Найти наименьшую площадь треугольника

Как найти площадь треугольника – все способы от самых простых до самых сложных

Зависит от того, какой треугольник.

Найти наименьшую площадь треугольника

Чтобы найти площадь треугольника, надо сначала определить тип треугольника: прямоугольный, равнобедренный, равносторонний. Если он у вас не такой – отталкивайтесь от других данных: высоты, вписанной или описанной окружности, длин сторон. Привожу все формулы ниже.

Видео:Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадьСкачать

Как найти площадь треугольника? #треугольник #математика #егэ #shorts #подготовкакегэ #огэ #площадь

Если треугольник прямоугольный

То есть один из его углов равен 90 градусам.

Надо перемножить катеты и поделить на два. Катеты – это две меньшие стороны, в сравнении с гипотенузой. Гипотенуза – это самая длинная сторона, она всегда находится напротив угла в 90 градусов.

Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать

Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?

Если он равнобедренный

То есть у него равны боковые стороны. В таком случае надо провести высоту к основанию (той стороне, которая не равна «бедрам»), перемножить высоту с основанием и поделить результат на два.

Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Как найти площадь треугольника без формулы?Скачать

Как найти площадь треугольника без формулы?

Если он равносторонний

То есть все три стороны равны. Ваши действия такие:

  1. Найдите квадрат стороны – умножьте эту сторону на нее же. Если у вас сторона равна 4, умножьте 4 на 4, будет 16.
  2. Умножьте полученное значение на корень из 3. Это примерно 1,732050807568877293527.
  3. Поделите все на 4.

Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Геометрия Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см 20 см и 21 смСкачать

Геометрия Найдите наименьшую высоту треугольника со сторонами 13 см 20 см и 21 см

Если известна сторона и высота

Площадь любого треугольника равна половине произведения стороны на высоту, которая к этой стороне проведена. Именно к этой, а не к какой-то другой.

Найти наименьшую площадь треугольника

Чтобы провести высоту к стороне, надо найти вершину (угол), которая противоположна этой стороне, а потом опустить из нее на сторону прямую линию под углом в 90 градусов. На картинке высота обозначена синим цветом и буквой h, а линия, на которую она опускается, красным цветом и буквой a.

Видео:Найти наименьшую гимпотенузу. Только для взрослых. 16+Скачать

Найти наименьшую гимпотенузу. Только для взрослых. 16+

Если известны две стороны и градус угла между ними

Если вы знаете, чему равны две стороны и угол между ними, то надо найти синус этого угла, умножить его на первую сторону, умножить на вторую и еще умножить на ½:

Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭСкачать

Площади фигур - треугольника, параллелограмма, трапеции, ромба. Формула Пика и ЕГЭ

Если известны длины трех сторон

  1. Найдите периметр. Для этого сложите все три стороны.
  2. Найдите полупериметр – разделите периметр на два. Запомните значение.
  3. Отнимите от полупериметра длину первой стороны. Запомните.
  4. Отнимите от полупериметра длину второй стороны. Тоже запомните.
  5. Отнимите от полупериметра длину третьей стороны. И ее запомните.
  6. Умножьте полупериметр на каждое из этих чисел (разницу с первой, второй и третьей стороной).
  7. Найдите квадратный корень.

Найти наименьшую площадь треугольника

Эта формула еще называется формулой Герона. Возьмите на заметку, если вдруг учитель спросит.

Видео:9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольникаСкачать

9 класс, 12 урок, Теорема о площади треугольника

Если известны три стороны и радиус описанной окружности

Окружность вы можете описать вокруг любого треугольника. Чтобы найти площадь «вписанного» треугольника – того, который «вписался» в окружность, надо перемножить три его стороны и поделить их на четыре радиуса. Смотрите картинку.

Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

Если известны три стороны и радиус вписанной окружности

Если вам удалось вписать в треугольник окружность, значит она обязательно касается каждой из его сторон. Следовательно, расстояние от центра окружности до каждой из сторон треугольника – ее радиус.

Чтобы найти площадь, посчитайте сначала полупериметр – сложите все стороны и поделите на два. А потом умножьте его на радиус.

Найти наименьшую площадь треугольника

Это были все способы найти площадь треугольника. Спасибо, что дочитали статью до конца. Лайкните, если не трудно.

Видео:Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольникаСкачать

Высшая математика. 3 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление площади треугольника

Найти наименьшую площадь треугольника

Найти наименьшую площадь треугольника
треугольник считается описаным вокруг эллипса если что выполнено
эллипс касается трех сторон так?

гм наверно надо пинать тот вариант что не очень хорошо получается

Может с некоторым опозданием, но меня посетила следующая мысль.

Начало, как и говорилось выше, это замена, связанная с растяжением/сжатием по осям. при этом касательные перейдут в касательные, а площадь измениться пропорционально коэффициентам растяжения/сжатия.

И вот дальше возникшая мысль о используемых переменных задачи.
Мы имеем треугольник, в который вписана единичная окружность. Рассмотрим в качестве переменных — углы при основании.

рисунок. Найти наименьшую площадь треугольника

Поскольку центр вписанной окружности лежит на биссектрисах, то мы легко выражаем части сторон треугольника от вершины до основания радиуса через углы. с учётом того, что радиус равен 1.
`AF = AD = ctg(phi), CF = CE = ctg(psi), BD = BE = ctg(pi/2 — phi — psi) = tg(phi + psi)`

Следовательно, `S_ = p*r = ctg(phi) + ctg(psi) + tg(phi + psi)` . и условия на углы `phi >= 0, psi >= 0, phi + psi

Ну, вот . вроде обозримая задача получилась.

Видео:Задача найти площади треугольников при пересечении медианСкачать

Задача найти площади треугольников при пересечении медиан

Площадь треугольника онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти площадь треугольника. Для нахождения площади треугольника введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите ниже.

Видео:✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис ТрушинСкачать

✓ Новая формула площади треугольника | Ботай со мной #108 | Борис Трушин

Площадь треугольника по основанию и высоте

Любой из сторон треугольника можно называть основанием треугольника. Если основание выбрана, то под словом «высота» понимают высоту треугольника, проведенную к основанию (Рис.1):

Найти наименьшую площадь треугольника

Теорема 1. Площадь треугольника равна половине произведения его основания на высоту.

Доказательство. Пусть AC основание треугольника ABC (Рис.2).

Найти наименьшую площадь треугольника

Проведем высоту BH. Обозначим через S площадь треугольника. Докажем, что

( small S= frac cdot AC cdot BH. )

Из вершины B проведем прямую, параллельную стороне AC, а из C − прямую, параллельную стороне AB. Поскольку ( small AC || BD ) и ( small AB || CD ), то ABDC является параллелограммой и, следовательно, ( small AC = BD ), ( small AB = CD . ) Тогда треугольники ABC и BCD равны по трем сторонам (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников). Так как площадь параллелограмма ABDC равна ( small S_=AC cdot BH, ) то площадь треугольника ABCBCD)равна половине площади параллелограмма:

Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника

Следствие 1. Если высоты треугольников равны, то их площади относятся как основания.

Найти наименьшую площадь треугольника,
Найти наименьшую площадь треугольника,

Обозначим через k отношение

( small k= frac . )
Найти наименьшую площадь треугольника.

То есть отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований.Найти наименьшую площадь треугольника

Следствие 2. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Действительно. Поскольку в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны друг другу, то один из них можно определить как основание, а другой − как высоту. Тогда по теореме 1, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Как найти площадь треугольникаСкачать

Как найти площадь треугольника

Площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними

Теорема 2. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

Доказательство. Обозначим через S площадь треугольника ABC и пусть a=BC, b=AC (Рис.3). Докажем, что

Найти наименьшую площадь треугольника.
Найти наименьшую площадь треугольника

Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле, полученной выше (теорема 1):

Найти наименьшую площадь треугольника,(1)

где h − высота треугольника.

Найти наименьшую площадь треугольника,
Найти наименьшую площадь треугольника(2)

Подставляя (2) в (1), получим:

Найти наименьшую площадь треугольника
Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника(3)

Видео:Задача из КембриджаСкачать

Задача из Кембриджа

Площадь треугольника по стороне и прилежащим двум углам

Пусть известна сторона треугольника и две прилежащие углы (Рис.4).

Найти наименьшую площадь треугольника

Найдем формулу площади этого треугольника. Обозначим через S площадь треугольника. Если у треугольника известны два угла, то можно найти и третий угол:

Найти наименьшую площадь треугольника(4)

Найдем сторону b используя теорему синусов:

Найти наименьшую площадь треугольника,
Найти наименьшую площадь треугольника.(5)

В предыдующем параграфе мы вывели площадь треугольника по двум сторонам и углу между ними. Подставляя (4) и (5) в (3), получим:

Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника.
Найти наименьшую площадь треугольника.(6)

Видео:Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?Скачать

Площадь прямоугольного треугольника. Как найти площадь прямоугольного треугольника?

Площадь треугольника по трем сторонам. Формула Герона

Для нахождения площади треугольника по трем сторонам используют формулу Герона:

Найти наименьшую площадь треугольника,(7)

где a, b, c − стороны треугольника, а p − полупериод треугольника:

Найти наименьшую площадь треугольника.
Найти наименьшую площадь треугольника

Доказательство формулы Герона. На рисунке 5 треугольник ABC имеет стороны a=BC, b=AC, c=AB. Проведем высоту h=AH. Обозначим x=CH. Тогда BH=a−x. Применим теорему Пифагора для треугольников AHC и AHB:

Найти наименьшую площадь треугольника(8)
Найти наименьшую площадь треугольника(9)

Из (8) и (9) следует:

Найти наименьшую площадь треугольника

Откуда находим x:

Найти наименьшую площадь треугольника,
Найти наименьшую площадь треугольника(10)

Подставляя (10) в (8) найдем h:

Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника(11)

Тогда площадь треугольника равна:

Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника(12)

Преобразовав (12) получим формулу (7):

Найти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольникаНайти наименьшую площадь треугольника.Найти наименьшую площадь треугольника

Видео:Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора | Геометрия | АлгебраСкачать

Нахождение площади равнобедренного треугольника при помощи теоремы Пифагора  |  Геометрия | Алгебра

Площадь треугольника по трем сторонам и радусу описанной окружности

Пусть известны все три стороны треугольника и радиус описанной окружности (Рис.6). Докажем, что площадь треугольника равна: ( small S=frac. )

📺 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№10 - Площадь треугольника.)

Треугольник наименьшего периметра и наименьшей площади, содержащей две окружностиСкачать

Треугольник наименьшего периметра и наименьшей площади, содержащей две окружности

18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКАСкачать

18 ЗАДАНИЕ ОГЭ НАЙТИ ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункамСкачать

Найти площадь треугольника АВС. Задачи по рисункам

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)
Поделиться или сохранить к себе: