На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

sin α = y —
ордината точки Pα
cos α = x —
абсцисса точки Pα

1. Определение тригонометрических функций
Через единичную окружность
(R = 1)
Через произвольную окружность
(R — радиус окружности)
Через прямоугольный треугольник
(для острых углов)
tg α = y/x = sin α / cos α

ctg α = x/y = cos α / sin α

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

2. Тригонометрические функции числового аргумента

sin (числа α) = sin (угла в α радиан)

cos (числа α) = cos (угла в α радиан)

tg (числа α) = tg (угла в α радиан)

ctg (числа α) = ctg (угла в α радиан)

3. Линии тангенсов и котангенсов

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

tg α = yA
ордината соответствующей точки линии тангенсов

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

СВ — линия котангенсов (СВ || Oх)
ctg α = xB
абсцисса соответствующей точки линии котангенсов

Объяснение и обоснование

1. Определение тригонометрических функций. Из курса геометрии вам известно определение тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике. Напомним их.

Синусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы: sin α = a / c (рис. 61).

Косинусом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы: cos α = b / c.

Тангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего: tg α = a / b.

Котангенсом острого угла α в прямоугольном треугольнике называется отношение длины прилежащего катета к длине противолежащего: ctg α = b / a.

В курсе геометрии было обосновано, что синус и косинус острого угла зависят только от величины угла и не зависят от длин сторон треугольника и его расположения, то есть синус и косинус (а таким образом, и тангенс, и котангенс) являются функциями величины угла, которые называются тригонометрическими функциями.На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Для сокращения формулировок мы будем использовать термин «тригонометрическая функция угла», понимая, что рассматривается «тригонометрическая функция величины угла» (при этом величина угла может быть выражена как в радианах, так и в градусах).

Также в курсе геометрии с использованием окружности с центром в начале координат было введено определение тригонометрических функций для углов от 0° до 180°. Эти определения можно применить для нахождения тригонометрических функций любых углов. Напомним их (но теперь будем рассматривать любые углы α от –∞ до +∞).

Возьмем окружность радиуса R с центром в начале координат. Обозначим точку окружности на положительной полуоси абсцисс через P0 (рис. 62). Необходимые нам углы будем образовывать поворотом радиуса OP0 около точки O. Пусть в результате поворота на угол α около точки O радиус OP0 займет положение OPα (говорят, что при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα, а точка P0 переходит в точку Pα). Напомним, что при α > 0 радиус OP0 поворачивается против часовой стрелки, а при α * . Удобно взять R = 1, что позволит несколько упростить приведенные определения тригонометрических функций.

* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется.

Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.

Пусть при повороте на угол α точка P0 (1; 0) переходит в точку Pα (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα) (рис. 63).

Синусом угла α называется ордината точки Pα (x; y) единичной окружности:

Косинусом угла α называется абсцисса точки Pα (x; y) единичной окружности:

Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссеНа единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).

Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.

Пример

Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.

♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP0 переходит в радиус OP2π/3 (а точка P0 переходит в точку P2π/3). Координаты точки P2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = — OA=−1/2; y = AP2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = — √3; ctg 2π/3 = — 1/√3.◊

Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).

Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.

2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:

синус числа α — это синус угла в α радиан;
косинус числа α — это косинус угла в α радиан.

Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).

αградусы0 º30 º45 º60 º90 º180 º270 º360 º
радианы0π/6π/4π/3π/2π3π/2
sin α01/2√2/2√3/210-10
cos α1√3/2√2/21/20-101
tg α0√3/31√300
ctg α√31√3/300

3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.

♦ Проведем через точку P0 единичной окружности прямую AP0, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка Pα не лежит на оси Oy и прямая OPα пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OPα проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку Pα с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки Pα удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OPα имеет уравнениеНа единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

y = (tg α) x. Прямая AP0 имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OPα подставить x = 1. Получаем yA = tg α. Таким образом,

тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊

Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка Pα не лежит на оси Ox), то прямая OPα пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (xB; 1).

Аналогично вышеизложенному обосновывается, что xB = ctg α, таким образом,

котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.

Вопросы для контроля

1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.

2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.

3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?

Упражнения

1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P0 (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка Pα в заданиях 3–6?
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=7π/6;

4) α=−3π/4; 5) α=4π/3; 6) α=7π/4.

2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=−π/2;

4) α=5π/2; 5*) α=−5π/6; 6*) α=3π/4.

3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5; 2) α=−π/6; 3) α=5π/6;

4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3; 2) α=−3π/4; 3) α=11π/6;

5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3; 2) α=3π/4; 3) α=−11π/6;

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ —  Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Синус, косинус, тангенс и котангенс: определения в тригонометрии, примеры, формулы

Тригонометрия — раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) — отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) — отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) — отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) — отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса — вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружности

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от — ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α — это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α — это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α — это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α — это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , — 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Тригонометрическая окружность. Как выучить?

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности — точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t — ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t — абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t — отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α — это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс — основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Видео:9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенсСкачать

9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенс

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№33 - Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а.)Скачать

Алгебра 10 класс (Урок№33 - Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а.)

Основное тригонометрическое тождество

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

О чем эта статья:

9 класс, 10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.

Связь между sin и cos одного угла

Вы уже наверняка знаете, что тождественный — это равный.

Основные тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла. Это значит, что любую из этих функций можно найти, если известна другая функция.

Ключ к сердцу тригонометрии — основное тригонометрическое тождество. Запомните и полюбите его, чтобы отношения с тригонометрией сложились самым наилучшим образом:

sin 2 α + cos 2 α = 1

Из основного тождества вытекают равенства тангенса и котангенса, поэтому оно — ключевое.

Равенство tg 2 α + 1 = 1/cos 2 α и равенство 1 + сtg 2 α + 1 = 1/sin 2 α выводят из основного тождества, разделив обе части на sin 2 α и cos 2 α.

В результате деления получаем:

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Поэтому основному тригонометрическому тождеству уделяется максимум внимания. Но какая же «метрия» может обойтись без доказательств. Видите тождество — доказывайте, не раздумывая.

sin 2 α + cos 2 α = 1

Сумма квадратов синуса и косинуса одного угла тождественно равна единице.

Чтобы доказать тождество, обратимся к теме единичной окружности.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Радиус единичной окружности равен единице.

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

Докажем тождество sin 2 α + cos 2 α = 1

На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Итак, нам известны координаты точки A (1; 0).

Произвольный угол α, тогда cos α = x0 = ОB.

  • Если развернуть точку A на угол α, то точка A становится на место точки A1.
  • По определениям:
    • Синус угла (sin α) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе.
    • Косинус угла (cos α) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе.

    Это значит, что точка A1 получает координаты cos α, sin α.

  • Опускаем перпендикулярную прямую A1B на x0 из точки A1.

    Образовался прямоугольный треугольник OA1B.

    |OB| = |x|.

    Гипотенуза OA1 имеет значение, равное радиусу единичной окружности.

    |OA1| = 1.

    Применяя полученное выражение, записываем равенство по теореме Пифагора, поскольку получившийся угол — прямой:

    |A1B| 2 + |OB| 2 = |OA1| 2 .

    Записываем в виде: |y| 2 + |x| 2 = 1 2 .

    Это значит, что y 2 + x 2 = 1.
    sin угла α = y
    cos угла α = x

    Вставляем данные угла вместо координат точек:

    OB = cos α
    A1B = sin α
    A1O = 1

  • Получаем основное тригонометрическое тождество: sin 2 α + cos 2 α = 1.
    Что и требовалось доказать.
  • Основное тригонометрическое тождество связывает синус угла и косинус угла. Зная одно, вы легко можете найти другое. Нужно лишь извлечь квадратный корень по формулам:

    • sin α = ±На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    • cos α = ±На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Как видите, перед корнем может стоять и минус, и плюс. Основное тригонометрическое тождество не дает понять, положительным или отрицательным был исходный синус/косинус угла.

    Как правило, в задачках с подобными формулами уже есть условия, которые помогают определиться со знаком. Обычно такое условие — указание на координатную четверть. Таким образом без труда можно определить, какой знак нам требуется.

    Видео:Определение синуса косинуса тангенса котангенса на единичной окружности. Шпаргалка по тригонометрииСкачать

    Определение синуса косинуса тангенса котангенса на единичной окружности. Шпаргалка по тригонометрии

    Тангенс и котангенс через синус и косинус

    • Синус угла — это ордината y.
    • Косинус угла — это абсцисса x.
    • Тангенс угла — это отношение ординаты к абсциссе.
    • Котангенс угла — это отношение абсциссы к ординате.

    Из всего этого множества красивых, но не сильно понятных слов, можно сделать вывод о зависимости одного от другого. Такая связь помогает отдельно преобразовывать нужные величины.

    • tg α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    • ctg α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Исходя из определений:

    • tg α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе= На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    • ctg α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе= На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Это позволяет сделать вывод, что тригонометрические тождества

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    задаются sin и cos углов.

    Отсюда следует, что тангенс угла — это отношение синуса угла к косинусу. А котангенс угла — это отношение косинуса к синусу.

    Отдельно стоит обратить внимание на то, что тригонометрические тождества

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    верны для всех углов α, значения которых вписываются в диапазон.

    • Например, выражение На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссеприменимо для любого угла α, не равного На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе+ π + z, где z — это любое целое число. В противном случае, в знаменателе будет стоять 0.

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    применимо для любого угла α, не равного π * z, где z — это любое целое число.

    Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

    Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать

    ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс

    Связь между тангенсом и котангенсом

    Уж насколько очевидной кажется связь между ранее рассмотренными тождествами, настолько еще более наглядна связь между тангенсом и котангенсом одного угла.

    • Тождество записывается в следующем виде:
      tg α * ctg α = 1.

    Такое тождество применимо и справедливо при любых углах α, значение которых не равняются π/2 * z, где z — это любое целое число. В противном случае, функции не будут определены.

    Как и любое другое, данное тригонометрическое тождество подлежит доказательству. Доказывать его очень просто.

    tg α * ctg α = 1.

    ctg α = x/y

  • Отсюда следует, что tg α * ctg α = y/x * x/y = 1
  • Преобразовываем выражение, подставляем На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссеи На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе,
    получаем: На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
  • Получается, что тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл — это взаимно обратные числа.

    Если числа a и b взаимно обратные — это значит, что число a — это число, обратное числу b, а число b — это число, обратное числу a. Кроме того, это значит, что числу a обратно число b, а числу b обратно число a. Короче, и так, и эдак.

    Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

    10 класс, 11 урок, Числовая окружность

    Тангенс и косинус, котангенс и синус

    Все тождества выше позволяют сделать вывод, что тангенс угла связан с косинусом угла, а котангенс угла — с синусом.

    Эта связь становится очевидна, если взглянуть на тождества:

    • tg 2 α + 1 = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Сумма квадрата тангенса угла и единицы равна числу, обратному квадрату косинуса этого угла.

    • 1 + ctg 2 α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Сумма единицы и квадрата котангенса угла равна числу, обратному квадрату синуса этого угла.

    Вывести оба этих тождества можно из основного тригонометрического тождества:
    sin 2 α + cos 2 α = 1.

    1. Для этого нужно поделить обе части тождества на cos 2 α, где косинус не равен нулю.
    2. В результате деления получаем формулу tg 2 α + 1 = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
    3. Если обе части основного тригонометрического тождества sin 2 α + cos 2 α = 1 разделить на sin 2 α, где синус не равен нулю, то получим тождество:
      1 + ctg 2 α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе.
    4. Отсюда можно сделать вывод, что тригонометрическое тождество tg 2 α + 1 = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссеприменимо для любого угла α, не равного На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе+ π + z, где z — это любое целое число.
    5. А тригонометрическое тождество 1 + ctg 2 α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссеприменимо для любого угла, не равного π * z, где z — это любое целое число.

    Хорошо бы выучить все формулы и запомнить формулировки тождеств наизусть. Чтобы это сделать, сохраняйте себе табличку с основными формулами.

    Основные тригонометрические тождества

    sin 2 α + cos 2 α = 1

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    tg 2 α + 1 = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    1 + ctg 2 α = На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Чтобы тратить еще меньше времени на решение задач, сохраняйте таблицу значений тригонометрических функции углов, которые чаще всего встречаются в задачах.

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать

    Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТ

    Примеры решения задач

    Разберем пару задачек, для решения которых нужно знать основные тождества. Рассмотрите внимательно предложенные решения и потренируйтесь самостоятельно.

    Задачка 1. Найдите cos α, tg α, ctg α при условии, что sin α = 12/13.

      Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Далее подставляем значения sin α:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Вычисляем:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Нам известны значения sin α и cos α, поэтому можно легко найти тангенс, используя формулу:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Таким же образом, используя формулу, вычисляем значение котангенса:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Задачка 2. Найдите значение cos α,
    если:
    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

      Чтобы решить задачу, необходимы следующие тригонометрические тождества:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Выражаем cos α из тригонометрической единицы:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Далее подставляем значения sin α:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

  • Вычисляем:
    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
  • То же самое проделываем со вторым значение sin α

    Подставляем значения sin α:

    На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

  • Вычисляем: На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе
  • На единичной окружности тангенс это отношение ординаты к абсциссе

    Как видите, задачи решаются достаточно просто, нужно лишь верно применять формулы основных тождеств.

    💥 Видео

    9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать

    9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1

    6 Линия тангенсов и линия котангенсовСкачать

    6 Линия тангенсов и линия котангенсов

    Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэСкачать

    Как просто запомнить, что такое sin, cos, tg?! #косинус #синус #тангенс #математика #огэ #егэ

    Алгебра 10 класс (Урок№31 - Знаки синуса, косинуса и тангенса.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№31 - Знаки синуса, косинуса и тангенса.)

    Определение тангенса и котангенса на единичной окружности. Алгебра 10 класс.Скачать

    Определение тангенса и котангенса на единичной окружности. Алгебра 10 класс.

    Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)Скачать

    Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)

    Алгебра 10 класс Определение синуса, косинуса, тангенса угла ЛекцияСкачать

    Алгебра 10 класс Определение синуса, косинуса, тангенса угла Лекция

    Тангенс и котангенс произвольного угла. 9 класс.Скачать

    Тангенс и котангенс произвольного угла. 9 класс.
    Поделиться или сохранить к себе: