Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

  1. Три стороны треугольника.
  2. Две стороны треугольника и угол между ними.
  3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
  4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Видео:Уравнения стороны треугольника и медианыСкачать

Уравнения стороны треугольника и медианы

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе(1)
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНайти Нахождение стороны треугольника по биссектрисе(Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе.
Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе.
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе, Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

И, наконец, находим угол C:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе

Видео:7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Далее, из формулы

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: Нахождение стороны треугольника по биссектрисеи Нахождение стороны треугольника по биссектрисе(Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе,
Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Из формулы (3) найдем cosA:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Видео:Формула для биссектрисы треугольникаСкачать

Формула для биссектрисы треугольника

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе, Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе, Нахождение стороны треугольника по биссектрисе.

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: Нахождение стороны треугольника по биссектрисеи углы Нахождение стороны треугольника по биссектрисе(Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеНахождение стороны треугольника по биссектрисе

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе
Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Видео:Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16Скачать

Известна биссектриса равностороннего треугольника. Найти сторону этого треугольника. ОГЭ №16

Длина биссектрисы треугольника

Длина биссектрисы треугольника может быть найдена разными способами, в зависимости от исходных данных.

I. Через длины двух сторон и отрезки, на которые биссектриса делит третью сторону.

Квадрат биссектрисы треугольника равен разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Соответственно, длина биссектрисы равна квадратному корню из разности между произведением двух его сторон и произведением отрезков, на которые эта биссектриса делит третью сторону.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеДано:

СF — биссектриса ∠ABC

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеДоказательство:

Опишем около треугольника ABC окружность и продлим биссектрису CF до пересечения с окружностью в точке D. Соединим точки A и D отрезком.

Рассмотрим треугольники BCF и DCA.

∠BCF=∠DCA (по условию);

Значит, треугольники BFC и DCA подобны (по двум углам).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Что и требовалось доказать.

II. Через три стороны треугольника

Длина биссектрисы треугольника выражается через длины его сторон a, b и c по формуле

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисеПо свойству биссектрисы треугольника:

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Согласно утверждению 1,

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Что и требовалось доказать.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

III Через две стороны треугольника и угол между ними.

Длина биссектрисы треугольника через две стороны, образующие угол, из вершины которого исходит биссектриса, и угол между этими сторонами выражается по формуле

Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Все формулы для треугольника

Видео:Свойство биссектрисы треугольника с доказательствомСкачать

Свойство биссектрисы треугольника с доказательством

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Видео:Найдите биссектрису треугольникаСкачать

Найдите биссектрису треугольника

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формулы для катета, ( b ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Видео:По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисункеСкачать

По силам каждому ★ Найдите стороны треугольника на рисунке

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формулы длины равных сторон , (a):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Видео:Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Нахождение стороны треугольника по биссектрисе

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

💡 Видео

Нахождение стороны прямоугольного треугольникаСкачать

Нахождение стороны прямоугольного треугольника

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты? | Ботай со мной #031 | Борис ТрушинСкачать

Как найти длину биссектрисы, медианы и высоты?  | Ботай со мной #031 | Борис Трушин

Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать

Теорема Фалеса. 8 класс.

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать

Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решения

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольникСкачать

КАК НАЙТИ ВЫСОТУ ТРЕУГОЛЬНИКА? ЕГЭ и ОГЭ #shorts #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #треугольник

Свойство биссектрисы треугольника. Нахождение сторон треугольника. Геометрия 8 класс. Математика.Скачать

Свойство биссектрисы треугольника. Нахождение сторон треугольника. Геометрия 8 класс. Математика.

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

Как найти биссектрису в треугольнике? 2 формулы биссектрисыСкачать

Как найти биссектрису в треугольнике?  2 формулы биссектрисы

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Построение медианы в треугольникеСкачать

Построение медианы в треугольнике
Поделиться или сохранить к себе: