Найдите точки минимума функции на окружности

Максимумы, минимумы и экстремумы функций
Содержание
  1. Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.
  2. Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.
  3. Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.
  4. В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.
  5. Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
  6. Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?
  7. — Производная положительна там, где функция возрастает. — Производная отрицательна там, где функция убывает.
  8. — Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус. — Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.
  9. Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?
  10. Экстремумы функции
  11. Необходимое условие экстремума функции одной переменной
  12. Достаточное условие экстремума функции одной переменной
  13. Найдите точки минимума функции на окружности
  14. 🔥 Видео

Минимумом называют точку на функции, в которой значение функции меньше, чем в соседних точках.

Максимумом называют точку на функции, в которой значение функции больше, чем в соседних точках.

Также можно сказать, что в этих точках меняется направление движения функции: если функция перестает падать и начинает расти – это точка минимума, наоборот – максимума.

Найдите точки минимума функции на окружности

Минимумы и максимумы вместе именуют экстремумами функции.

Иными словами, все пять точек, выделенных на графике выше, являются экстремумами.

В точках экстремумов (т.е. максимумов и минимумов) производная равна нулю.

Благодаря этому найти эти точки не составляет проблем, даже если у вас нет графика функции.

Внимание! Когда пишут экстремумы или максимумы/минимумы имеют в виду значение функции т.е. (y). Когда пишут точки экстремумов или точки максимумов/минимумов имеют в виду иксы в которых достигаются максимумы/минимумы. Например, на рисунке выше, (-5) точка минимума (или точка экстремума), а (1) – минимум (или экстремум).

Видео:АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума ФункцииСкачать

АЛГЕБРА С НУЛЯ — Точки Экстремума Функции

Как найти точки экстремумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Давайте вместе найдем количество точек экстремума функции по графику производной на примере:

Найдите точки минимума функции на окружности

У нас дан график производная — значит ищем в каких точках на графике производная равна нулю. Очевидно, это точки (-13), (-11), (-9),(-7) и (3). Количество точек экстремума функции – (5).

Внимание! Если дан график производной функции, а нужно найти точки экстремумов функции, мы не считаем максимумы и минимумы производной! Мы считаем точки, в которых производная функции обращается в ноль (т.е. пересекает ось (x)).

Найдите точки минимума функции на окружностиНайдите точки минимума функции на окружности

Видео:Найти точки экстремума функцииСкачать

Найти точки экстремума функции

Как найти точки максимумов или минимумов функции по графику производной (7 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно вспомнить еще два важных правил:

— Производная положительна там, где функция возрастает.
— Производная отрицательна там, где функция убывает.

С помощью этих правил давайте найдем на графике производной точки минимума и максимума функции.

Найдите точки минимума функции на окружности

Понятно, что минимумы и максимумы надо искать среди точек экстремумов, т.е. среди (-13), (-11), (-9),(-7) и (3).

Чтобы проще было решать задачу расставим на рисунке сначала знаки плюс и минус, обозначающие знак производной. Потом стрелки – обозначающие возрастание, убывания функции.

Найдите точки минимума функции на окружности

Начнем с (-13): до (-13) производная положительна т.е. функция растет, после — производная отрицательна т.е. функция падает. Если это представить, то становится ясно, что (-13) – точка максимума.

(-11): производная сначала положительна, а потом отрицательна, значит функция возрастает, а потом убывает. Опять попробуйте это мысленно нарисовать и вам станет очевидно, что (-11) – это минимум.

(- 9): функция возрастает, а потом убывает – максимум.

Все вышесказанное можно обобщить следующими выводами:

— Функция имеет максимум там, где производная равна нулю и меняет знак с плюса на минус.
— Функция имеет минимум там, где производная равна нулю и меняет знак с минуса на плюс.

Видео:Задание 12 ЕГЭ по математике #54Скачать

Задание 12 ЕГЭ по математике #54

Как найти точки максимумов и минимумов если известна формула функции (12 задание ЕГЭ)?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно делать все то же, что и в предыдущем пункте: находить где производная положительна, где отрицательна и где равна нулю. Чтобы было понятнее напишу алгоритм с примером решения:

  1. Найдите производную функции (f'(x)).
  2. Найдите корни уравнения (f'(x)=0).
  3. Нарисуйте ось (x) и отметьте на ней точки полученные в пункте 2, изобразите дугами промежутки, на которые разбивается ось. Подпишите над осью (f'(x)), а под осью (f(x)).
  4. Определите знак производной в каждом промежутке (методом интервалов).
  5. Поставьте знак производной в каждом промежутке (над осью), а стрелкой укажите возрастание (↗) или убывание (↘) функции (под осью).
  6. Определите, как изменился знак производной при переходе через точки, полученные в пункте 2:
    — если (f’(x)) изменила знак с «(+)» на «(-)», то (x_1) – точка максимума;
    — если (f’(x)) изменила знак с «(-)» на «(+)», то (x_3) – точка минимума;
    — если (f’(x)) не изменила знак, то (x_2) – может быть точкой перегиба.

Найдите точки минимума функции на окружности

Всё! Точки максимумов и минимумов найдены.

Изображая на оси точки в которых производная равна нулю – масштаб можно не учитывать. Поведение функции можно показать так, как это сделано на рисунке ниже. Так будет очевиднее где максимум, а где минимум.

Найдите точки минимума функции на окружности

Пример(ЕГЭ). Найдите точку максимума функции (y=3x^5-20x^3-54).
Решение:
1. Найдем производную функции: (y’=15x^4-60x^2).
2. Приравняем её к нулю и решим уравнение:

3. – 6. Нанесем точки на числовую ось и определим, как меняется знак производной и как движется функция:

Найдите точки минимума функции на окружности

Теперь очевидно, что точкой максимума является (-2).

Видео:ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 12. Максимум и минимум функции. ЭкстремумСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 12. Максимум и минимум функции. Экстремум

Экстремумы функции

Видео:Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.Скачать

Математика без Ху!ни. Экстремум функции 2х переменных.

Необходимое условие экстремума функции одной переменной

Видео:Найдите точку минимума функции y=25/x+x+25 Задание 12 ЕГЭ профильная математикаСкачать

Найдите точку минимума функции y=25/x+x+25 Задание 12 ЕГЭ профильная математика

Достаточное условие экстремума функции одной переменной

Если в точке x * выполняется условие:

Пример №1 . Найти наибольшее и наименьшее значения функции: Найдите точки минимума функции на окружностина отрезке [1; 3].
Решение.
Найдите точки минимума функции на окружности
Критическая точка одна x1 = 2 (f’(x)=0). Эта точка принадлежит отрезку [1;3]. (Точка x=0 не является критической, так как 0∉[1;3]).
Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критической точке.
f(1)=9, f(2)= 5 /2, f(3)=3 8 /81
Ответ: fmin= 5 /2 при x=2; fmax=9 при x=1

Пример №2 . С помощью производных высших порядков найти экстремум функции y=x-2sin(x) .
Решение.
Находим производную функции: y’=1-2cos(x) . Найдем критические точки: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π /3+2πk, k∈Z. Находим y’’=2sin(x), вычисляем Найдите точки минимума функции на окружности, значит x= π /3+2πk, k∈Z – точки минимума функции; Найдите точки минимума функции на окружности, значит x=- π /3+2πk, k∈Z – точки максимума функции.

Пример №3 . Исследовать на экстремум фцнкцию в окрестностях точки x=0.
Решение. Здесь необходимо найти экстремумы функции. Если экстремум x=0 , то выяснить его тип (минимум или максимум). Если среди найденных точек нет x = 0, то вычислить значение функции f(x=0).
Следует обратить внимание, что когда производная с каждой стороны от данной точки не меняет своего знака, не исчерпываются возможные ситуации даже для дифференцируемых функций: может случиться, что для сколь угодно малой окрестности по одну из сторон от точки x0 или по обе стороны производная меняет знак. В этих точках приходится применять другие методы для исследования функций на экстремум.

Пример №4 . Разбить число 49 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
Решение. Обозначим x — первое слагаемое. Тогда (49-x) — второе слагаемое.
Произведение будет максимальным: x·(49-x) → max
или
49x — x 2

Видео:Свойства функции. Нули функции, экстремумы. 10 класс.Скачать

Свойства функции. Нули функции, экстремумы. 10 класс.

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдите точку максимума функции Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем производную заданной функции:

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем нули производной:

Найдите точки минимума функции на окружности

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума Найдите точки минимума функции на окружности

Заметим, что функция имеет разрыв при (при x = 0), и ее значение в точке минимума (при x = −17) больше, чем значение в точке максимума (при x = 17).

Найдите точку минимума функции Найдите точки минимума функции на окружности

Область определения функции: Найдите точки минимума функции на окружности

Найдём производную заданной функции:

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдём нули производной:

Найдите точки минимума функции на окружности

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума Найдите точки минимума функции на окружности

У меня получается при х=-1 значение функции=2.

А при х=1, значение функции= -2,

то есть точка минимума х=1.

Объясните,пожалуйста, в чём моя ошибка.

Вопрос о точке минимума, а не о минимальном значении функции

Найдите наименьшее значение функции Найдите точки минимума функции на окружностина отрезке Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем производную заданной функции:

Найдите точки минимума функции на окружности

Производная обращается в нуль в точках 5 и −5. Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции на заданном отрезке:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет ее значение в точке 5. Найдем его:

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдите наибольшее значение функции Найдите точки минимума функции на окружностина отрезке Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем производную заданной функции:

Найдите точки минимума функции на окружности

Производная обращается в нуль в точках 5 и −5, заданному отрезку принадлежит только число −5.

Наибольшим значением функции на заданном отрезке будет наибольшее из чисел Найдите точки минимума функции на окружности Найдите точки минимума функции на окружностии Найдите точки минимума функции на окружностиНайдем их:

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдите точку максимума функции Найдите точки минимума функции на окружности

Область определения функции: Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем производную заданной функции:

Найдите точки минимума функции на окружности

Найдем нули производной:

Найдите точки минимума функции на окружности

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума Найдите точки минимума функции на окружности

Внимательный читатель может заметить, что значение функции Найдите точки минимума функции на окружностив точке x = −4 меньше, чем в точке x = 4. Тем не менее точка −4 является точкой максимума, поскольку слева от нее функция возрастает, а справа убывает, а точка 4 является точкой минимума. Значение в точке максимума отказалось меньше, чем в точке минимума, поскольку функция имеет разрыв при x = 0.

🔥 Видео

ЕГЭ 2022: Задание 6. Количество точек экстремума функции по производнойСкачать

ЕГЭ 2022: Задание 6. Количество точек экстремума функции по производной

Точки ЭКСТРЕМУМА на графике производной / разбор ЕГЭ #27496Скачать

Точки ЭКСТРЕМУМА на графике производной / разбор ЕГЭ #27496

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 12. Найдите точку максимума функции.Скачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 12. Найдите точку максимума функции.

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функцииСкачать

Математический анализ, 12 урок, Монотонность и экстремумы функции

ТОЧКА МАКСИМУМА И МАКСИМУМ ФУНКЦИИ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #shorts #геометрияСкачать

ТОЧКА МАКСИМУМА И МАКСИМУМ ФУНКЦИИ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #shorts #геометрия

Найдите точку минимума функции y=(x+17)^2*e^(30-x)Скачать

Найдите точку минимума функции y=(x+17)^2*e^(30-x)

Задание 11 ЕГЭ профиль № 77491 Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+ln⁡x-3Скачать

Задание 11 ЕГЭ профиль № 77491 Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+ln⁡x-3

Тип 11 № 26726 Найдите точку максимума функции y=〖(x-2)〗^2 e^(x-6)Скачать

Тип 11 № 26726 Найдите точку максимума функции y=〖(x-2)〗^2 e^(x-6)

Задание 12 ЕГЭ по математике #13Скачать

Задание 12 ЕГЭ по математике #13

График функции - нахождение точек минимумаСкачать

График функции - нахождение точек минимума

Задание 12 ЕГЭ по математике #50Скачать

Задание 12 ЕГЭ по математике #50

Максимум и минимум функции - bezbotvyСкачать

Максимум и минимум функции - bezbotvy

Нахождение точек экстремума функции по графикам. ЕГЭ. Задание В8Скачать

Нахождение точек экстремума функции по графикам. ЕГЭ. Задание В8
Поделиться или сохранить к себе: