Найти массу дуги окружности если плотность дуги (3 видео)

Электронная библиотека

Вычисление интеграла (1.4) и (1.5) сводится к определенному. Пусть, например, кривая К задана уравнениями: x = x(t), y = y(t), z = z(t), , тогда длина элементарной дуги , интеграл (1.4) выражается определенным интегралом:

Если, в частности, кривая К имеет явное задание y = y(x) , то

Из соотношения (1.7) и (1.8) следует, что криволинейный интеграл первого рода существует, если f – непрерывная функция на К.

Вычислить по длине плоской кривой y = ln x при .

Решение. Используем формулу (1.8), найдем, что и

Найти массу полуокружности x 2 + y 2 = 1, , если линейная плотность её в текущей точке M(x,y) пропорциональна ординате y.

Решение. За параметр возьмем величину угла t, тогда параметрическое уравнение линии К: x=cos t, y=sin t .

Элементарная масса dm = ky dl, т.е. тогда по формуле (1.7):

Решение. По формуле (1.7) имеем:

Задачи для упражнений

1) Найти , если К – дуга параболы , лежащая между и . Ответ: .

4) Определить массу окружности x 2 + y 2 = R 2 , если плотность её в точке М(х, у) равна: . Ответ: .

5) Определить координаты центра тяжести С(х₀, у₀) однородной полуокружности К: .

Указание. В механике доказано, что координаты центра тяжести однородной кривой К задаются формулами:

где L – длина дуги кривой К. Ответ: .

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Содержание

Формула Грина. Площадь плоской области. Масса кривой
Как найти массу дуги окружности
Как найти массу дуги окружности
Электронная библиотека
Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
🔥 Видео

Видео:Найдите массу дуги окружности ➜ Физический смысл криволинейного интеграла 1-го рода (по длине дуги)Скачать

Формула Грина. Площадь плоской области. Масса кривой

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Выведем формулу Грина, связывающую криволинейный интеграл по границе L некоторой плоской области D с двойным интегралом по этой области. Теорема 3. Если в замкнутой области D, ограниченной кусочно-гладким контуром L, функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывны и имеют непрерывные частные производные ^ и то справедливо равенство <формула Грина): есь символ § означает интегрирование по границе L области D, причем граница L проходится так, что область D остается слева (рис. 7).

Граница L плоской области D может состоять из одной или нескольких простых замкнутых кривых (компонент). В первом случае она называется односвязной, а во втором — многосвязной. Если граница L состоит из конечного числа кусочно-гладких замкнутых кривых L,-, то кривые Li называются связными компонентами границы. На рис. 8 изображена трехсвязная область.

Односвязная область D (область «без дырок») обладаеттем свойством, чтолюбая лежащая в ней замкнутая кривая может быть стянута в точку Р G D, оставаясь в процессе стягивания в области D. Доказательство теоремы проведем для односвязной области. М В силу свойства линейности достаточно доказать, что Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой Площадь цилиндрической поверхности Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой Докажем первую из этих формул.

Предположим сначала, что кривая L пересекается каждой прямой, параллельной оси Оу, не более чем в двух точках или по целому отрезку (рис. 9). Если каждая такая прямая пересекает кривую L не более чем в двух точках, то кривую L можно разбить на две части L и Ь2 (верхнюю и нижнюю), каждая из которых проектируется взаимно однозначно на некоторый отрезок [а, Ь оси Ох.

Всилуаддитивности криволинейного интеграла имеем На каждой из кривых L и Li возьмем в качестве параметра абсциссу х и запишем уравнения этих кривых сояветстве нно в виде Тогда По предположению производная непрерывна в D, и значит, в силу известной формулы интегрального исчисления, приращение функции можно записать через интеграл от производной этой функции: Из формул получаем Повторный интеграл в правой части последнего соотношения равен двойному инте-фалу от функции ^ по области D, так что окончательно имеем Формула (2) доказана.

Соотношение (3) доказывается аналогично. Складывая почленно соотношения (2) и (3), получаем формулу Грина (1). Отметим, что формула Грина имеет место и для более сложных контуров L, и для неодносвязных областей D. Рассмотрим, например, случай двухсвязной области (рис. 10). Сделаем разрез А В этой области, превращающий ее в односвязную. Тогда Отсюда, учитывая, что получим где интегрирование по кривой L ведется в направлении против движения часовой стрелки, а по кривой Ь2 — в направлении движения часовой стрелки.

Отметим, что при этом кривые L и Ь2 проходятся так, что область D остается слева. Такое направление обхода контура принимается за положительное. Площадь плоской области Возьмем Тогда по формуле Грина (1) получаем где 5 — площадь области D. Отсюда получаем формулу для вычисления площади 5 плоской области D с помощью криволинейного интеграла по границе L этой области: (7) Прммр. Вычислить площадь области, ограниченной эллипсом L: Запишем уравнение эллипса в параметрической форме .

Искомая площадь находится по формуле (7), где криволинейный интеграл берется по эллипсу при обходе контура в положительном направлении, что соответствует изменен ик> параметра t от 0 до 2я. Так как то отсюда получаем, что Замечание. Пусть в пространстве задана ориентированная кусочно-гладкая кривая AD и пусть, кроме того, в некоторой области П, содержащей кривую AD, задана вектор-функция — непрерывные в О функции.

Аналогично плоскому случаю криволинейный интеграл от вектор-функции F по ориентированной кривой АВ определим выражением Масса кривой В примере 1 из § 1 было показано, что масса кривой L вычисляется с помощью интеграла 1-го рода где /(М) — переменная линейная плотность на кривой L. (Мы предполагаем, что f(M) — непрерывная фунмция на АВ.) 4.2. Площадь цилиндрической поверхности Пусть в плоскости хОу задана некоторая спрямляемая (т. е. имеющая длину) кривая АВ и на этой кривой определена непрерывная функция f(M) ^ 0.

Тогда совокупность точек (х, у, f(x, у)), или (М, /(М)), составит некоторую кривую, лежащую на цилиндрической поверхности, для которой кривая АВ является направляющей, а ее образующая параллельна оси Oz.

Требуется определить площадь цилиндрической поверхности ABDC, о»раниченной снизу кривой АВУ сверху — кривой z — f(M), где М € АВ, и вертикальными прямыми АС и BD (рис. 11). Для решения этой задачи поступим так: 1) разобьем кривую АВ на п частей точками так, как показано на рис. 11; 2) из каждой точки Мк проведем перпендикуляр к плоскости хОу высотой f(Mk) (при этом цилиндрическая поверхность А В DC разобьется на п полосок);

3) кажаую полоску заменим прямоугольником с основанием — длина дуги МкМк+, и высотой, равной значению функции /(М) в какой-нибудь точке этой дуги, например, в точке Мк. Тогда площадь fc-ой полоски будет приближенно равна. а площадь всей поверхности ABDC Это приближенное равенство будет тем точнее, чем мельче будут частичные дуги , на которые разбита кривая АВ. Пусть Д/ — наибольшая из длин А1к частичных .цт .

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Тогда при 0 в пределе получим точное значение искомой площади Предел справа по определению есть криволинейный интеграл первого рода от функции /(Af) по кривой АВ. Итак, (2) Пример 1. Вычислить площадь части боковой поверхности цилиндра срезанного сверху поверхностью Сведем задачу к вычислению криволинейного интеграла t-ro рода от функции вдоль дуги окружности, расположенной в первой четверти. Будем иметь Параметрические уравнения линии Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой.

Площадь цилиндрической поверхности Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой Площадь плоской фигуры Ранее мы установили, что площадь 5 плоской фигуры D, ограниченной линией L, вычисляется по формуле Правая часть есть криволинейный интеграл 2-го рода. 4.4. Работа силы Пусть в некоторой плоской области D, содержащей кривую АВУ задана сила где функции , а следовательно, и F(М) предполагаются непрерывными функциями точки ЛГ.

Требуется найти работу силы F, если под действием этой силы материальная точка М, имеющая единичную массу, переместилась из точки А в точку В по кривой АВ. Для решения этой задачи разделим кривую АВ на п частей точками (рис. 12), заменим каждую дугу хордой , предполагая для простоты , что на участке кривой (а значит, и на хорде сила Ffc имеет постоянное значение, например, равное ее значению в точке получим приближенное выражение работы силы на участке пути где — длина вектора — длина вектора.

Из формулы (4) с учетом (5) получим или Так как правая частьформулы (6) есть скалярное произведение векторов то, учитывая (7) и (8), будем иметь Суммируя по всем значениям , получим величину принимают за точное значение работы. Но с другой стороны, предел этой суммы есть криволинейный интеграл 2-го рода от вектор-функции F(M) по кривой АВ.

Итак, работа силы вычисляется по формуле Рис. 12 ( Пример 2. Найти работу силы при перемещении единичной массы по параболе 4 Применим формулу (9), положив в ней Так как то искомую работу можо вычислить так: Обобщение на случай пространственной кривой (рис. 14). Если в некоторой пространственной области П, содержащей пространственную кривую АВ, задана сила — непрерывные функции в области П, то рабога, совершаемая силой F(M) по перемещению материальной точки М с единичной массой из точки А в точку В по пространственной кривой АВ, равна Упражнения.

Вычислите криволинейные интегралы 1-го рода: 1. — четверть элл ипса ^ + = 1, л ежащая в первом квадранте. — окружность — отрезок прямой, соединяющий точки отреэо к прямой, соединяющий точки (— дуга параболы у2 = 2х от точки (0,0) до точки (I, первый виток винтовой линии Найдите длину дуги конической винтовой линии х — ас* cost, у = от точки .до точки 2?(а,0,а). Указание: точке А соответствует- значение параметра t( = -оо, а точке В — значение t2 = 0. 8. Найдите площадь боковой поверхности кругового цилиндра, находящейся под первым витком винтовой линии и выше плоскости z = 0. 9.

Найдите координаты центра тяисести

однородной полуарки циклоиды Вычислите криволинейные интегралы 2-го рода: дуга кривой у = х3 отточки (0,0) до точки верхняя половина эллипса , пробегаемая против хода часовой стрелки. где точки соединены кривой Ч2Г при . — дуга первой арки циклоиды пробегаемая в направлении возрастания параметра t. — окружность , пробегаемая против хода часовой стрелки. Указание . Используйте параметрические уравнения окружности. — виток винтовой линии — ломаная с вершинами 17.

Найдите массу дуги AB кривой у = lnz, если в каждой ее точке линейная плотность пропорциональна квадрату абсциссы точки, причем . 18. Найдите длину дуги кривой j между ее точками пересечения с осями координат. 19. Найдите площадь, ограниченную астроидой 20. Найдите работу силового поля j, когда точка массы m описывает окружность х = а соs t, у = a sin t, двигаясь по ходу часовой стрелки. 21. Поле образовано силой .

Вычислите работу при перемещении единицы массы по контуру квадрата со сторонами Применив формулу Пэина, вычислите интегралы в задачах 22-24: по контуру ЬАВС с вершинами по контуру фигуры, ограниченной линиями у вдоль единичной окружности в положительном направлении Формула Грина Площадь плоской области Масса кривой Площадь цилиндрической поверхности.

Площадь плоской фигуры Обобщение случай пространственной кривой — вдоль контура квадрата с вершинами в точках Л(1,0), при положительном направлении обхода. Ответы Указание. Перейдите к полярным координатам. Указание. Воспользуйтесь формулами (в зависимости от направления обхода).. Указание. Данный интеграл несобстве нный, так как в точках пересечения контура интегрирования с прямой х + у = 0 подынтегральн ос выражение принимает вид g. Формулу фина применять нельзя.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Сайт предназначен для облегчения образовательного путешествия студентам очникам и заочникам по вопросам обучения . Наталья Брильёнова не предлагает и не оказывает товары и услуги.

Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать

Как найти массу дуги окружности

Видео:Масса дугиСкачать

Как найти массу дуги окружности

Центр масс и моменты инерции кривой;

Работа при перемещении тела в силовом поле;

Магнитное поле вокруг проводника с током (Закон Ампера);

Электромагнитная индукция в замкнутом контуре при изменении магнитного потока (Закон Фарадея).

Рассмотрим эти приложения более подробно с примерами.

Пусть снова кусок проволоки описывается некоторой кривой (C,) а распределение массы вдоль кривой задано непрерывной функцией плотности (rho left( right).) Тогда координаты центра масс кривой определяются формулами [bar x = frac >>> ,;;bar y = frac >>> ,;;bar z = frac >>> ,] где [ > = intlimits_C right)ds> ,>;; > = intlimits_C right)ds> ,>;; > = intlimits_C right)ds> > ] − так называемые моменты первого порядка .

Моменты инерции относительно осей (Ox, Oy) и (Oz) определяются формулами [ = intlimits_C + > right)rho left( right)ds> ,>;; = intlimits_C + > right)rho left( right)ds> ,>;; = intlimits_C + > right)rho left( right)ds> .> ]

Работа при перемещении тела в силовом поле (mathbf ) вдоль кривой (C) выражается через криволинейный интеграл второго рода [W = intlimits_C cdot dmathbf > ,] где (mathbf ) − сила, действующая на тело, (dmathbf ) − единичный касательный вектор (рисунок (1)). Обозначение ( cdot dmathbf >) означает скалярное произведение векторов (mathbf ) и (dmathbf .)

Заметим, что силовое поле (mathbf ) не обязательно является причиной движения тела. Тело может двигаться под действием другой силы. В таком случае работа силы (mathbf ) иногда может оказаться отрицательной.

Если векторное поле задано в координатной форме в виде [mathbf = left(

right),Qleft( right),Rleft( right)> right),] то работа поля вычисляется по формуле [W = intlimits_C cdot dmathbf > = intlimits_C

.] В частном случае, когда тело двигается вдоль плоской кривой (C) в плоскости (Oxy,) справедлива формула [W = intlimits_C cdot dmathbf > = intlimits_C

,] где (mathbf = left(

right),Qleft( right)> right).)

Если векторное поле (mathbf ) потенциально , то работа по перемещению тела из точки (A) в точку (B) выражается формулой [W = uleft( B right) — uleft( A right),] где (uleft( right)) − потенциал поля.

Криволинейный интеграл от магнитного поля с индукцией (mathbf ) вдоль замкнутого контура (C) пропорционален полному току, протекающему через область, ограниченную контуром (C) (рисунок (2)). Это выражается формулой [intlimits_C cdot dmathbf > = I,] где ( ) − магнитная проницаемость ваккуума , равная (1,26 times >,text .)

Очевидно, в силу симметрии, (bar y = 0.) Чтобы найти координату центра масс (bar x,) достаточно рассмотреть верхнюю половину кардиоиды.

Согласно закону Фарадея [varepsilon = ointlimits_C = — frac > >.] Поскольку проводящее кольцо перемещается в магнитном поле Земли, возникает изменение магнитного потока (psi,) проходящего через кольцо.

Предположим, что магнитное поле (mathbf ) перпендикулярно плоскости кольца. Тогда за время (Delta t) изменение потока равно [Delta psi = 2rBx = 2rBvDelta t,] где (x = vDelta t,) (v) − скорость самолета, (B) − индукция магнитного поля Земли. Из последнего выражения получаем [varepsilon = — frac > > = 2rBv.] Подставляя заданные величины [v = 900,text = 250,text ,;;r = 1,text = 0,01,text ,;;B = 5 times >,text ,] находим значение э.д.с.: [varepsilon = 2rBv = 2 cdot 0,01 cdot 5 times > cdot 250 = 0,00025,text .] Как видно, это вполне безопасно для авиапассажиров.

Напряженность возникающего электрического поля найдем по формуле (varepsilon = intlimits_C cdot dmathbf > .) В силу симметрии, наведенное электрическое поле будет иметь постоянную амплитуду в любой точке кольца. Оно будет направлено по касательной к кольцу в любой его точке. Это позволяет легко вычислить криволинейный интеграл. [varepsilon = ointlimits_C cdot dmathbf > = ointlimits_C = Eointlimits_C = 2pi rE.] Следовательно, напряженность электрического поля равна [E = frac > = frac > > = 0,004,text .]

Видео:Криволинейный интеграл 1 родаСкачать

Электронная библиотека

Если, в частности, кривая К имеет явное задание y = y(x) , то

Вычислить по длине плоской кривой y = ln x при .

Решение. Используем формулу (1.8), найдем, что и

Решение. За параметр возьмем величину угла t, тогда параметрическое уравнение линии К: x=cos t, y=sin t .

Элементарная масса dm = ky dl, т.е. тогда по формуле (1.7):

Решение. По формуле (1.7) имеем:

Задачи для упражнений

1) Найти , если К – дуга параболы , лежащая между и . Ответ: .

4) Определить массу окружности x 2 + y 2 = R 2 , если плотность её в точке М(х, у) равна: . Ответ: .

5) Определить координаты центра тяжести С(х₀, у₀) однородной полуокружности К: .

Указание. В механике доказано, что координаты центра тяжести однородной кривой К задаются формулами:

где L – длина дуги кривой К. Ответ: .

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Видео:Как брать неберущийся интеграл Задача Найти длину дуги параболыСкачать

Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики

1. Моменты и центры масс плоских кривых. Если дуга кривой задана уравнением y=f(x), a≤x≤b, и имеет плотность 1)

002.gif» />=<img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

002.gif» />(x), то статические моменты этой дуги Mx и My относительно координатных осей Ox и Oy равны

моменты инерции IХ и Iу относительно тех же осей Ох и Оу вычисляются по формулам

а координаты центра масс

009.gif» /> и <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

011.gif» /> — по формулам

где l— масса дуги, т. е.

Пример 1. Найти статические моменты и моменты инерции относительно осей Ох

и Оу дуги цепной линии y=chx при 0≤x≤1.

1) Всюду в задачах, где плотность не указана, предполагается, что кривая однородна и

Пример 2. Найти координаты центра масс дуги окружности x=acost, y=asint, расположенной в первой четверти.

В приложениях часто оказывается полезной следующая

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образованной вращением дуги плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости дуги и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой ее центром масс.

Пример 3. Найти координаты центра масс полуокружности

026.gif» />. При вращении полуокружности вокруг оси Ох получается сфера, площадь поверхности которой равна

028.gif» />, а длина полуокружности равна па. По теореме Гульдена имеем

032.gif» />, т.е. центр масс C имеет координаты C

2. Физические задачи. Некоторые применения определенного интеграла при решении физических задач иллюстрируются ниже в примерах 4—7.

Пример 4. Скорость прямолинейного движения тела выражается формулой <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

036.gif» /> (м/с). Найти путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения.

◄ Так как путь, пройденный телом со скоростью <img style="float: left; margin: 0 10px 5px 0;" src="http://ic3.static.km.ru/img/61260

038.gif» />(t) за отрезок времени [t1,t2], выражается интегралом

Пример 5. Какую работу необходимо затратить для того, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту /i? Чему равна работа, если тело удаляется в бесконечность?