Найти отношение сторон треугольников

Математика

228. В этой главе мы будем главным образом понимать под обозначениями отрезков AB, AC и т. д. выражающие их числа.

Мы знаем (п. 226), что если даны геометрически два отрезка a и b, то мы можем построить средний пропорциональный между ними. Пусть теперь отрезки даны не геометрически, а числами, т. е. под a и b будем понимать числа, выражающие 2 данных отрезка. Тогда нахождение среднего пропорционального отрезка сведется к нахождению числа x из пропорции a/x = x/b, где a, b и x числа. Из этой пропорции имеем:

229. Пусть имеем прямоугольный треугольник ABC (чер. 224).

Найти отношение сторон треугольников

Опустим из вершины его прямого угла (∠B прямой) перпендикуляр BD на гипотенузу AC. Тогда из п. 225 мы знаем:

1) AC/AB = AB/AD и 2) AC/BC = BC/DC.

Отсюда мы получаем:

AB 2 = AC · AD и BC 2 = AC · DC.

Сложив по частям полученные равенства, получим:

AB 2 + BC 2 = AC · AD + AC · DC = AC(AD + DC).

т. е. квадрат числа, выражающего гипотенузу, равен сумме квадратов чисел, выражающих катеты прямоугольного треугольника .

Сокращенно говорят: Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов катетов .

Если мы дадим полученной формуле геометрическое толкование, то получим уже известную нам теорему Пифагора (п. 161):

квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на катетах.

Из уравнения AB 2 + BC 2 = AC 2 иногда приходится находить катет прямоугольного треугольника, по гипотенузе и другому катету. Получим, напр.:

AB 2 = AC 2 – BC 2 и, следов., Найти отношение сторон треугольников

230. Найденное числовое соотношение между сторонами прямоугольного треугольника позволяет решать множество вычислительных задач. Решим некоторые из них:

1. Вычислить площадь равностороннего треугольника по данной его стороне .

Найти отношение сторон треугольников

Пусть ∆ABC (чер. 225) равносторонний и каждая его сторона выражается числом a (AB = BC = AC = a). Для вычисления площади этого треугольника надо узнать сначала его высоту BD, которую мы назовем чрез h. Мы знаем, что в равностороннем треугольнике высота BD делит основание AC пополам, т. е. AD = DC = a/2. Поэтому из прямоугольного треугольника DBC имеем:

BD 2 = BC 2 – DC 2 ,

h 2 = a 2 – a 2 /4 = 3a 2 /4 (выполняем вычитание).

Найти отношение сторон треугольников(выносим множитель из под корня).

Следовательно, называя число, выражающее площадь нашего треугольника, чрез Q и зная, что площадь ∆ABC = (AC · BD)/2, находим:

Найти отношение сторон треугольников

Мы можем смотреть на эту формулу, как на один из способов измерения площади равностороннего треугольника: надо измерить его сторону в линейных единицах, возвести найденное число в квадрат, умножить полученное число на √3 и разделить на 4 — получим выражение площади в квадратных (соответствующих) единицах.
2. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21 лин. един. Вычислить его площадь .

Найти отношение сторон треугольников

Опустим высоту h в нашем треугольнике (чер. 226) на большую сторону — она непременно пройдет внутри треугольника, так как в треугольнике тупой угол может быть расположен только против большей стороны. Тогда большая сторона, = 21, разделится на 2 отрезка, один из которых обозначим чрез x (см. чертеж) — тогда другой = 21 – x. Получим два прямоугольных треугольника, из которых имеем:

h 2 = 10 2 – x 2 и h 2 = 17 2 – (21 – x) 2

Так как левые части этих уравнений одинаковы, то

10 2 – x 2 = 17 2 – (21 – x) 2

Выполняя действия получим:

10 2 – x 2 = 289 – 441 + 42x – x 2

Упрощая это уравнение, найдем:

Тогда из уравнения h 2 = 10 2 – x 2 , получим:

h 2 = 10 2 – 6 2 = 64

Тогда искомая площадь найдется:

Q = (21 · 8)/2 квад. един. = 84 квад. един.

3. Можно решить общую задачу:

как вычислить площадь треугольника по его сторонам?

Найти отношение сторон треугольников

Пусть стороны треугольника ABC выражены числами BC = a, AC = b и AB = c (чер. 227). Положим, что AC есть большая сторона; тогда высота BD пойдет внутри ∆ABC. Назовем: BD = h, DC = x и тогда AD = b – x.

Из ∆BDC имеем: h 2 = a 2 – x 2 .

Из ∆ABD имеем: h 2 = c 2 – (b – x) 2 ,

откуда a 2 – x 2 = c 2 – (b – x) 2 .

Решая это уравнение, последовательно получаем:

2bx = a 2 + b 2 – c 2 и x = (a 2 + b 2 – c 2 )/2b.

Далее, подставляя это выражение в уравнение h 2 = a 2 – x 2 , найдем

Найти отношение сторон треугольников

(Последнее написано на том основании, что числителя 4a 2 b 2 – (a 2 + b 2 – c 2 ) 2 можно рассматривать, как равность квадратов, которую разлагаем на произведение суммы на разность).

Найти отношение сторон треугольников

Эту формулу преобразовывают, вводя периметр треугольника, который обозначим чрез 2p, т. е.

Вычитая по 2c из обеих частей равенства, получим:

a + b + c – 2c = 2p – 2c или a + b – c = 2(p – c):

c + a – b = 2(p – b) и c – a + b = 2(p – a).

Найти отношение сторон треугольников

(p выражает полупериметр треугольника).
Этою формулою можно пользоваться для вычисления площади треугольника по трем его сторонам.

231. Упражнения.

  1. Основание равнобедренного треугольника равно 10 дм., а его площадь = 60 кв. дм. Найти (вычислить) его периметр.
  2. Параллельные стороны равнобочной трапеции равны 16 и 40 дм., а каждая из непараллельных сторон = 37 дм. Вычислить его площадь.
  3. Стороны трапеции равны: параллельные 15 и 36 дм., а непараллельные 13 и 20 дм. Вычислить их площадь.
  4. Сторона ромба и его меньшая диагональ одинаковы. Найти формулу для измерения площади такого ромба по его стороне.
  5. Катеты прямоугольного треугольника равны соответственно 6 и 8 дм. Найти отрезок гипотенузы, заключенный между биссектором прямого угла треугольника и высотою, опущенною из вершины прямого угла.
  6. Биссектор прямого угла прямоугольного треугольника делит гипотенузу на 2 отрезка, равные соответственно Найти отношение сторон треугольниковлин. един. Вычислить его площадь.
  7. Найти сторону квадрата, равновеликого равнобедренному треугольнику, боковая сторона которого = 12 ½ лин. един., а высота относится к основанию, как 2 : 3.
  8. Стороны параллелограмма равны a и b и один из его углов = 45°. Найти формулу для его площади.
  9. Угол параллелограмма = 30°; выразить его площадь чрез его стороны (a и b).

232. В п. 229 мы нашли зависимость между сторонами прямоугольного треугольника. Можно найти подобную же зависимость для сторон (с присоединением еще одного отрезка) косоугольного треугольника.

Найти отношение сторон треугольников

Пусть имеем сначала ∆ABC (чер. 228) такой, чтобы ∠A был острый. Постараемся найти выражение для квадрата стороны BC, лежащей против этого острого угла (подобно тому, как в п. 229 нашли выражение для квадрата гипотенузы).

Построив BD ⊥ AC, получим из прямоугольного треугольника BDC:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Заменим BD2, определяя его из ABD, откуда имеем:

BD 2 = AB 2 – AD 2 ,

а отрезок DC заменим чрез AC – AD (очевидно, что DC = AC – AD). Тогда получим:

BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC – AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 – 2AC · AD + AD 2

Выполнив приведение подобных членов, найдем:

BC 2 = AB 2 + AC 2 – 2AC · AD.

Эта формула читается: квадрат стороны треугольника, лежащей против острого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, минус удвоенное произведение одной из этих сторон на ее отрезок от вершины острого угла до высоты .

233. Пусть теперь ∠A и ∆ABC (чер. 229) тупой. Найдем выражение для квадрата стороны BC, лежащей против тупого угла.

Найти отношение сторон треугольников

Построив высоту BD — она теперь расположится несколько иначе: на 228 где ∠A острый, точки D и C располагаются по одну сторону от A, а здесь, где ∠A тупой, точки D и C расположатся по разные стороны от A. Тогда из прямоугольного ∆BDC получим:

BC 2 = BD 2 + DC 2

Мы можем BD2 заменить, определяя его из прямоугольного ∆BDA:

BD 2 = AB 2 – AD 2 ,

а отрезок DC = AC + AD, что очевидно. Заменяя, получим:

BC 2 = AB 2 – AD 2 + (AC + AD) 2 = AB 2 – AD 2 + AC 2 + 2AC · AD + AD 2

Выполняя приведение подобных членов найдем:

BC 2 = AB 2 + AC 2 + 2AC · AD,

т. е. квадрат стороны треугольника, лежащей против тупого угла, равен сумме квадратов двух его других сторон, плюс удвоенное произведение одной из них на ее отрезок от вершины тупого угла до высоты .
Эта формула, а равно и формула п. 232, допускают геометрическое истолкование, которое легко найти.

234. Пользуясь свойствами пп. 229, 232, 233, мы можем, если нам даны стороны треугольника в числах, узнать, есть ли у этого треугольника прямой или тупой угол.

Прямой или тупой угол в треугольнике может быть расположен лишь против большей стороны, каков же угол против нее, легко узнать: этот угол острый, прямой или тупой, смотря по тому, будет ли квадрат большей стороны меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Узнать, имеется ли прямой или тупой угол в следующих треугольниках, определяемых своими сторонами:

1) 15 дм., 13 дм. и 14 дм.; 2) 20, 29 и 21; 3) 11, 8 и 13; 4) 7, 11 и 15.

235. Пусть имеем параллелограмм ABCD (чер. 230); построим его диагонали AC и BD и его высоты BK ⊥ AD и CL ⊥ AD.

Найти отношение сторон треугольников

Тогда, если ∠A (∠BAD) острый, то ∠D (∠ADC) непременно тупой (ибо их сумма = 2d). Из ∆ABD, где ∠A считаем острым, имеем:

BD 2 = AB 2 + AD 2 – 2AD · AK,

а из ∆ACD, где ∠D тупой, имеем:

AC 2 = AD 2 + CD 2 + 2AD · DL.

Заменим в последней формуле отрезок AD равным ему отрезком BC и DL равным ему AK (DL = AK, ибо ∆ABK = ∆DCL, в чем легко убедиться). Тогда получим:

AC2 = BC2 + CD2 + 2AD · AK.

Сложив выражение для BD2 с последним выражением для AC 2 , найдем:

BD 2 + AC 2 = AB 2 + AD 2 + BC 2 + CD 2 ,

так как члены –2AD · AK и +2AD · AK взаимно уничтожаются. Полученное равенство можем прочитать:

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

236. Вычисление медианы и биссектора треугольника по его сторонам . Пусть в треугольнике ABC (чер. 231) построена медиана BM (т. е. AM = MC). Зная стороны ∆ABC: BC = a, AC = b и AB = c, вычислить медиану BM.

Найти отношение сторон треугольников

Продолжим BM и отложим отрезок MD = BM. Соединив D с A и D с C, получим параллелограмм ABCD (выяснить это легко, так как ∆AMD = ∆BMC и ∆AMB = ∆DMC).

Называя медиану BM чрез m, получим BD = 2m и тогда, пользуясь предыдущим п., имеем:

Найти отношение сторон треугольников

237. Вычисление радиуса, описанного около треугольника круга. Пусть около ∆ABC (чер. 233) описан круг O. Построим диаметр круга BD, хорду AD и высоту треугольника BH.

Найти отношение сторон треугольников

∆BCH (∠A = ∠H = d — угол A прямой, потому что он вписанный, опирающийся на диаметр BD и ∠D = ∠C, как вписанные, опирающиеся на одну дугу AB). Поэтому имеем:

или, называя радиус OB чрез R, высоту BH чрез h и стороны AB и BC, как и раньше, соответственно чрез c и a:

но площадь ∆ABC = Q = bh/2, откуда h = 2Q/b.

Следовательно, R = (abc) / (4Q).

Мы умеем (п. 230 зад. 3) вычислять площадь треугольника Q по его сторонам. Отсюда можем вычислить R по трем сторонам треугольника.

238. Вычисление радиуса вписанного в треугольник круга. Впишем в ∆ABC, стороны которого даны (чер. 234), круг O. Соединив его центр O с вершинами треугольника и с точками касания D, E и F сторон к кругу, найдем, что радиусы круга OD, OE и OF служат высотами треугольников BOC, COA и AOB.

Называя радиус вписанного круга чрез r, имеем:

Содержание
  1. Треугольник. Соотношения между углами и сторонами треугольника.
  2. Треугольник. Формулы и свойства треугольников.
  3. Типы треугольников
  4. По величине углов
  5. По числу равных сторон
  6. Вершины углы и стороны треугольника
  7. Свойства углов и сторон треугольника
  8. Теорема синусов
  9. Теорема косинусов
  10. Теорема о проекциях
  11. Формулы для вычисления длин сторон треугольника
  12. Медианы треугольника
  13. Свойства медиан треугольника:
  14. Формулы медиан треугольника
  15. Биссектрисы треугольника
  16. Свойства биссектрис треугольника:
  17. Формулы биссектрис треугольника
  18. Высоты треугольника
  19. Свойства высот треугольника
  20. Формулы высот треугольника
  21. Окружность вписанная в треугольник
  22. Свойства окружности вписанной в треугольник
  23. Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник
  24. Окружность описанная вокруг треугольника
  25. Свойства окружности описанной вокруг треугольника
  26. Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника
  27. Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника
  28. Средняя линия треугольника
  29. Свойства средней линии треугольника
  30. Периметр треугольника
  31. Формулы площади треугольника
  32. Формула Герона
  33. Равенство треугольников
  34. Признаки равенства треугольников
  35. Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними
  36. Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам
  37. Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам
  38. Подобие треугольников
  39. Признаки подобия треугольников
  40. Первый признак подобия треугольников
  41. Второй признак подобия треугольников
  42. Третий признак подобия треугольников
  43. 📽️ Видео

Видео:Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать

Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.

Треугольник. Соотношения между углами и сторонами треугольника.

Теорема.

Если любую сторону треугольника продолжить в одном направлении, то образовавшийся при этом внешний угол больше каждого внутреннего угла, не смежного с ним.

Следствие из теоремы.

Если в треугольнике один из углов прямой или тупой, то два других угла будут острые.

Теорема. В любом треугольнике:

1. Напротив равных сторон расположены одинаковые углы.

2. Напротив большей стороны расположен больший угол.

Следствия из теоремы.

2. В разностороннем треугольнике одинаковых углов нет.

Обратные теоремы. В каждом треугольнике:

1. Напротив одинаковых углов расположены одинаковые стороны.

2. Напротив большего угла расположена большая сторона.

Следствия

1. Равноугольный треугольник является и равносторонним.

2. В треугольнике сторона, расположенная напротив тупого или прямого угла, больше других сторон.

Видео:Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про соотношение сторон. Геометрия 7 класс.

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Типы треугольников

По величине углов

Найти отношение сторон треугольников

Найти отношение сторон треугольников

Найти отношение сторон треугольников

По числу равных сторон

Найти отношение сторон треугольников

Найти отношение сторон треугольников

Найти отношение сторон треугольников

Видео:Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a=b=c= 2R
sin αsin βsin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 — 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 — 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 — 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Видео:ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | МатематикаСкачать

ТЕОРЕМА СИНУСОВ И ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ. Тригонометрия | Математика

Медианы треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

ma = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 — a 2

mb = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 — b 2

mc = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 — c 2

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Биссектрисы треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

la = 2√ bcp ( p — a ) b + c

lb = 2√ acp ( p — b ) a + c

lc = 2√ abp ( p — c ) a + b

где p = a + b + c 2 — полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

la = 2 bc cos α 2 b + c

lb = 2 ac cos β 2 a + c

lc = 2 ab cos γ 2 a + b

Видео:Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.Скачать

Математика | Соотношения между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике.

Высоты треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

ha = b sin γ = c sin β

hb = c sin α = a sin γ

hc = a sin β = b sin α

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

9 класс, 15 урок, Решение треугольников

Окружность вписанная в треугольник

Найти отношение сторон треугольников

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b — c )( b + c — a )( c + a — b ) 4( a + b + c )

Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Окружность описанная вокруг треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Видео:Геометрия. 7 класс. Задача на отношение сторон треугольникаСкачать

Геометрия. 7 класс. Задача на отношение сторон треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

Найти отношение сторон треугольников

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Видео:7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Периметр треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

Формулы площади треугольника

Найти отношение сторон треугольников

Формула Герона

S =a · b · с
4R

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Видео:8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

Подобие треугольников

Найти отношение сторон треугольников

∆MNK => α = α 1, β = β 1, γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k — коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

📽️ Видео

6 класс, 20 урок, ОтношенияСкачать

6 класс, 20 урок, Отношения

Соотношение сторон треугольника 30-60-90 (доказательство)Скачать

Соотношение сторон треугольника 30-60-90 (доказательство)

Отношение площадей треугольников с равным угломСкачать

Отношение площадей треугольников с равным углом

Подобные треугольники. Отношение периметров.Скачать

Подобные треугольники. Отношение периметров.

№543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равноСкачать

№543. Докажите, что отношение сходственных сторон подобных треугольников равно
Поделиться или сохранить к себе: