобных треугольниковоткуда

Найти пары подобных треугольников

Следствие. Если Найти пары подобных треугольников— центр окружности, Найти пары подобных треугольников— ее радиус, Найти пары подобных треугольников— хорда, Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольниковгде Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Проведем через точку Найти пары подобных треугольниковдиаметр Найти пары подобных треугольников(рис. 151). Тогда Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Найти пары подобных треугольниковДокажите формулу биссектрисы: Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Опишем около треугольника Найти пары подобных треугольниковокружность и продлим Найти пары подобных треугольниковдо пересечения с окружностью в точке Найти пары подобных треугольников(рис. 152).

1) Найти пары подобных треугольников(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников(по условию). Поэтому Найти пары подобных треугольников(по двум углам).

2) Имеем: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольников

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Найти пары подобных треугольниковлежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Найти пары подобных треугольников и Найти пары подобных треугольникови касательную Найти пары подобных треугольниковгде Найти пары подобных треугольников — точка касания, то Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Найти пары подобных треугольников(как вписанный угол), Найти пары подобных треугольников, то

есть Найти пары подобных треугольниковПоэтому Найти пары подобных треугольников(по двум углам),

значит, Найти пары подобных треугольниковОткуда Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Следствие 1. Если из точки Найти пары подобных треугольниковпровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникова другая — в точках Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

Так как по теореме каждое из произведений Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковравно Найти пары подобных треугольниковто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Найти пары подобных треугольников— центр окружности, Найти пары подобных треугольников— ее радиус, Найти пары подобных треугольников— касательная, Найти пары подобных треугольников— точка касания, то Найти пары подобных треугольниковгде Найти пары подобных треугольников

Доказательство:

Проведем из точки Найти пары подобных треугольниковчерез центр окружности Найти пары подобных треугольниковсекущую (рис. 154), Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Найти пары подобных треугольниковно Найти пары подобных треугольниковпоэтому Найти пары подобных треугольников

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Найти пары подобных треугольников(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Найти пары подобных треугольниковс планкой, которая вращается вокруг точки Найти пары подобных треугольниковНаправим планку на верхнюю точку Найти пары подобных треугольниковели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Найти пары подобных треугольниковв которой планка упирается в поверхность земли.

Найти пары подобных треугольников

Рассмотрим Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникову них общий, поэтому Найти пары подобных треугольников(по острому углу).

Тогда Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольников

Если, например, Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Найти пары подобных треугольников

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Найти пары подобных треугольникову которого углы Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольникови откладываем на прямой Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольниковравный данному.

3) Через точку Найти пары подобных треугольниковпроводим прямую, параллельную Найти пары подобных треугольниковОна пересекает стороны угла Найти пары подобных треугольниковв некоторых точках Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников(рис. 157).

4) Так как Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольниковЗначит, два угла треугольника Найти пары подобных треугольниковравны данным.

Докажем, что Найти пары подобных треугольников— середина Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников(по двум углам). Поэтому Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников(по двум углам). Поэтому Найти пары подобных треугольников

Получаем, что Найти пары подобных треугольниковто есть Найти пары подобных треугольниковНо Найти пары подобных треугольников(по построению), поэтому Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Следовательно, Найти пары подобных треугольников— медиана треугольника Найти пары подобных треугольникови треугольник Найти пары подобных треугольников— искомый.

Видео:Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | УмскулСкачать

Подобные треугольники с нуля до ОГЭ | Математика ОГЭ 2023 | Умскул

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Найти пары подобных треугольниковназывается частное их длин, т.е. число Найти пары подобных треугольников

Иначе говоря, отношение Найти пары подобных треугольниковпоказывает, сколько раз отрезок Найти пары подобных треугольникови его части укладываются в отрезке Найти пары подобных треугольниковДействительно, если отрезок Найти пары подобных треугольниковпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Найти пары подобных треугольников

Отрезки длиной Найти пары подобных треугольниковпропорциональны отрезкам длиной Найти пары подобных треугольниковесли Найти пары подобных треугольников

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Найти пары подобных треугольников

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Найти пары подобных треугольников

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Найти пары подобных треугольников

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Найти пары подобных треугольниковпоказывает, сколько раз отрезок Найти пары подобных треугольниковукладывается в отрезке Найти пары подобных треугольникова отношение Найти пары подобных треугольниковсколько раз отрезок Найти пары подобных треугольниковукладывается в отрезке Найти пары подобных треугольниковТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Найти пары подобных треугольниковДействительно, прямые, параллельные Найти пары подобных треугольников«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Найти пары подобных треугольников«переходит» в отрезок Найти пары подобных треугольниковдесятая часть отрезка Найти пары подобных треугольников— в десятую часть отрезка Найти пары подобных треугольникови т.д. Поэтому если отрезок Найти пары подобных треугольниковукладывается в отрезке Найти пары подобных треугольниковраз, то отрезок Найти пары подобных треугольниковукладывается в отрезке Найти пары подобных треугольниковтакже Найти пары подобных треугольниковраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольникови следствие данной теоремы можно записать в виде Найти пары подобных треугольниковНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Найти пары подобных треугольниковПостройте отрезок Найти пары подобных треугольников

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Найти пары подобных треугольникови отложим на одной его стороне отрезки Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольникова на другой стороне — отрезок Найти пары подобных треугольников(рис. 91).

Найти пары подобных треугольников

Проведем прямую Найти пары подобных треугольникови прямую, которая параллельна Найти пары подобных треугольниковпроходит через точку Найти пары подобных треугольникови пересекает другую сторону угла в точке Найти пары подобных треугольниковПо теореме о пропорциональных отрезках Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковСледовательно, отрезок Найти пары подобных треугольников— искомый.

Заметим, что в задаче величина Найти пары подобных треугольниковявляется четвертым членом пропорции Найти пары подобных треугольниковПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Найти пары подобных треугольниковВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Найти пары подобных треугольников

Число Найти пары подобных треугольниковравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Найти пары подобных треугольниковс коэффициентом подобия Найти пары подобных треугольниковЭто означает, что Найти пары подобных треугольниковт.е. Найти пары подобных треугольниковИмеем:

Найти пары подобных треугольников

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковв которых Найти пары подобных треугольников, (рис. 99).

Найти пары подобных треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Найти пары подобных треугольниковОтложим на луче Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольниковравный Найти пары подобных треугольникови проведем прямую Найти пары подобных треугольниковпараллельную Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Найти пары подобных треугольниковпо второму признаку, откуда Найти пары подобных треугольниковПо теореме о пропорциональных отрезках Найти пары подобных треугольниковследовательно Найти пары подобных треугольниковАналогично доказываем что Найти пары подобных треугольниковТаким образом по определению подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Найти пары подобных треугольниковдиагонали пересекаются в точке Найти пары подобных треугольников(рис. 100).

Найти пары подобных треугольников

Рассмотрим треугольники Найти пары подобных треугольниковВ них углы при вершине Найти пары подобных треугольниковравны как вертикальные, Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковкак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковпо двум углам. Отсюда следует, что Найти пары подобных треугольниковПо скольку по условию Найти пары подобных треугольниковзначит, Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольников
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Найти пары подобных треугольников

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Найти пары подобных треугольниковв которых Найти пары подобных треугольников(рис. 101).

Найти пары подобных треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольниковравный Найти пары подобных треугольникови проведем прямую Найти пары подобных треугольниковпараллельную Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Найти пары подобных треугольниковпо двум углам. Отсюда Найти пары подобных треугольникова поскольку Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольниковделит каждую из них в отношении Найти пары подобных треугольниковначиная от вершины Найти пары подобных треугольниковДокажите, что эта прямая параллельна Найти пары подобных треугольников

Решение:

Найти пары подобных треугольников

Пусть прямая Найти пары подобных треугольниковпересекает стороны Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольниковв точках Найти пары подобных треугольниковсоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Найти пары подобных треугольниковТогда треугольники Найти пары подобных треугольниковподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Найти пары подобных треугольниковНо эти углы являются соответственными при прямых Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольниковСледовательно, Найти пары подобных треугольниковпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников(рис. 103).

Найти пары подобных треугольников

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольниковравный отрезку Найти пары подобных треугольникови проведем прямую Найти пары подобных треугольниковпараллельную Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Найти пары подобных треугольниковпо двум углам. Отсюда Найти пары подобных треугольникова поскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольниковУчитывая, что Найти пары подобных треугольниковимеем Найти пары подобных треугольниковАналогично доказываем, что Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Найти пары подобных треугольниковс острым углом Найти пары подобных треугольниковпроведены высоты Найти пары подобных треугольников(рис. 110). Докажите, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковПоскольку они имеют общий острый угол Найти пары подобных треугольниковони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Найти пары подобных треугольников

Рассмотрим теперь треугольники Найти пары подобных треугольниковУ них также общий угол Найти пары подобных треугольников, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Найти пары подобных треугольниковпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Найти пары подобных треугольниковназывается средним пропорциональным между отрезками Найти пары подобных треугольниковесли Найти пары подобных треугольников

В прямоугольном треугольнике Найти пары подобных треугольниковс катетами Найти пары подобных треугольникови гипотенузой Найти пары подобных треугольниковпроведем высоту Найти пары подобных треугольникови обозначим ее Найти пары подобных треугольников(рис. 111).

Найти пары подобных треугольников

Отрезки Найти пары подобных треугольниковна которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Найти пары подобных треугольниковна гипотенузу Найти пары подобных треугольниковобозначают Найти пары подобных треугольниковсоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Найти пары подобных треугольников

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Найти пары подобных треугольников

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Найти пары подобных треугольников

По признаку подобия прямоугольных треугольников Найти пары подобных треугольников(у этих треугольников общий острый угол Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников(у этих треугольников общий острый угол Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Найти пары подобных треугольниковИз подобия треугольников Найти пары подобных треугольниковимеем: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковАналогично из подобия треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковполучаем Найти пары подобных треугольниковИ наконец, из подобия треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковимеем Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников(рис. 112).

Найти пары подобных треугольников

Из метрического соотношения в треугольнике Найти пары подобных треугольниковполучаем: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковтогда Найти пары подобных треугольниковИз соотношения Найти пары подобных треугольниковимеем: Найти пары подобных треугольниковоткуда Найти пары подобных треугольниковСледовательно, Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Найти пары подобных треугольников

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Найти пары подобных треугольникови гипотенузой Найти пары подобных треугольников(рис. 117) Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Найти пары подобных треугольников

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Найти пары подобных треугольниковто

Найти пары подобных треугольников

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Найти пары подобных треугольников— высота треугольника Найти пары подобных треугольниковв котором Найти пары подобных треугольников(рис. 118).

Найти пары подобных треугольников

Поскольку Найти пары подобных треугольников— наибольшая сторона треугольника, то точка Найти пары подобных треугольниковлежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Найти пары подобных треугольниковравной Найти пары подобных треугольниковсм, тогда Найти пары подобных треугольниковПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Найти пары подобных треугольниковимеем: Найти пары подобных треугольникова из прямоугольного треугольника Найти пары подобных треугольниковимеем: Найти пары подобных треугольниковт.е. Найти пары подобных треугольниковПриравнивая два выражения для Найти пары подобных треугольниковполучаем:

Найти пары подобных треугольников

Таким образом, Найти пары подобных треугольников

Тогда из треугольника Найти пары подобных треугольниковпо теореме Пифагора имеем: Найти пары подобных треугольников

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Найти пары подобных треугольников

Пусть в треугольнике Найти пары подобных треугольников(рис. 119, а) Найти пары подобных треугольниковДокажем, что угол Найти пары подобных треугольниковпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Найти пары подобных треугольниковс прямым углом Найти пары подобных треугольниковв котором Найти пары подобных треугольников(рис. 119, б). По теореме Пифагора Найти пары подобных треугольникова с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Найти пары подобных треугольниковТогда Найти пары подобных треугольниковпо трем сторонам, откуда Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Найти пары подобных треугольниковОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Найти пары подобных треугольниковдля которых выполняется равенство Найти пары подобных треугольниковпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Найти пары подобных треугольниковне лежит на прямой Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Найти пары подобных треугольниковс точкой прямой Найти пары подобных треугольникови не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Найти пары подобных треугольниковНа рисунке 121 отрезок Найти пары подобных треугольников— наклонная к прямой Найти пары подобных треугольниковточка Найти пары подобных треугольников— основание наклонной. При этом отрезок Найти пары подобных треугольниковпрямой Найти пары подобных треугольниковограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Найти пары подобных треугольниковна данную прямую.

Найти пары подобных треугольников

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Найти пары подобных треугольников

Видео:Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобиеСкачать

Первый признак подобия треугольников. Найти подобные по рисунку. Задачи на подобие

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Найти пары подобных треугольников

По данным рисунка 123 это означает, что

Найти пары подобных треугольников

Пусть Найти пары подобных треугольников— биссектриса треугольника Найти пары подобных треугольниковДокажем, что Найти пары подобных треугольников

В случае, если Найти пары подобных треугольниковутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Найти пары подобных треугольниковявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Найти пары подобных треугольников

Проведем перпендикуляры Найти пары подобных треугольниковк прямой Найти пары подобных треугольников(рис. 124). Прямоугольные треугольники Найти пары подобных треугольниковподобны, поскольку их острые углы при вершине Найти пары подобных треугольниковравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Найти пары подобных треугольников

С другой стороны, прямоугольные треугольники Найти пары подобных треугольниковтакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Найти пары подобных треугольниковОтсюда следует что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Сравнивая это равенство с предыдущем Найти пары подобных треугольниковчто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Найти пары подобных треугольников— биссектриса прямоугольного треугольника Найти пары подобных треугольниковс гипотенузой Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников(рис. 125).

Найти пары подобных треугольников

По свойству биссектрисы треугольника Найти пары подобных треугольников

Тогда если Найти пары подобных треугольникови по теореме Пифагора имеем:

Найти пары подобных треугольников

Следовательно, Найти пары подобных треугольников

тогда Найти пары подобных треугольников

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пусть хорды Найти пары подобных треугольниковпересекаются в точке Найти пары подобных треугольниковПроведем хорды Найти пары подобных треугольниковТреугольники Найти пары подобных треугольниковподобны по двум углам: Найти пары подобных треугольниковкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Найти пары подобных треугольниковравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Найти пары подобных треугольниковт.е. Найти пары подобных треугольников

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пусть из точки Найти пары подобных треугольниковк окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Найти пары подобных треугольникови касательная Найти пары подобных треугольников— точка касания). Проведем хорды Найти пары подобных треугольниковТреугольники Найти пары подобных треугольниковподобны по двум углам: у них общий угол Найти пары подобных треугольникова углы Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольниковизмеряются половиной дуги Найти пары подобных треугольников(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Найти пары подобных треугольниковт.е. Найти пары подобных треугольников

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Найти пары подобных треугольниковпересекаются в точке Найти пары подобных треугольниковДокажите, что Найти пары подобных треугольников

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Найти пары подобных треугольниковЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников(рис. 129). Поскольку Найти пары подобных треугольниковкак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Найти пары подобных треугольниковНо углы Найти пары подобных треугольниковвнутренние накрест лежащие при прямых Найти пары подобных треугольникови секущей Найти пары подобных треугольниковСледовательно, по признаку параллельности прямых Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Найти пары подобных треугольниковопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Найти пары подобных треугольников— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Найти пары подобных треугольниковОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Найти пары подобных треугольниковпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Найти пары подобных треугольников

Построение:

1.Построим треугольник Найти пары подобных треугольниковв котором Найти пары подобных треугольников

2.Построим биссектрису угла Найти пары подобных треугольников

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Найти пары подобных треугольников

4.Проведем через точку Найти пары подобных треугольниковпрямую, параллельную Найти пары подобных треугольниковПусть Найти пары подобных треугольников— точки ее пересечения со сторонами угла Найти пары подобных треугольниковТреугольник Найти пары подобных треугольниковискомый.

Поскольку по построению Найти пары подобных треугольниковкак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольников— биссектриса и Найти пары подобных треугольниковпо построению, Найти пары подобных треугольников

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Найти пары подобных треугольникови ни одного, если Найти пары подобных треугольников

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:ЕГЭ задание 16 Шоу подобных треугольниковСкачать

ЕГЭ задание 16 Шоу подобных треугольников

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Найти пары подобных треугольников

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Найти пары подобных треугольников

Подобие треугольников

Найти пары подобных треугольников
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Найти пары подобных треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Найти пары подобных треугольников

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Найти пары подобных треугольников

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Найти пары подобных треугольников

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Найти пары подобных треугольников

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Найти пары подобных треугольников

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Найти пары подобных треугольникови Найти пары подобных треугольников

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Найти пары подобных треугольников

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Найти пары подобных треугольников

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Найти пары подобных треугольников

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Найти пары подобных треугольниковравны соответственным углам Δ ABC: Найти пары подобных треугольников. Но стороны Найти пары подобных треугольниковв два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Найти пары подобных треугольников. Следовательно, треугольник Найти пары подобных треугольниковне равен треугольнику ABC. Треугольники Найти пары подобных треугольникови ABC — подобные.

Найти пары подобных треугольников

Поскольку Найти пары подобных треугольников= 2АВ, составим отношение этих сторон: Найти пары подобных треугольников

Аналогично получим: Найти пары подобных треугольников. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Найти пары подобных треугольников

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Найти пары подобных треугольников

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Найти пары подобных треугольникови говорим: «Треугольник Найти пары подобных треугольниковподобен треугольнику ABC*. Знак Найти пары подобных треугольниковзаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Найти пары подобных треугольников

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Найти пары подобных треугольников— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Найти пары подобных треугольников

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Найти пары подобных треугольников

Подставим известные длины сторон: Найти пары подобных треугольников

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Найти пары подобных треугольников, отсюда АВ = 5,6 см; Найти пары подобных треугольников

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Найти пары подобных треугольников(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Найти пары подобных треугольников

Докажем, что Найти пары подобных треугольников

Поскольку Найти пары подобных треугольниковто Найти пары подобных треугольников

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Найти пары подобных треугольников

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Найти пары подобных треугольников

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Найти пары подобных треугольников

Из обобщенной теоремы Фалеса, Найти пары подобных треугольников

поэтому Найти пары подобных треугольников

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Найти пары подобных треугольников. Но КА = MN, поэтому Найти пары подобных треугольников

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Найти пары подобных треугольников‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Найти пары подобных треугольников

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Найти пары подобных треугольниковНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Найти пары подобных треугольниковn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Найти пары подобных треугольниковm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Найти пары подобных треугольников

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Найти пары подобных треугольников

Следовательно, их можно приравнять: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Найти пары подобных треугольников. Прямые ВС и Найти пары подобных треугольниковcообразуют с секущей Найти пары подобных треугольниковравные соответственные углы: Найти пары подобных треугольниковИз признака параллельности прямых следует, что, Найти пары подобных треугольников

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Найти пары подобных треугольников, отсекает от треугольника Найти пары подобных треугольниковподобный треугольник. Поэтому Найти пары подобных треугольников

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Найти пары подобных треугольников

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Найти пары подобных треугольников. Тогда:

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Найти пары подобных треугольников

Доказать: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Доказательство. Пусть Найти пары подобных треугольников. Отложим на стороне Найти пары подобных треугольниковтреугольника Найти пары подобных треугольниковотрезок Найти пары подобных треугольников= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Найти пары подобных треугольниковИмеем треугольник Найти пары подобных треугольников, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Найти пары подобных треугольников.

Следовательно, Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольников

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Найти пары подобных треугольников. Отсюда Найти пары подобных треугольниковИз равенства треугольников Найти пары подобных треугольниковподобия треугольников Найти пары подобных треугольниковследует, что Найти пары подобных треугольников.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Найти пары подобных треугольников

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Найти пары подобных треугольников

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Найти пары подобных треугольников

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Найти пары подобных треугольников

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Найти пары подобных треугольников

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Найти пары подобных треугольников. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Найти пары подобных треугольников. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Доказательство.

1) Найти пары подобных треугольниковпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Найти пары подобных треугольниковОтсюда Найти пары подобных треугольников= Найти пары подобных треугольников.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Найти пары подобных треугольников

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Найти пары подобных треугольников(рис. 302).

Найти пары подобных треугольников

Поэтому Найти пары подобных треугольников

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Найти пары подобных треугольников

Найти пары подобных треугольников

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Найти пары подобных треугольниковno двум углам. В них: Найти пары подобных треугольников, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Найти пары подобных треугольников Найти пары подобных треугольниковпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Найти пары подобных треугольников(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Найти пары подобных треугольников

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Найти пары подобных треугольников— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Найти пары подобных треугольников= I. Тогда можно построить вспомогательный Найти пары подобных треугольниковпо двум заданным углам А и С. Через точку Найти пары подобных треугольниковна биссектрисе ے В ( Найти пары подобных треугольников= I) проходит прямая Найти пары подобных треугольников, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Найти пары подобных треугольников, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Найти пары подобных треугольниковАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Найти пары подобных треугольников= I.
  4. Через точку Найти пары подобных треугольников, проводим прямую Найти пары подобных треугольников.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Найти пары подобных треугольников: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Найти пары подобных треугольников= I. Следовательно, Найти пары подобных треугольников, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Найти пары подобных треугольниковНайти пары подобных треугольников

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📸 Видео

Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Задача на подобие треугольников 1частьСкачать

Задача на подобие треугольников 1часть

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 классСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ коэффициент подобия 8 класс

Подобные треугольники. Отношение периметров.Скачать

Подобные треугольники. Отношение периметров.
Поделиться или сохранить к себе: