Найти длина окружности основания конуса

Радиус и образующая конуса

Найти длина окружности основания конуса

Видео:+Как найти длину окружностиСкачать

+Как найти длину окружности

Свойства

Поскольку радиус конуса характеризует размер его основания, то зная его, можно найти диаметр, длину окружности и площадь круга, лежащего в основании. Диаметр представляет собой удвоенный радиус, длина окружности – удвоенный радиус, умноженный на число π, а площадь круга – квадрат радиуса, умноженный на число π. d=2r P=2πr S_(осн.)=πr^2

Зная радиус и образующую конуса, можно уже найти его высоту, угол между образующей и основанием, угол раствора конуса. Высота конуса через радиус и образующую ищется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, оттуда же можно вычислить и угол β через тригонометрические отношения сторон. Угол α можно найти из равнобедренного треугольника, образованного двумя образующими и диаметром, отняв из 180 градусов два угла β. (рис.40.1, 40.2) h=√(l^2-r^2 ) cos⁡β=r/l α=180°-2β

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению полупериметра основания на образующую или произведению числа π на радиус и образующую. Чтобы найти площадь полной поверхности, зная радиус и образующую конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности произведение числа π на квадрат радиуса, что является площадью основания конуса. S_(б.п.)=πrl S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_(осн.)=πrl+πr^2=πr(l+r)

Объем конуса, также как и объем пирамиды рассчитывается как одна треть основания, умноженная на высоту. V=1/3 S_(осн.) h=(πr^2 h)/3

Радиус сферы, вписанной в конус, вычисляется как произведение высоты на радиус конуса, деленное на сумму радиуса и образующей. Радиус сферы, описанной вокруг конуса, представляет собой отношение квадрата образующей к удвоенной высоте. (рис.40.3, 40.4) r_1=hr/(l+r)=(r√(l^2-r^2 ))/(l+r) R=l^2/2h

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Задание №3 Длина окружности основания конуса

Длина окружности основания конуса равна 18πсм, высота конуса равна 4,5см. Вычислить объём конуса.
Найти длина окружности основания конусаДано: С окружности= 18πсм Hконуса=4,5см Найти: Vконуса-?
Решение: Длину окружности основания конуса можно вычислить по формуле c=2πR. Вычислим радиус основания конуса R= Найти длина окружности основания конуса= Найти длина окружности основания конуса=9см Вычислим объём конуса V=πR 2 Найти длина окружности основания конуса= Найти длина окружности основания конуса=121,5πсм 3 Ответ: V(конуса)= 121,5πсм 3
Решить задание на ЯКласс№3 Длина окружности основания конуса

Задание №4 Высота усечённого конуса

Площади оснований усечённого конуса равны 4πсм 2 и 36π см2; объём равен Найти длина окружности основания конусасм 3 . Вычислить высоту усечённого конуса.
Дано: S1= 4πсм 2 S2= 36πсм 2 V усеч.конуса= Найти длина окружности основания конусасм 3 . Найти: Hконуса-?
Решение: Найти длина окружности основания конусаОтвет: Hконуса= 8 см
Решить задание на ЯКласс№4 Высота усечённого конуса

Задание № 5 Осевое сечение конуса

Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник, сторона которого равна 12мм. Вычисли объём конуса.
Найти длина окружности основания конусаДано: а=12мм Найти: Vконуса-?
Решение: На рисунке — осевое сечение конуса. V=πR 2 Найти длина окружности основания конусаR= Найти длина окружности основания конуса=6мм H=6 Найти длина окружности основания конусамм, по соотношению в прямоугольном треугольнике, угол в котором равен 30 o . V= Найти длина окружности основания конусаV= Найти длина окружности основания конусаπ мм 3 Найти длина окружности основания конусаОтвет: V= Найти длина окружности основания конусаπ мм 3
Решить задание на ЯКласс№5 Осевое сечение конуса

Содержание отчета

a) Записать дату, Тему занятия и его цель

b) Записать решение заданий в тетрадь.

c) Ответить на контрольные вопросы письменно.

Контрольные вопросы

Какую часть от объема цилиндра занимает объем конуса, если известно, что высота и основания у них одинаковы?.
Врашением какой фигуры и вокруг какой оси образуется усеченный конус?
Что такое осевое сечение конуса?
Какие фигуры могут иметь правильный треугольник в качестве осевого сечения?
5.По какой формуле вычисляется объем пирамиды?

Дата добавления: 2016-03-15 ; просмотров: 5833 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

Видео:Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.Скачать

Длина окружности. Площадь круга. 6 класс.

Найти длина окружности основания конуса

Найти длина окружности основания конуса

Так как все образующие конуса равны, то его осевым сечением является равнобедренный треугольник, боковыми сторонами которого являются образующие конуса, а основанием — диаметр конуса. При этом все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники . На рисунке 168 осевым сечением конуса является треугольник ABP ( АР = ВР ). Угол АPВ называют углом при вершине осевого сечения конуса .

Конус, в осевом сечении которого правильный треугольник, называется равносторонним конусом.

Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, пересекает конус, но не проходит через его ось, то в сечении конуса также получается равнобедренный треугольник (см. рис. 168: △ DCP ).

Так как конус — тело вращения, то любое сечение конуса плоскостью, перпендикулярной его оси (т. е. параллельной основанию конуса), есть круг, а сечение боковой поверхности конуса такой плоскостью — окружность этого круга; центром круга (окружности) является точка пересечения оси конуса и секущей плоскости (рис. 169).

Если секущая плоскость не параллельна плоскости основания конуса и не пересекает основание, то сечением боковой поверхности конуса такой плоскостью является эллипс (рис. 170). Поэтому эллипс называют коническим сечением .

Найти длина окружности основания конуса

Найти длина окружности основания конусаЕсли сечением цилиндрической поверхности плоскостью может быть либо окружность, либо эллипс, либо две параллельные прямые, то сечением конической поверхности плоскостью может быть либо окружность (секущая плоскость перпендикулярна оси конической поверхности вращения и не проходит через её вершину, рис. 171, a ), либо эллипс (секущая плоскость не перпендикулярна оси конической поверхности и пересекает все её образующие, рис. 171, б ), либо парабола (секущая плоскость параллельна только одной образующей конической поверхности, рис. 171, в ), либо гипербола (секущая плоскость параллельна оси конической поверхности, рис. 171, г ), либо пара пересекающихся прямых (секущая плоскость проходит через вершину конической поверхности, рис. 171, д ). Поэтому невырожденные кривые второго порядка — окружность, эллипс, параболу и гиперболу называют коническими сечениями или коротко — кониками .

О конических сечениях можно прочитать в очерках «Элементарная геометрия», «Проективная геометрия» в конце этой книги. Найти длина окружности основания конуса

 ЗАДАЧА (3.047). Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу: а) в 60 ° ; б) в 90 ° . Найти площадь сечения.

Найти длина окружности основания конуса

Решени е. Рассмотрим случай а). Пусть плоскость α пересекает поверхность конуса с вершиной Р по образующим РА и РВ (рис. 172); △ АВР — искомое сечение. Найдём площадь этого сечения.

Хорда АВ окружности основания стягивает дугу в 60 ° , значит, △ AOB — правильный и АВ = R .

Если точка С — середина стороны АB, то отрезок PC — высота треугольника АВР. Поэтому S △ ABP = Найти длина окружности основания конусаАВ • РC. Имеем: ОР = R (по условию); в △ A OB : ОС = Найти длина окружности основания конуса; в △ ОСР : CP = Найти длина окружности основания конуса= Найти длина окружности основания конуса.

Тогда S △ ABP = Найти длина окружности основания конусаАВ • РС = Найти длина окружности основания конуса.

Ответ: а) Найти длина окружности основания конуса.

18.3. Касательная плоскость к конусу

Определение. Касательной плоскостью к конусу называется плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярно осевому сечению, проведённому через эту образующую.

Найти длина окружности основания конуса

Говорят, что плоскость α касается конуса по образующей РА (рис. 173): каждая точка образующей РА является точкой касания плоскости α и данного конуса.

Найти длина окружности основания конуса

Через любую точку боковой поверхности конуса проходит только одна его образующая. Через эту образующую можно провести только одно осевое сечение и только одну плоскость, перпендикулярную плоскости этого осевого сечения. Следовательно, через каждую точку боковой поверхности конуса можно провести лишь одну плоскость, касательную к данному конусу в этой точке.

18.4. Изображение конуса

Найти длина окружности основания конуса

Для изображения конуса достаточно построить: 1) эллипс, изображающий окружность основания конуса (рис. 174); 2) центр О этого эллипса; 3) отрезок ОР, изображающий высоту конуса; 4) касательные прямые РА и PB из точки Р к эллипсу (их проводят с помощью линейки на глаз).

Для достижения наглядности изображения невидимые линии изображают штрихами.

Необходимо заметить, что отрезок АВ, соединяющий точки касания образующих и окружности основания конуса, ни в коем случае не является диаметром основания конуса, т. е. этот отрезок не содержит центра О эллипса. Следовательно, △ АBP — не осевое сечение конуса. Осевым сечением конуса является △ ACP, где отрезок AC проходит через точку О, но образующая PC не является касательной к окружности основания.

18.5. Развёртка и площадь поверхности конуса

Пусть l — длина образующей, R — радиус основания конуса с вершиной Р .

Найти длина окружности основания конуса

Найти длина окружности основания конуса

Поверхность конуса состоит из боковой поверхности конуса и его основания. Если эту поверхность разрезать по одной из образующих, например по образующей PA (рис. 175), и по окружности основания, затем боковую поверхность конуса развернуть на плоскости (рис. 176, a ), то получим развёртку поверхности конуса (рис. 176, б ), состоящую из: а) кругового сектора, радиус которого равен образующей l конуса, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса; б) круга, радиус которого равен радиусу R основания конуса. Угол сектора развёртки боковой поверхности конуса называют углом развёртки конуса ; его численная величина равна отношению длины окружности основания конуса к его образующей (радиусу сектора развёртки):

α = Найти длина окружности основания конуса.

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь её развёртки. Выразим площадь боковой поверхности конуса через длину l его образующей и радиус R основания.

Площадь боковой поверхности — площадь кругового сектора радиуса длины l — вычисляется по формуле

S бок = Найти длина окружности основания конусаα • l 2 , (1)

где α — величина угла (в радианах) сектора — развёртки. Учитывая, что α = Найти длина окружности основания конуса, получаем:

Таким образом, доказана следующая теорема.

Найти длина окружности основания конуса

Теорема 27. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. ▼

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его боковой поверхности и основания, т. е.

S кон = π Rl + π R 2 . (3)

Найти длина окружности основания конуса

Следствие. Пусть конус образован вращением пря м оугольного треугольника ABC вокруг катета АС (рис. 177). Тогда S бок = π • BC • АВ. Если D — середина отрезка АВ, то AB = 2 AD, поэтому

S бок = 2 π ВС • AD. (4)

Найти длина окружности основания конуса

Проведём DE ⟂ АB ( E ∈ l = AС ) . Из подобия прямоугольных треугольников ADE и ACB (у них общий угол А ) имеем

Найти длина окружности основания конуса= Найти длина окружности основания конуса⇒ BC • AD = DE • АС. (5)

Тогда соотношение (4) принимает вид

S бок = (2 π • DE ) • AC, (6)

т. е. площадь боковой поверхности конуса равна произведению высоты конуса на длину окружности, радиус которой равен длине серединного перпендикуляра, проведённого из точки на оси конуса к его образующей.

Это следствие будет использовано в п. 19.7.

18.6. Свойства параллельных сечений конуса

Найти длина окружности основания конуса Найти длина окружности основания конуса

Теоремa 28. Если конус пересечён плоскостью, параллельной основанию, то: 1) все образующие и высота конуса делятся этой плоскостью на пропорциональные части; 2) в сечении получается круг; 3) площади сечения и основания относятся, как квадраты их расстояний от вершины.

Найти длина окружности основания конуса

Доказательств о. 1) Пусть конус с вершиной Р и основанием F пересечён плоскостью α , параллельной плоскости β основания конуса и расположенной между Р и β (рис. 178).

Проведём высоту РО конуса, где точка О — центр круга F. Так как РО ⟂ β , α || β , то α ⟂ РО. Значит, в сечении конуса плоскостью α получается круг с центром в точке O 1 = α ∩ РО. Обозначим этот круг F 1 .

Рассмотрим гомотетию Найти длина окружности основания конусас центром P, при которой плоскость β основания данного конуса отображается на параллельную ей плоскость α (при гомотетии плоскость, не проходящая через центр гомотетии, отображается на параллельную ей плоскость).

Так как при гомотетии её центр является неподвижной точкой, прямая, проходящая через центр гомотетии, отображается на себя, а пересечение двух фигур — на пересечение их образов, то гомотетия Найти длина окружности основания конусаотображает основание F конуса на его параллельное сечение — круг F 1 , при этом центр О основания отображается на центр О 1 круга F 1 (почему?). Кроме того, если РХ — произвольная образующая конуса, где Х — точка окружности основания, то при гомотетии Найти длина окружности основания конусаточка X отображается на точку X 1 = РX ∩ α . Учитывая, что отношение длин гомотетичных отрезков равно коэффициенту гомотетии, получаем:

Найти длина окружности основания конуса= Найти длина окружности основания конуса= k, (*)

где k — коэффициент гомотетии Найти длина окружности основания конуса, т. е. параллельное сечение конуса делит его образующие и высоту на пропорциональные части.

А поскольку гомотетия является подобием, то круг F 1 , являющийся параллельным сечением конуса, подобен его основанию.

Вследствие того что отношение площадей гомотетичных фигур равно квадрату коэффициента гомотетии и k = PO 1 : Р О , где РO 1 и PO — расстояния соответственно параллельного сечения и основания пирамиды от её вершины, то

S сечен : S основ = k 2 = Найти длина окружности основания конуса: PO 2 .

18.7. Вписанные в конус и описанные около конуса пирамиды

Определение. Пирамида называется вписанной в конус, если у них вершина общая, а основание пирамиды вписано в основание конуса. В этом случае конус называется описанным около пирамиды.

Для построения изображения правильной пирамиды, вписанной в конус:

— строят изображение основания пирамиды — правильного многоугольника, вписанного в основание конуса;

— соединяют отрезками прямых вершину конуса с вершинами построенного многоугольника;

— выделяют видимые и невидимые (штрихами) линии изображаемых фигур.

На рисунках 179—182 изображена вписанная в конус пирамида, в основаниях которой лежит:

— прямоугольный треугольник (см. рис. 179);

🎥 Видео

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга - математика 6 класс

Конус. Площадь боковой поверхности конуса.Скачать

Конус. Площадь боковой поверхности конуса.

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 классСкачать

КАК ИЗМЕРИТЬ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ? · ФОРМУЛА + примеры · Длина окружности как найти? Математика 6 класс

Длина окружности. 9 класс.Скачать

Длина окружности. 9 класс.

Цилиндр, конус, шар, 6 классСкачать

Цилиндр, конус, шар, 6 класс

Объём цилиндраСкачать

Объём цилиндра

РАДИУС ОСНОВАНИЯ ? Конус / база #506339Скачать

РАДИУС ОСНОВАНИЯ ? Конус  / база #506339

Длина дуги окружности. 9 класс.Скачать

Длина дуги окружности. 9 класс.

Длина окружности. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Длина окружности. Практическая часть. 9 класс.

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.Скачать

Площадь сектора и сегмента. 9 класс.

МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25Скачать

МЕРЗЛЯК-6. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ. ПЛОЩАДЬ КРУГА. ПАРАГРАФ-25

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конусаСкачать

№555. Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса

Длина окружности. Площадь круга, 6 классСкачать

Длина окружности. Площадь круга, 6 класс

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Длина окружности и площадь кругаСкачать

Длина окружности и площадь круга

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДЛИНУ ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТЕН ДИАМЕТР ИЛИ РАДИУС? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс
Поделиться или сохранить к себе: