Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl
Найди треугольники около которых описана окружность mnl
Найди треугольники около которых описана окружность mnl
Найди треугольники около которых описана окружность mnl(1)
Найди треугольники около которых описана окружность mnl(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайти Найди треугольники около которых описана окружность mnl(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl.
Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl.
Найди треугольники около которых описана окружность mnl, Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

И, наконец, находим угол C:

Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl.
Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Далее, из формулы

Найди треугольники около которых описана окружность mnl.
Найди треугольники около которых описана окружность mnl.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Найди треугольники около которых описана окружность mnlи Найди треугольники около которых описана окружность mnl(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl,
Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl.

Из формулы (3) найдем cosA:

Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl
Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl.

Видео:Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl, Найди треугольники около которых описана окружность mnl.
Найди треугольники около которых описана окружность mnl, Найди треугольники около которых описана окружность mnl.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Найди треугольники около которых описана окружность mnlи углы Найди треугольники около которых описана окружность mnl(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найди треугольники около которых описана окружность mnlНайди треугольники около которых описана окружность mnl

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl
Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. НайСкачать

ЗАДАНИЕ 1| ЕГЭ ПРОФИЛЬ| Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 4. Най

Треугольник вписанный в окружность

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Видео:Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

Определение

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны площадь и периметр:

Радиус вписанной окружности в треугольник,
если известны полупериметр и все стороны:

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и площадь:

Радиус описанной окружности около треугольника,
если известны все стороны и полупериметр:

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен полупериметр:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известен высота и основание:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известна сторона и два прилежащих к ней угла:

Площадь треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и синус угла между ними:

[ S = fracab cdot sin angle C ]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известна площадь и радиус вписанной окружности:

Периметр треугольника вписанного в окружность,
если известны две стороны и угол между ними:

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними:

Сторона треугольника вписанного в
окружность, если известна сторона и два угла:

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:

Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
если известныдве стороны, ни одна из них не является
основанием, и косинус угламежду ними:

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание:

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен сторона и синус угла прилежащего
к этой стороне, и находящегося напротив высоты:

[ h = b cdot sin alpha ]

Высота треугольника вписанного в окружность,
если известен радиус описанной окружности и
две стороны, ни одна из которых не является основанием:

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Видео:Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Видео:Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.Скачать

Математика за минуту: Объяснение формулы радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4. Угол при вершине, противолежащий основанию, равен 120°. Найдите диаметр окружности, описанной около этого треугольника.

Воспользуемся теоремой косинусов:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

(здесь a и b — боковые стороны равнобедренного треугольника, c — основание.

Диаметр описанной окружности найдем по обобщенной теореме синусов:

Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Вместо того, чтобы искать основание треугольника, можно было найти угол при основании. Действительно, сумма углов при основании данного равнобедренного треугольника равна 60°. Эти углы равны, поэтому каждый из них равен 30°. Применяя обобщенную теорему синусов для боковой стороны и противолежащего ей угла, получаем: Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Приведем решение Андрея Ларионова.

Угол при основании равен Найди треугольники около которых описана окружность mnl

Следовательно, дуга описанной окружности, на которую он опирается, равна 2 · 30° = 60°. Эту дугу стягивает боковая сторона треугольника.

Хорда, стягивающая дугу в 60°, равна радиусу окружности, поэтому радиус описанной окружности равен боковой стороне треугольника, тогда D = 2 · 4 = 8.

🔍 Видео

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #ShortsСкачать

Расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника и их радиусами #Shorts

Как найти центр окружности #геометрия #окружность #треугольник #теоремаСкачать

Как найти центр окружности #геометрия #окружность #треугольник #теорема

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16Скачать

Геометрия. ОГЭ по математике. Задание 16

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данирСкачать

РАДИУС вписанной окружности #математика #огэ #огэматематика #данир

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школаСкачать

Радиус вписанной окружности #математика #егэ #математикапрофиль2023 #fyp #школа
Поделиться или сохранить к себе: