Сумма углов треугольника:
Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.
Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.
Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.
Дано: 
АВС (рис. 220).
Доказать: 
A+
B +
C = 180°.
Доказательство:
Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда 
KBA =
A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, a
MBC =
C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то
KBA +
ABC +MBC = 180°. ОтсюдаA +B +C = 180°. Теорема доказана.
Следствия.
1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).
2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).
В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).
Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, то
1 =
2.
Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».
Пример:
В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).
Решение:
Пусть 
( 
— градусная мера одной части).
Так как сумма углов треугольника равна 180°, то
Тогда 
Ответ: 
Пример:
В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.
Решение:
Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то
Из треугольника АОС находим: 
Замечание. Если 
то, рассуждая аналогично, получим формулу: 
Если, например, 
Пример:
Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.
Доказательство:
Пусть СМ — медиана, 
(рис. 226).
Докажем, что
ACB = 90°. Обозначим 
A = 
,
В = 
. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = 
АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как 
АМС — равнобедренный, тоA =ACM = как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, СМВ — равнобедренный и B =BCM = . Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 + 2, с другой — равна 180°. Отсюда 2 + 2 = 180°, 2( + ) = 180°, + = 90°. НоACB = + , поэтому
ACB = 90°.
Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».
Пример:
Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
Доказательство:
Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) C=90°,A=
,B=
.
Проведем отрезок СМ так, чтоACM=, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aBCM дополняетACM до 90°. Поскольку ACM =A = , тоBCM =. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = АВ.
| Рекомендую подробно изучить предметы: |
|
| Ещё лекции с примерами решения и объяснением: |
- Внешний угол треугольника
- Свойство точек биссектрисы угла
- Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
- Четырехугольник и его элементы
- Перпендикулярные прямые в геометрии
- Признаки равенства треугольников
- Признаки равенства прямоугольных треугольников
- Соотношения в прямоугольном треугольнике
При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org
Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи
Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей
Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.
Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.
Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать
Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно получить формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Для получения формулы выберите нужную тригонометрическую функцию, нажав на «sin», выберите нужный аргумент, нажав на аргумент в формуле. В результате получится формула для этой функции и аргумента. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Видео:Как найти величины углов всех треугольников. Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать
Формулы суммы и разности углов тригонометрических функций − теория, доказательство, примеры
Выведем формулы суммы и разности углов тригонометрических функций. Начнем с формулы
 | (1) |
Как мы знаем, угол между векторами не может быть больше 180° (π). На рисунке Рис.1 угол между векторами 
и 
равен 
. На рисунке Рис.2 угол между векторами и равен 
.
  |
Рассмотрим, теперь косинусы этих углов. Из формул приведения мы знаем (подпрбнее о формулах приведения смотрите на странице Формулы приведения тригонометрических функций онлайн):
 |
Cкалярное произведение векторов и равно:
  | (2) |
Так как точка имеет координаты 
, а имеет координаты 
(смотрите статью на странице Синус и косинус. Онлайн калькулятор), то скалярное произведения векторов и по координатам равно:
  | (3) |
Поскольку левые части формул (2) и (3) равны, то равны и правые части этих формул. Следовательно выполнено равенство (1).
Докажем, далее, справедливость следующей формулы
  | (4) |
Представим косинус суммы углов α и β в виде косинуса разности двух углов и воспользуемся формулой (1) и тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:
   |
Перейдем к доказательству формул синусов суммы и разности углов:
  | (5) |
  | (6) |
Для доказательства формулы (5) воспользуемся формулами приведения тригонометрических функций и формулой (1):
     . |
Для доказательства формулы (6), представим разность углов в виде суммы и воспользуемся тем, что косинус четная функция а синус нечетная функция:
   . |
Формулы тангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:
 | (7) |
 | (8) |
Докажем формулу (7):
  | (9) |
Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (9) на 
(
, 
):
   |
Для доказательства формулы (9) представим разность углов в виде суммы, воспользуемся формулой (8) и учтем, что тангенс нечетная функция:
  |
Формулы котангенса суммы и разности углов имееют следующий вид:
 | (10) |
 | (11) |
Докажем формулу (10):
  | (12) |
Разделим числитель и знаменатель дроби в правой части уравнения (12) на 
(
, 
):
   |
Для доказательства формулы (11), представим разность углов α и β в виде суммы и учтем, что котангенс нечетная функция:
   | (13) |
Умножив числитель и знаменатель в правой части уравнения (13) на −1, получим формулу (11).
Примеры использования формул суммы и разности углов тригонометрических функций
Пример 1. Найти точное значение 
.
   |
 |
Пример 2. Найти косинус для угла 15°.
   |
 |
Пример 3. Найти точное значение тангенса для угла 15° .
  . | (14) |
Тангенсы для углов 45° и 15° известны. Подставим эти значения в (14):
  . | (15) |
Дробь в правой части уравнения (15) можно упростить, умножив числитель и знаменатель дроби на 
:
Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать
Сумма углов треугольника
Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.
Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.
Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.
На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.
Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.
Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.
📸 Видео
Соотношения между сторонами и углами треугольника. 7 класс.Скачать
Геометрия за 6 минут — Сумма углов треугольника и Внешний УголСкачать
Теперь ты будешь находить углы за секунды. Как найти внешний угол треугольника? #математика #углыСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать
ПОЧЕМУ СУММА УГЛОВ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ РАВНА 180? #shorts #геометрия #егэ #огэ #треугольникСкачать
Внешний угол треугольникаСкачать
Геометрия 7 класс. Сумма углов треугольникаСкачать
Сумма углов треугольникаСкачать
Сумма углов треугольникаСкачать
Нашли разность углов а и b по рисунку? Нет...смотрите как это сделатьСкачать
КАК ИЗМЕРИТЬ УГЛЫ ТРЕУГОЛЬНИКА ТРАНСПОРТИРОМ? Примеры | МАТЕМАТИКА 5 классСкачать
Что такое угол? Виды углов: прямой, острый, тупой, развернутый уголСкачать
Задачи по рисункам. Найти углы треугольника АВС. Сумма углов треугольника.Скачать
СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА. §16 геометрия 7 классСкачать
Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать
Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать
Разность смежных углов №4Скачать
