Написать уравнение окружности имеющей центр в фокусе параболы у2 2рх (8 видео)

Задача 54735 2. Записать уравнение окружности.

Содержание

Условие
Решение
Написать уравнение окружности имеющей центр в фокусе параболы у2 2рх
В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).
Парабола
📹 Видео

Условие

2. Записать уравнение окружности, проходящей через указанные точки и имеющей центр в точке А.
2.3 Фокусы гиперболы 24y2 – 25×2 = 600, A(0, –8)

Решение

[m]24y^2 – 25x^2 = 600 [/m]

Делим обе части уравнения на 600

Гипербола, фокусы которой расположены [b]на оси Оу.[/b]

F_(1)(0;-7) и F_(2)(0;7) — фокусы
Далее, что-то не так в условии:

Три точки F_(1)(0;-7) и F_(2)(0;7) и А (0;-8) лежат на одной прямой.

Не провести окружность с таким условием

(x+8)^2+y^2=113 — уравнение окружности

либо уравнение гиперболы

[m]24x^2 – 25y^2 = 600 [/m]

и фокусы в точках F_(1)(-7;0) и F_(2)(7;8)

Тогда
x^2+(y+8)^2=113 — уравнение окружности

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Написать уравнение окружности имеющей центр в фокусе параболы у2 2рх

Ах 2 + 2Вху + Су 2 + 2 Dx + 2 Ey + F = 0.

Существует система координат (не обязательно декартова прямоугольная), в которой данное уравнение может быть представлено в одном из видов, приведенных ниже.

1) — уравнение эллипса.

2) — уравнение “мнимого” эллипса.

3) — уравнение гиперболы.

4) a 2 x 2 – c 2 y 2 = 0 – уравнение двух пересекающихся прямых.

5) y 2 = 2 px – уравнение параболы.

6) y 2 – a 2 = 0 – уравнение двух параллельных прямых.

7) y 2 + a 2 = 0 – уравнение двух “мнимых” параллельных прямых.

8) y 2 = 0 – пара совпадающих прямых.

9) ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 – уравнение окружности.

В окружности ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2 = R 2 центр имеет координаты ( a ; b ).

Пример. Найти координаты центра и радиус окружности, если ее уравнение задано в виде:

2 x 2 + 2 y 2 – 8 x + 5 y – 4 = 0.

Для нахождения координат центра и радиуса окружности данное уравнение необходимо привести к виду, указанному выше в п.9. Для этого выделим полные квадраты:

x 2 + y 2 – 4 x + 2,5 y – 2 = 0

x 2 – 4 x + 4 –4 + y 2 + 2,5 y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 – 25/16 – 6 = 0

( x – 2) 2 + ( y + 5/4) 2 = 121/16

Отсюда находим О (2; -5/4); R = 11/4.

Определение. Эллипсом называется линия, заданная уравнением .

О пределение. Фокусами называются такие две точки, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса есть постоянная величина.

с – половина расстояния между фокусами;

a – большая полуось;

b – малая полуось.

Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соотношением:

Доказательство: В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с вертикальной осью, r ₁ + r ₂ = 2 (по теореме Пифагора). В случае , если точка М находится на пересечении эллипса с горизонтальной осью, r ₁ + r ₂ = a – c + a + c . Т.к. по определению сумма r ₁ + r ₂ – постоянная величина, то , приравнивая, получаем:

a 2 = b 2 + c 2

Определение. Форма эллипса определяется характеристикой, которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.

Определение. Величина k = b / a называется коэффициентом сжатия эллипса, а величина 1 – k = ( a – b )/ a называется сжатием эллипса.

Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k 2 = 1 – e 2 .

Если a = b ( c = 0, e = 0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в окружность.

Если для точки М( х₁, у₁) выполняется условие: , то она находится внутри эллипса, а если , то точка находится вне эллипса.

Теорема. Для произвольной точки М( х , у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:

r ₁ = a – ex , r ₂ = a + ex .

Доказательство. Выше было показано, что r ₁ + r ₂ = 2 a . Кроме того, из геометрических соображений можно записать:

После возведения в квадрат и приведения подобных слагаемых:

Аналогично доказывается, что r ₂ = a + ex . Теорема доказана.

С эллипсом связаны две прямые, называемые директрисами. Их уравнения:

x = a / e ; x = — a / e .

Теорема. Для того , чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.

Пример. Составить уравнение прямой, проходящей через левый фокус и нижнюю вершину эллипса, заданного уравнением:

1) Координаты нижней вершины: x = 0; y 2 = 16; y = -4.

2) Координаты левого фокуса: c 2 = a 2 – b 2 = 25 – 16 = 9; c = 3; F ₂ (-3; 0).

3) Уравнение прямой, проходящей через две точки:

Пример. Составить уравнение эллипса, если его фокусы F ₁ (0; 0), F ₂ (1; 1), большая ось равна 2.

Уравнение эллипса имеет вид: . Расстояние между фокусами:

2 c = , таким образом, a 2 – b 2 = c 2 = ½

по условию 2а = 2, следовательно а = 1, b =

Итого: .

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая расстояния между фокусами.

По определению ï r ₁ – r ₂ ï = 2 a . F ₁ , F ₂ – фокусы гиперболы. F ₁ F ₂ = 2 c .

Выберем на гиперболе произвольную точку М( х , у). Тогда :

обозначим с 2 – а 2 = b 2 (геометрически эта величина – меньшая полуось)

Получили каноническое уравнение гиперболы.

Гипербола симметрична относительно середины отрезка, соединяющего фокусы и относительно осей координат.

Ось 2а называется действительной осью гиперболы.

Ось 2 b называется мнимой осью гиперболы.

Гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых

Определение. Отношение называется эксцентриситетом гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – действительная полуось.

С учетом того, что с 2 – а 2 = b 2 :

Если а = b , e = , то гипербола называется равнобочной (равносторонней).

Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на расстоянии a / e от него, называются директрисами гиперболы. Их уравнения: .

Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гиперболы до какого — либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соответствующей этому фокусу директрисы, то отношение r / d – величина постоянная, равная эксцентриситету.

Доказательство. Изобразим схематично гиперболу.

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

Парабола

Параболой называется геометрическое место точек, для каждой из которых расстояние до некоторой фиксированной точки плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой, называемой директрисой. Фокус параболы обозначается буквой F, расстояние от фокуса до директрисы — буквой р. Число р называется параметром параболы.

Пусть дана некоторая парабола. Введём декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила через фокус данной параболы перпендикулярно к директрисе и была направлена от директрисы к фокусу; начало координат расположим посредине между фокусом и директрисой (черт. 19). В этой системе координат данная парабола будет определяться уравнением

Уравнение (1) называется каноническим уравнением параболы. В этой же системе координат директриса данной параболы имеет уравнение

х = — .

Фокальный радиус произвольной точки М(х; у) параболы (т. е. длина отрезка FM) может быть вычислен по формуле

r = x +

Парабола имеет одну ось симметрии, называемую осью параболы, с которой она пересекается в единственной точке. Точка пересечения параболы

Черт. 19. Черт. 20.

с осью называется её вершиной. При указанном выше выборе координатной системы ось параболы совмещена с осью абсцисс, вершина находится в начале координат, вся парабола лежит в правой полуплоскости.

Черт. 21. Черт. 22.

Если координатная система выбрана так, что ось абсцисс совмещена с осью параболы, начало координат — с вершиной, но парабола лежит в левой полуплоскости (черт. 20), то её уравнение будет иметь вид

В случае, когда начало координат находится в вершине, а с осью совмещена ось ординат, парабола будет иметь уравнение

если она лежит в верхней полуплоскости (черт. 21), и

— если в нижней полуплоскости (черт. 22).

Каждое из уравнений параболы (2), (3), (4), как и уравнение (1), называется каноническим.

583. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола расположена в правой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и её параметр р = 3;

2) парабола расположена в левой полуплоскости, симметрично относительно оси Ох, и её параметр р = 0,5;

3) парабола расположена в верхней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу, и её параметр p = ;

4) парабола расположена в нижней полуплоскости, симметрично относительно оси Оу, и её параметр р =3.

584. Определить величину параметра и расположение относительно координатных осей следующих парабол:

585. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что:

1) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку А (9; 6);

2) парабола симметрично расположена относительно оси Ох и проходит через точку В(—1; 3);

3) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку С(1; 1);

4) парабола симметрично расположена относительно оси Оу и проходит через точку D (4; — 8).

586. Стальной трос подвешен за два конца; точки крепления расположены на одинаковой высоте; расстояние между ними равно 20 м. Величина его прогиба на расстоянии 2 м от точки крепления, считая по горизонтали, равна 14,4 см. Определить величину прогиба этого троса в середине между точками крепления, приближённо считая, что трос имеет форму дуги параболы.

587. Составить уравнение параболы, которая имеет фокус F(0; —3) и проходит через начало координат, зная, что её осью служит ось Оу.

588. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = + 2, 2) у = +, 3) у = — 3,

4) у = — 2, 5) х = + , 6) х = — 5,

7) х = — , 8) х = + 4.

Изобразить эти линии на чертеже.

589. Найти фокус F и уравнение директрисы параболы у2 = 24х.

590. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2 = 20х, если абсцисса точки М равна 7.

591. Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2=12х, если ордината точки М равна 6.

592. На параболе уа=16х найти точки, фокальный радиус которых равен 13.

593. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(— 7; 0) и уравнение директрисы х—7 = 0.

594. Составить уравнение параболы, зная, что её вершина совпадает с точкой (а; 3), параметр равен р, ось параллельна оси Ох и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Ох;

2) в отрицательном направлении оси Ох.

595 . Составить уравнение параболы, зная, что её вершина совпадает с точкой (а; (3), параметр равен р, ось параллельна оси Оу и парабола простирается в бесконечность:

1) в положительном направлении оси Оу (т. е. парабола является восходящей);

2) в отрицательном направлении оси Оу (т. е. парабола является нисходящей).

596. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины А, величину параметра р и уравнение директрисы:

597. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины А и величину параметра р:

1) y = х2 + х + 2, 2) y = 4x2 — 8x + 7,

3) y = — х2 + 2х— 7.

698. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты её вершины А и величину параметра р:

1) х = 2у2 — 12у + 14, 2) х = — у2 + у,

599. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:

1) у = 3 — 4, 2) х = — 4 + 3,

3) х = 2 — , 4) у = — 5 — .

Изобразить эти линии на чертеже.

600. Составить уравнение параболы, если даны её фокус F(7; 2) и директриса х — 5 = 0.

601. Составить уравнение параболы, если даны её фокус F(4; 3) и директриса у + 1 = 0.

602. Составить уравнение параболы, если даны её фокус F(2; —1) и директриса х — у — 1 = 0.

603. Дана вершина параболы А (6; —3) и уравнение ее директрисы

Найти фокус F этой параболы.

604. Дана вершина параболы А(—2; —1) и уравнение её директрисы

Составить уравнение этой параболы.

605. Определить точки пересечения прямой х + у— 3 = 0, и параболы х2 = 4у.

606. Определить точки пересечения прямой 3х + 4у—12 = 0 и параболы у2 = — 9х.

607. Определить точки пересечения прямой 3х — 2у + 6 = 0 и параболы у2 = 6х.

608. В следующих случаях определить, как расположена данная прямая относительно данной параболы — пересекает ли, касается или проходит вне её:

609. Определить, при каких значениях углового коэффициента k

прямая у = Ах + 2:

1) пересекает параболу у2 = 4х;

3) проходит вне этой параболы.

610. Вывести условие, при котором прямая y = kx + b касается параболы у2 = 2рх.

611. Доказать, что к параболе у2 = 2рх можно провести одну и только одну касательную с угловым коэффициентом k ≠ 0.

612. Составить уравнение касательной к параболе у2 = 2рх в её точке М1(х1; у1)

613. Составить уравнение прямой, которая касается параболы у2 = 8х и параллельна прямой

614. Составить уравнение прямой, которая касается параболы х2=16у и перпендикулярна к прямой

615. Провести касательную к параболе у2=12х параллельно прямой

и вычислить расстояние d между этой касательной и данной прямой.

616. На параболе у2 = 64х найти точку М1 ближайшую к прямой

и вычислить расстояние d от точки М1 до этой прямой.

617. Составить уравнения касательных к параболе у2 = 36х, проведённых из точки А (2; 9).

618. К параболе у2 = 2рх проведена касательная. Доказать, что вершина этой параболы лежит посредине между точкой пересечения касательной с осью Ох и проекцией точки касания на ось Ох.

619. Из точки А (5; 9) проведены касательные к параболе y2 = 5х. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.

620. Из точки Р(—3; 12) проведены касательные к параболе

Вычислить расстояние d от точки Р до хорды параболы, соединяющей точки касания.

621. Определить точки пересечения эллипса параболы у2 = 24х.

622. Определить точки пересечения гиперболы

623. Определить точки пересечения двух парабол:

624. Доказать, что прямая, касающаяся параболы в некоторой точке М, составляет равные углы с фокальным радиусом точки М и с лучом, который, исходя из М, идёт параллельно оси параболы в ту сторону, куда парабола бесконечно простирается.

625. Из фокуса параболы

под острым углом а к оси Ох направлен луч света. Известно, что 3 tgα = . Дойдя до параболы, луч от неё отразился. Составить