Найти недостающие элементы треугольника (2 видео)

Как решать задачи на нахождение недостающих элементов треугольника?

Думаю, каждый человек знает, что такое треугольник, поэтому еще раз объяснять не буду. В сегодняшней статье мы рассмотрим основные задачи на треугольники, которые наиболее часто встречаются в первой части ГИА и ЕГЭ по математике и требуют найти неизвестный элемент – чаще всего сторону или угол. Сложные задачи раскладывайте на более простые и решайте.

Содержание

Инструкция
1 шаг
2 шаг
3 шаг
4 шаг
Решение треугольников онлайн
Решение треугольника по трем сторонам
Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними
Решение треугольника по стороне и любым двум углам
Решение задач по математике онлайн
Калькулятор онлайн. Решение треугольников.
📹 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Инструкция

1 шаг

1. Как найти угол треугольника?
В треугольнике сумма всех углов равна 180 градусам. Соответственно, чтобы найти неизвестный угол треугольника, нужно от 180 отнять градусные меры двух известных углов.
Например, найдите угол треугольника, если один из его углов равен 20 градусам, другой – 50 градусам.
Решение: 180-20-50=110.
Внешний угол треугольника равен разности между 180 градусами и градусной мерой угла треугольника.
Например: найдите угол Б треугольника АБС, если угол А равен 15 градусам, а внешний угол при вершине С равен 100 градусам.
Решение:
1) Угол С =180-100=80
2) Угол Б = 180-80-15=85
В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам (180/3=60)
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, а если равнобедренный треугольник к тому же и прямоугольный, то два углы при основании равны 45 градусам ((180-90)/2=45).

2 шаг

Задачи на стороны.
В экзамене чаще всего попадается четыре вида таких задач, в них используется три свойства:
1) в равнобедренном треугольнике боковые стороны равны.
2) в равностороннем треугольнике все стороны равны.
3) свойство египетского треугольника (прямоугольный треугольник со сторонами 3, 4, 5).
Есть также задачи на теорему Пифагора.
Примеры:
1) одна из боковых сторон равнобедренного треугольника равна 5, основание равно 10. Найдите неизвестную сторону.
Решение: неизвестна боковая сторона. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, значит, неизвестная сторона равна 5. (остальные данные – лишние, даются для того, чтобы запутать экзаменуемого).
2) В треугольнике АБС стороны АБ и БС равны, а угол между ними равен 60 градусам. Сторона АБ равна 8, найдите две другие стороны.
Решение: Если две стороны равны, то треугольник равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Найдем один из углов при основании: (180-60)/2=60. Если все углы треугольника равны, то треугольник равносторонний. Значит, все стороны равны 8.
3) В прямоугольном треугольнике одна из сторон равна 3, другая четырем, найдите недостающую сторону.
Решение: Если треугольник прямоугольный, две его стороны равны 3 и 4, то третья сторона равна 5 по правилу египетских треугольников.
4) В прямоугольном треугольнике два катета равны 10 и 5. Найдите гипотенузу.
Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Гипотенуза в квадрате равна 100-25=75. Гипотензуза равна корню из 75 (такой ответ допустим на экзамене.)

3 шаг

Стоит также знать прямые, чтобы с их помощью решить задачи на нахождение углов или сторон.
Запомнить легко – медиана проводится из угла к середине противоположной стороны, высота проводится под прямым углом, биссектриса делит угол, из которого выходит, пополам.

4 шаг

Это все. Если вы знаете проблемные задачи – пишите в комментарии, попробуем разобрать.

Видео:9 класс, 15 урок, Решение треугольниковСкачать

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

Три стороны треугольника.
Две стороны треугольника и угол между ними.
Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Построение недостающей проекции плоскости. Принадлежность прямой к плоскостиСкачать

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

И, наконец, находим угол C:

Видео:Пересечение двух плоскостей. Плоскости в виде треугольникаСкачать

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Далее, из формулы

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Из формулы (3) найдем cosA:

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Видео:2 3 проекция точки на конусеСкачать

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Найдите сторону треугольника на рисункеСкачать

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Калькулятор онлайн.
Решение треугольников.

Решением треугольника называется нахождение всех его шести элементов (т.е. трех сторон и трех углов) по каким-нибудь трем данным элементам, определяющим треугольник.

Эта математическая программа находит сторону ( c ), углы ( alpha ) и ( beta ) по заданным пользователем сторонам ( a, b ) и углу между ними ( gamma )

Программа не только даёт ответ задачи, но и отображает процесс нахождения решения.

Этот калькулятор онлайн может быть полезен учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вы не знакомы с правилами ввода чисел, рекомендуем с ними ознакомиться.

Введите стороны ( a, b ) и угол между ними ( gamma ) Решить треугольник