На единичной окружности построить точку полученную поворотом (6 видео)

ГДЗ по алгебре 10‐11 класс Алимов Базовый и углубленный уровень упражнение — 417

Авторы: Ш.А. Алимов , Ю.М. Колягин , М.В. Ткачева .

Издательство: Просвещение 2015

Тип: Учебник, Базовый и углубленный уровень

Подробный решебник (ГДЗ) по Алгебре за 10‐11 (десятый‐одиннадцатый) класс — готовый ответ упражнение — 417. Авторы учебника: Алимов, Колягин, Ткачева, Базовый и углубленный уровень. Издательство: Просвещение 2015.

417. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1; 0) на заданный угол 1) π/4; 2) – π/3; 3) -3/4π; 4) 4 π/3; 5) -5/4 π; 6) -225°.

Содержание

Алгебра
Числовая и единичная окружность
Откладывание углов на единичной окружности
Контрольная работа №1 карточки к зачету №1
Главная > Реферат
📸 Видео

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

Числовая и единичная окружность

В средней школе мы уже познакомились с координатной, или числовой прямой. Так называют абстрактную прямую, на которой выбрана точка отсчета, определен единичный отрезок, а также задано направление, в котором следует откладывать положительные числа. С помощью координатной прямой удается наглядно представлять сложение и вычитание как положительных, так и отрицательных чисел, решать задачи, связанные с перемещением по прямой, и делать многое другое.

Однако порою приходится рассматривать задачи, связанные с движением по окружности, а также складывать и вычитать углы. Здесь математикам помогает другая абстракция – числовая окружность. Пусть два гонщика (Вася и Петя) едут по круговой трассе, чья протяженность составляет 1 км. За минуту Вася проехал 1250 м, а Петя преодолел только 500 м. Попытаемся показать их положение графически.

Построим на координатной плоскости окружность с центром в начале координат длиной 1 км. Будем считать, старт находится в крайней правой точке трассы, на пересечении оси Ох и окружности. Также условимся, что гонщики едут против часовой стрелки. Тогда получим такую картинку:

Петя проедет ровно половину окружности и окажется в крайней левой точке трассы. Вася же за минуту успел сделать полный круг (1 км) и проехать ещё 250 м, а потому оказался в верхней точке.

Теперь предположим, что Петя стоит на месте, а Вася проехал ещё 250 м (четверть круга). В результате оба пилота оказались в одной точке, но проехали они разное расстояние! Получается, что по положению гонщика невозможно однозначно определить, сколько именно метров он проехал.

Заметим, что очень удобно характеризовать положение точки на числовой окружности с помощью угла. Достаточно соединить точку отрезком с началом координат. Полученный отрезок образует с прямой Ох некоторый угол α:

В тригонометрии предпочитают использовать особую числовую прямую, радиус которой равен единице. По ряду причин, которые станут ясны чуть позже, с ней очень удобно работать. Такую фигуру называют единичной окружностью.

Выглядит единичная окружность так:

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Откладывание углов на единичной окружности

Положение каждой точки на единичной окружности можно указать с помощью угла. Пусть надо найти точку, соответствующую углу 60°. Для этого просто строим угол следующим образом:

Углы, которые откладывают на единичной окружности, называют углами поворота. В данном случае можно утверждать, что точке А соответствует угол поворота, равный 60°.

Отложить можно и угол, больший 90° и даже 180°. Выглядеть они будут примерно так:

Углы можно складывать друг с другом и вычитать. Предположим, нам надо построить угол, равный сумме углов 120° и 110°. Для этого сначала совершить поворот на 120°, а потом от полученного отрезка отложить ещё один угол в 110°:

Ясно, что возможно построить любой угол в диапазоне от 0° до 360°. А можно ли отложить угол, который будет больше 360°? В обычной планиметрии мы не работаем с такими углами, однако в тригонометрии они существуют. Действительно, мы же можем, например, сложить углы 250° и 140°. В итоге получится 250 + 140 = 390°:

В результате мы совершили полный оборот (360°) и вдобавок повернули отрезок ещё на 30°. Получается, что углам в 390° и 30° соответствует одна и та же точка.

Углы можно и вычитать друг из друга. Для этого вычитаемый угол надо отложить в противоположном направлении – не против часовой, а по часовой стрелке. Например, вычитая из 150° угол в 70°, придем в точку, соответствующую 150 – 70 = 80°:

Из арифметики мы помним, что вычитание можно заменить прибавлением противоположного (то есть отрицательного) числа:

Получается, что отложив угол 70° по часовой стрелке, мы прибавили к 150° отрицательный угол (– 70°). То есть на единичной окружности можно откладывать отрицательные углы! Для их получения поворот надо осуществлять по часовой стрелке. Например, угол – 60° будет выглядеть так:

Итак, мы можем откладывать и положительные, и отрицательные углы, а также углы, большие 360°. Вообще в тригонометрии угол может быть равен любому действительному числу. На единичной окружности можно отложить углы величиной 1000°, 1000000° и (– 999999999°) и любые другие, самые большие и самые малые углы. В этом смысле единичная окружность схожа с координатной прямой. Разница лишь в том, что на прямой разным числам всегда соответствуют разные точки, а на окружности разным углам могут соответствовать одни и те же точки.

Ещё раз отметим, что один полный оборот равен 360°. Если отложить на окружности произвольную точку А, которой соответствует угол α, а потом добавить к α ещё 360°, то мы попадем в ту же самую точку:

С точки зрения тригонометрии те углы поворота, которые соответствуют одной точке на единичной окружности, равны друг другу. Поэтому можно записать формулу:

Естественно, при вычитании 360° из угла мы тоже совершим полный поворот, только по часовой стрелке, поэтому верна и другая запись:

Угол, не изменится и в том случае, если мы совершим не один, а два полных оборота, то есть добавим к нему 2•360° = 720°. Можно добавлять к углу два, три, четыре полных поворота, но он не изменится от этого. Обозначим буквой n количество оборотов, которые мы добавляем к углу. Естественно, что n – целое число. Справедливой будет формула:

Например, верны следующие равенства:

15° + 3•360° = 15° + 1080° = 1095°

100° + 10•360° = 100° + 3600° = 3700°

1000° = 1000° – 2•360° = 1000° – 720° = 280°

Очевидно, что любой точке на окружности соответствует какой-то угол α из промежутка 0 ≤ α 1 5

Видео:Решение задач по теме "Поворот точки вокруг начала координат"Скачать

Контрольная работа №1 карточки к зачету №1

Главная > Реферат

Информация о документе
Дата добавления:
Размер:
Доступные форматы для скачивания:

1) Так как 7π = 3٠2π + π , то при повороте на 7π получается та же самая точка, что и при повороте на π, т.е. получается точка с координатами ( — 1; 0). (рис.9 )

2) Так как = -2π — , то при повороте на получается та же самая точка, что и при повороте на — , т.е. получается точка с координатами (0; 1) (рис.10)

Записать все углы, на которые нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку

N .

Из прямоугольного треугольника АON (рис.11) следует, что угол AON равен , т.е. один из возможных углов поворота равен . Следовательно, все углы, на которые нужно повернуть точку (1;0), чтобы получить точку , выражаются так: + 2πk, где k – любое целое число.

Рис.11

Упражнения для самостоятельного решения:

1°. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки (1;0) на заданный угол:

а) 4π; б) — 225°; в) — ; г) —; д) ; е) .

2°. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) 3π; б) —; в) 540°;

г) 810°; д) , k – целое число; е) .

3°. Определить четверть, в которой расположена точка, полученная поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) 1; б) 2,75; в) 3,16; г) 4,95.

4*. На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки Р(1;0) на угол:

а) ; б) ; в) 4,5π; г) — 7π.

5*. Найти координаты точки, полученной поворотом точки Р (1;0) на угол (k – целое число):

а) ; б) ; в) ; г) .

6*. Записать все углы, на которые нужно повернуть точку Р (1;0), чтобы получить точку с координатами:

а) ; б) ;

в) ; г) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА, КОСИНУСА УГЛА

Рис.12

Синусом угла α называется ордината точки, полученной поворотом точки (1;0) вокруг начала координат на угол α (обозначается sin α ).(рис.12)

Косинусом угла α называется абсцисса точки, полученной поворотом точки (1;0 ) вокруг начала координат на угол α ( рис.12 ) (обозначается cos α ).

В этих определениях угол α может выражаться как в градусах, так и в радианах. Например, при повороте точки (1;0) на угол , т.е. угол 90°, получается точка (0;1). Ордината точки ( 0 ; 1 ) равна 1 , поэтому sin = sin 90° = 1; абсцисса этой точки, равна 0 , поэтому cos = cos 90° = 0

Найти sin (- π) и cos (- π).

Точка (1;0) при повороте на угол – π перейдет в точку (-1; 0) (рис.13), следовательно, sin (- π) = 0, cos (- π) = — 1.

Рис.13

Решить уравнение sin x = 0.

Решить уравнение sin x = 0 – это значит найти все углы, синус которых равен нулю. Ординату, равную нулю, имеют две точки единичной окружности (1; 0 )и (- 1; 0 ). Эти точки получаются из точки (1;0) поворотом на углы 0, π, 2π, 3π и т.д., а также на углы — π, — 2π, — 3π и т.д.. следовательно, sin x = 0 при х = πk.,где k – любое целое число т.е. решение можно оформить так:

х = πk., k .

Ответ: х = πk., k

(Z – обозначение множества целых чисел, читается «k принадлежит Z»).

Рассуждая аналогично можно получить следующие решения тригонометрических уравнений:

х = πk., k

х = + 2πk, k

х = — +2πk., k

х = +2πk., k

х = 2πk., k

х = π + 2 πk., k

Приведем таблицу часто встречающихся значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Вычислить: 4sin + cos — tg.

Используя таблицу, получаем

4 sin + cos — tg = 4 ٠+ ٠ -1 = 2 + 1,5 = 2,5.

Упражнения для самостоятельного решения :

а) sin + sin ; б) sin — cos π; в) sin 0 — cos 2π; г) sin3 — cos .

2°. Найти значение выражения:

а) 3 sin + 2 cos — tg; б) ;

в); г) cos 0 – sin 3π.

3°. Решить уравнение:

а) 2 sin x = 0; б) cos x = 0; в) cos x — 1 = 0; г) 1 – sin x = 0.

4*. Найти значение выражения:

а) 2 sin α + cos α при α = ; б) 0,5 cos α — sin α при α = 60°;

в) sin 3 α – cos 2 α при α = ; г) cos + sin при α = .

5*. Решить уравнение:

а) sin x = — 1; б) cos x = 0; в) sin ; г) sin3 x = 0.

Знаки синуса, косинуса и тангенса

Пусть точка движется по единичной окружности против часовой стрелки, тогда синус положителен в первой и второй координатных четвертях (рис.14); косинус положителен в первой и четвертой координатных четвертях (рис.15); тангенс и котангенс положителен в первой и третьей координатных четвертях (рис.16).