Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Нахождение радиуса вписанной в треугольник окружности

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, вписанной в произвольный (любой), прямоугольный, равнобедренный или равносторонний треугольник. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

Содержание
  1. Формулы вычисления радиуса вписанной окружности
  2. Произвольный треугольник
  3. Прямоугольный треугольник
  4. Равнобедренный треугольник
  5. Равносторонний треугольник
  6. Примеры задач
  7. Теорема синусов
  8. Доказательство теоремы синусов
  9. Доказательство следствия из теоремы синусов
  10. Теорема о вписанном в окружность угле
  11. Примеры решения задач
  12. Запоминаем
  13. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 24 и 32?
  14. Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24 найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей?
  15. Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41 корень из 2 ?
  16. Прямоугольный треугольник вписан в окружность, его катеты равны 15 и 8?
  17. Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен 5см а один из катетов 12см найдите​ периметр этого треугольника?
  18. Прямоугольный треугольник abc с катетами 18см и 24см вписан в окружность найдите радиус этой окружности в сантиметрах?
  19. В прямоугольный треугольник вписана окружность?
  20. Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12?
  21. В прямоугольный треугольник вписана окружность?
  22. В прямоугольный треугольник вписана окружность?
  23. Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности — 6?
  24. 🔍 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Формулы вычисления радиуса вписанной окружности

Произвольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в любой треугольник, равняется удвоенной площади треугольника, деленной на его периметр.

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

Прямоугольный треугольник

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равняется дроби, в числителе которого сумма катетов минус гипотенуза, в знаменателе – число 2.

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

где a и b – катеты, c – гипотенуза треугольника.

Равнобедренный треугольник

Радиус вписанной в равнобедренный треугольник окружности вычисляется по формуле ниже:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

где a – боковые стороны, b – основание треугольника.

Равносторонний треугольник

Радиус вписанной в правильный (равносторонний) треугольник окружности рассчитывается следующим образом:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

где a – сторона треугольника.

Видео:САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математикеСкачать

САМЫЙ СТРАННЫЙ ПРИМЕР 3 задания проф. ЕГЭ по математике

Примеры задач

Задание 1
Дан треугольник со сторонами 5, 7 и 10 см. Вычислите радиус вписанной в него окружности.

Решение
Сперва вычислим площадь треугольника. Для этого применим формулу Герона:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Остается только применить соответствующую формулу для вычисления радиуса круга:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Задание 2
Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 16 см, а основание 7 см. Найдите радиус вписанной в фигуру окружности.

Решение
Воспользуемся подходящей формулой, подставив в нее известные значения:

Видео:№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенузаСкачать

№694. Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, если гипотенуза

Теорема синусов

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Решение задачи №1 из ЕГЭ математикаСкачать

Решение задачи №1 из ЕГЭ математика

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Формула теоремы синусов:

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

  • Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc
    bc sinα = ca sinβ
    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128Скачать

    Задача 6 №27900 ЕГЭ по математике. Урок 128

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Радиус и диаметрСкачать

    Радиус и диаметр

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:№702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углыСкачать

    №702. В окружность вписан треугольник ABC так, что АВ — диаметр окружности. Найдите углы

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

    По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

    Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 24 и 32?

    Геометрия | 5 — 9 классы

    Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 24 и 32.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    В прямоугольном треугольнике а и в — катеты, с — гипотенуза

    по теореме Пифагора с² = а² + в² = 24² + 32² = 576 + 1024 = 1600, с = √1600 = 40.

    Диаметр вписанной окружности = а + в — с = 24 + 32 — 40 = 16.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #7

    Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24 найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей?

    Катеты прямоугольного треугольника равны 7 и 24 найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41 корень из 2 ?

    Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны 82 + 41 корень из 2 .

    Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

    Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

    Прямоугольный треугольник вписан в окружность, его катеты равны 15 и 8?

    Прямоугольный треугольник вписан в окружность, его катеты равны 15 и 8.

    Гипотенуза проходит через центр окружности.

    Найдите радиус окружности.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!Скачать

    ЗАДАЧА - ЧУДО! Победи мастера, найди угол альфа!

    Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен 5см а один из катетов 12см найдите​ периметр этого треугольника?

    Радиус окружности вписанной в прямоугольный треугольник равен 5см а один из катетов 12см найдите​ периметр этого треугольника.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Прямоугольный треугольник abc с катетами 18см и 24см вписан в окружность найдите радиус этой окружности в сантиметрах?

    Прямоугольный треугольник abc с катетами 18см и 24см вписан в окружность найдите радиус этой окружности в сантиметрах.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬСкачать

    Только 1 может решить эту хитрую задачу ★ Найдите углы треугольника ★ Супер ЖЕСТЬ

    В прямоугольный треугольник вписана окружность?

    В прямоугольный треугольник вписана окружность.

    Найдите диаметр окружности, если сумма катетов равна

    18 см, а гипотенуза треугольника равна

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12?

    Катеты прямоугольного треугольника равны 5 и 12.

    Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)Скачать

    Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть I)

    В прямоугольный треугольник вписана окружность?

    В прямоугольный треугольник вписана окружность.

    Найдите диаметр окружности, если сумма катетов равна 27 см, а гипотенуза треугольника равна 23 см.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147Скачать

    Задача № 27933 ЕГЭ по математике. Урок 147

    В прямоугольный треугольник вписана окружность?

    В прямоугольный треугольник вписана окружность.

    Найдите гипотенузу треугольника, если диаметр окружности равен 14 см, а сумма катетов равна 58 см.

    Найдите диаметр окружности вписанной в треугольнике abc

    Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

    Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

    Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности — 6?

    Периметр прямоугольного треугольника равен 72, а радиус вписанной в него окружности — 6.

    Найдите диаметр описанной окружности.

    Перед вами страница с вопросом Найдите диаметр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с катетами 24 и 32?, который относится к категории Геометрия. Уровень сложности соответствует учебной программе для учащихся 5 — 9 классов. Здесь вы найдете не только правильный ответ, но и сможете ознакомиться с вариантами пользователей, а также обсудить тему и выбрать подходящую версию. Если среди найденных ответов не окажется варианта, полностью раскрывающего тему, воспользуйтесь «умным поиском», который откроет все похожие ответы, или создайте собственный вопрос, нажав кнопку в верхней части страницы.

    🔍 Видео

    ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

    ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление
    Поделиться или сохранить к себе: