Наклонная в прямоугольном треугольнике (6 видео)

Свойства перпендикуляра и наклонной

Свойства перпендикуляра и наклонной вытекают из теоремы Пифагора и признаков равенства прямоугольных треугольников.

1) Любая наклонная больше перпендикуляра.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольник ABC — прямоугольный.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC².

Так как BC>0, то и BC²>0.

Следовательно, AB²+BC²>AB². Отсюда, AC²>AB². Поскольку AC>0 и AB>0, то AC>AB.

Что и требовалось доказать.

2) Равные наклонные имеют равные проекции.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

1) AC=AD (по условию);

2) AB — общая сторона.

Следовательно, треугольники ABC и ABD равны (по катету и гипотенузе).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон. Значит, BC=BD.

Что и требовалось доказать.

И обратно: если проекции наклонных равны, то и наклонные тоже равны.

Кроме того, из этого доказательства следует, что равные наклонные образуют равные углы с прямой a; углы между равными наклонными и перпендикуляром также равны.

3) Из двух наклонных больше та, у которой проекция больше.

Дано: A∉a, AB — перпендикуляр,

AC и AD — наклонные,

BC и BD — их проекции,

Так как AB — перпендикуляр к прямой a, то треугольники ABC и ABD — прямоугольные.

По теореме Пифагора AC²=AB²+BC² и AD²=AB²+BD².

Отсюда, AB²=AC²-BC² и AB²=AD²-BD².

Приравнивая правые части равенств, имеем: AC²-BC²=AD²-BD².

Так как BC>BD, то и BC²>BD².

Значит, и AC²>AD². А так как AC>0 и AD>0, то AC>AD.

Что и требовалось доказать.

И обратно: б о льшей наклонной соответствует б о льшая проекция.

Видео:Геометрия 8. Урок 10 - Теорема Пифагора. Наклонная и проекция.Скачать

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Урок №10. Перпендикуляр и наклонные

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме.

Определение перпендикуляра, наклонной и проекции наклонной на плоскость;
Доказательство теоремы о трех перпендикулярах;
Определение угла между прямой и плоскостью.

Глоссарий по теме

Теорема о трех перпендикулярах: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной.

Обратная теорема: прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, перпендикулярна и к ее проекции.

Определение: углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф. Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни. – 4-е изд. – М.: Просвещение, 2017. – 255 с.

Глазков Ю. А., Юдина И. И., Бутузов В. Ф. Рабочая тетрадь по геометрии для 10 класса. Базовый и профильный уровень. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим плоскость α и точку А, не лежащую в этой плоскости (рис. 1). Проведем через точку А прямую, перпендикулярную к плоскости α, и обозначим буквой Н точку пересечения этой прямой с плоскостью α. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, а точка Н — основанием перпендикуляра. Отметим в плоскости α какую-нибудь точку М, отличную от Н, и проведем отрезок AM. Он называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α, а точка М – основанием наклонной. Отрезок НМ называется проекцией наклонной на плоскость α.

Видео:Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник – треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Сторона, противоположная прямому углу, называется гипотенузой прямоугольного треугольника.

Стороны, прилежащие к прямому углу, называются катетами .

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по двум катетам ).

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по катету и острому углу ).

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и острому углу ).

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны ( по гипотенузе и катету ).