Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, но не принадлежит прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Говорят, что прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Это можно записать так: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.
  2. Если Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 90°, то а Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАВ и b Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.
  3. Если Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхОFА = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхЗ = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых5 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых6.
  6. Так как Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых5 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых6 следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхFF1 и b Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхFF1, а аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых
2) Заметим, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхAOF = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхl + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180° и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180° следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхF и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3. Кроме того, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAF. Действительно, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхFAC = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых= Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 = 180° следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAF + Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Так как Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = 90°, то и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпараллельны, то есть Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 161).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, перпендикулярную прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, затем — третью прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, параллельной прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхтретьей прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых5,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых8,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых6,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых7,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых5,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых6,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых7,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 (рис. 166).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 по условию, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBMK =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхANM =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 (рис. 167).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи секущей Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхl +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи секущей Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхAOB = Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAO=Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAK = 26°, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAC = 2 •Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхADK +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1=Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2. Так как Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых||Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Реальная геометрия

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых||Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 187).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых||Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, параллельные третьей прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых||Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых4. Доказать, что Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Так как Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, которая параллельна прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, которые параллельны прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, АВ — секущая,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, параллельные прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— секущая,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать:Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— секущая,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 иМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказать:Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхl +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхl =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхl +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, т. е.Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, т. е.Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 = 90°.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАОВ =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхABD =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхADB =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(рис. 211).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых2 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых3. Значит,Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых1 =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых2.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи АВМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то расстояние между прямыми Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, А Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, С Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, АВМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых, CDМогут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхCAD =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, которая параллельна прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAD +Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, параллельную прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Тогда Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых|| Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхравноудалены от прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхна расстояние Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхравно Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, параллельная Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхравноудалены от прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых. Прямая Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхМогут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых— параллельны.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхи Могут ли быть равными отрезки параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Параллельность прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

О чем эта статья:

10 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnlineСкачать

SOS-ГЕОМЕТРИЯ! Отрезки и углы, смежные и вертикальные углы | Математика TutorOnline

Определение параллельности прямых

Начнем с главного — определимся, какие прямые параллельны согласно евклидовой геометрии. Мы недаром упомянули Евклида, ведь именно в его трудах, написанных за 300 лет до н. э., до нас дошли первые упоминания о параллельности.

Параллельными называются прямые в одной плоскости, не имеющие точек пересечения, даже если их продолжать бесконечно долго. Обозначаются они следующим образом: a II b.

Казалось бы, здесь все просто, но со времен Евклида над определением параллельных прямых и признаками параллельности прямых бились лучшие умы. Особый интерес вызывал 5-й постулат древнегреческого математика: через точку, которая не относится к прямой, в той же плоскости можно провести только одну прямую, параллельную первой. В XIX веке российский математик Н. Лобачевский смог опровергнуть постулат и указать на условия, при которых возможно провести как минимум 2 параллельные прямые через одну точку.

Впрочем, поскольку школьная программа ограничена евклидовой геометрией, вышеуказанное утверждение мы принимаем как аксиому.

На плоскости через любую точку, не принадлежащую некой прямой, можно провести единственную прямую, которая была бы ей параллельна.

Курсы по математике в онлайн-школе Skysmart помогут подтянуть оценки, подготовиться к контрольным, ВПР и экзаменам.

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)

Свойства и признаки параллельных прямых

Есть ряд признаков, по которым можно определить, что одна прямая параллельна другой. К счастью, свойства и признаки параллельности прямых тесно связаны, поэтому не придется запоминать много информации.

Начнем со свойств. Для этого проведем третью прямую, пересекающую параллельные прямые — она будет называться секущей. В результате у нас образуется 8 углов.

Если секущая проходит через две параллельные прямые, то:

    два внутренних односторонних угла образуют в сумме 180°:

∠4 + ∠6 = 180°; ∠3 + ∠5 = 180°.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых
два внутренних накрест лежащих угла равны между собой:

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых
два соответственных угла равны между собой:

∠1 = ∠5, ∠3 = ∠7, ∠4 = ∠8, ∠2 = ∠6.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Если секущая образует перпендикуляр с одной из параллельных прямых, то она будет перпендикулярна и другой.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Вышеуказанные свойства являются одновременно признаками, по которым мы можем сделать вывод о параллельности прямых. Причем достаточно установить и доказать лишь один признак — остальные будут к нему прилагаться.

А сейчас посмотрим, как все это помогает решать задачи и практиковаться в определении параллельности двух прямых.

Задача 1

Прямые MN и KP пересекают две другие прямые, образуя несколько углов. Известно, что ∠1 = 73°; ∠3 = 92°; ∠2 = 73°. Требуется найти величину ∠4.

Решение

Поскольку ∠1 и ∠2 являются соответственными, их равенство говорит о том, что MN II KP. Следовательно, ∠3 = ∠MPK = 92°.

Согласно другому свойству параллельных прямых ∠4 + ∠MPK = 180°.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Задача 2

Две параллельные прямые а и b удалены друг от друга на расстояние 27 см. Секущая к этим прямым образует с одной из них угол в 150°. Требуется найти величину отрезка секущей, расположенного между а и b.

Решение

Поскольку а II b, значит ∠MKD + ∠KDN = 180°.

Соответственно, ∠MKD = 180° — ∠KDN = 180° — 150° = 30°.

Теперь рассмотрим треугольник KDM. Мы знаем, что отрезок DM представляет собой расстояние между прямыми а и b, а значит, DM ┴ b и наш треугольник является прямоугольным.

Поскольку катет, противолежащий углу в 30°, равен ½ гипотенузы, DM = 1/2DK.

Видео:Теорема Фалеса Деление отрезка на заданном отношениеСкачать

Теорема Фалеса  Деление отрезка на заданном отношение

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

§ 15. Свойства параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

(обратная теореме 14.1)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны.

На рисунке 224 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

Пусть ∠ 1 ≠ ∠ 2. Тогда через точку K проведём прямую a 1 так, чтобы ∠ 3 = ∠ 2 (рис. 224). Углы 3 и 2 являются накрест лежащими при прямых a 1 и b и секущей c . Тогда по теореме 14.1 a 1 ‖ b . Получили, что через точку K проходят две прямые, параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельности прямых. Таким образом, наше предположение неверно, и, следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

(обратная теореме 14.3)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то углы, образующие пару соответственных углов, равны.

На рисунке 225 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 = ∠ 2.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 равны как вертикальные. Следовательно, ∠ 1 = ∠ 2. Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

(обратная теореме 14.2)

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180° .

На рисунке 226 прямые a и b параллельны, прямая c — секущая. Докажем, что ∠ 1 + ∠ 2 = 180°.

По теореме 15.1 углы 3 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых a и b и секущей c . Но углы 3 и 1 смежные, поэтому ∠ 1 + ∠ 3 = 180°. Следовательно, ∠ 1 + ∠ 2 = 180°. Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой ( рис. 227 ).

Докажите это следствие самостоятельно.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Задача. Докажите, что все точки одной из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Решение. Пусть прямые a и b параллельны (рис. 228), M и N — две произвольные точки прямой a . Опустим из них перпендикуляры MK и NP на прямую b . Докажем, что MK = NP .

Рассмотрим треугольники MKN и PNK . Отрезок KN — их общая сторона. Так как MK ⊥ b и NP ⊥ b , то MK ‖ NP , а углы MKN и PNK равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и NP и секущей KN .

Аналогично углы MNK и PKN равны как накрест лежащие при параллельных прямых MN и KP и секущей KN . Следовательно, треугольники MKN и PNK равны по стороне и двум прилежащим углам.

Тогда MK = NP . Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Например, на рисунке 228 длина отрезка MK — это расстояние между параллельными прямыми a и b .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Задача. На рисунке 229 отрезок AK — биссектриса треугольника ABC , MK ‖ AC . Докажите, что треугольник AMK — равнобедренный.

Решение. Так как AK — биссектриса треугольника ABC , то ∠ MAK = ∠ KAC .

Углы KAC и MKA равны как накрест лежащие при параллельных прямых MK и AC и секущей AK . Следовательно, ∠ MAK = ∠ MKA .

Тогда треугольник AMK — равнобедренный. Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

  1. Каким свойством обладают накрест лежащие углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  2. Каким свойством обладают соответственные углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  3. Чему равна сумма односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей?
  4. Известно, что прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых. Обязательно ли она перпендикулярна другой прямой?
  5. Что называют расстоянием между двумя параллельными прямыми?

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

326. На рисунке 230 найдите угол 1.

327. На рисунке 231 найдите угол 2.

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

328. Разность односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, равна 50°. Найдите эти углы.

329. Один из односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей, в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.

330. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если:

1) один из этих углов равен 48°;

2) отношение градусных мер двух из этих углов равно 2 : 7.

331. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых секущей, если один из них на 24° меньше другого.

332. На рисунке 232 m ‖ n , p ‖ k , ∠1 = 50°. Найдите ∠ 2, ∠ 3 и ∠ 4.

333. Прямая, параллельная основанию AC равнобедренного треугольника ABC , пересекает его боковые стороны AB и BC в точках D и F соответственно. Докажите, что треугольник DBF — равнобедренный.

334. На продолжениях сторон AC и BC треугольника ABC ( AB = BC ) за точки A и B отметили соответственно точки P и K так, что PK ‖ AB . Докажите, что треугольник KPC — равнобедренный.

335. Отрезки AB и CD пересекаются в точке O , AO = BO , AC ‖ BD . Докажите, что CO = DO .

336. Отрезки MK и DE пересекаются в точке F , DK ‖ ME , DK = ME . Докажите, что ∆ MEF = ∆ DKF .

337. Ответьте на вопросы.

1) Могут ли оба односторонних угла при двух параллельных прямых и секущей быть тупыми?

2) Может ли сумма накрест лежащих углов при двух параллельных прямых и секущей быть равной 180°?

3) Могут ли быть равными односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей?

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

338. На рисунке 233 AB ‖ CD , BC ‖ AD . Докажите, что BC = AD .

339. На рисунке 233 BC = AD , BC ‖ AD . Докажите, что AB ‖ CD .

340. На рисунке 234 MK ‖ EF , ME = EF , ∠ KMF = 70°. Найдите ∠ MEF .

341. Через вершину B треугольника ABC (рис. 235) провели прямую MK , параллельную прямой AC , ∠ MBA = 42°, ∠ CBK = 56°. Найдите углы треугольника ABC .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

342. Прямая, проведённая через вершину A треугольника ABC параллельно его противолежащей стороне, образует со стороной AC угол, равный углу BAC . Докажите, что данный треугольник — равнобедренный.

343. На рисунке 236 ∠ MAB = 50°, ∠ ABK = 130°, ∠ ACB = 40°, CE — биссектриса угла ACD . Найдите углы треугольника ACE .

344. На рисунке 237 BE ⊥ AK , CF ⊥ AK , CK — биссектриса угла FCD , ∠ ABE = 32°. Найдите ∠ ACK .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

345. На рисунке 238 BC ‖ MK , BK = KE , CK = KD . Докажите, что AD ‖ MK .

346. На рисунке 239 AB = AC , AF = FE , AB ‖ EF . Докажите, что AE ⊥ BC .

347. Треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC . Через произвольную точку M его биссектрисы BD проведены прямые, параллельные его сторонам AB и BC и пересекающие отрезок AC в точках E и F соответственно. Докажите, что DE = DF .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

348. На рисунке 240 AB ‖ DE . Докажите, что ∠ BCD = ∠ ABC + ∠ CDE .

349. На рисунке 241 AB ‖ DE , ∠ ABC = 120°, ∠ CDE = 150°. Докажите, что BC ⊥ CD .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

350. Через вершину B треугольника ABC провели прямую, параллельную его биссектрисе AM . Эта прямая пересекает прямую AC в точке K . Докажите, что ∆ BAK — равнобедренный.

351. Через точку O пересечения биссектрис AE и CF треугольника ABC провели прямую, параллельную прямой AC . Эта прямая пересекает сторону AB в точке M , а сторону BC — в точке K . Докажите, что MK = AM + CK .

352. Биссектрисы углов BAC и BCA треугольника ABC пересекаются в точке O . Через эту точку проведены прямые, параллельные прямым AB и BC и пересекающие сторону AC в точках M и K соответственно. Докажите, что периметр треугольника MOK равен длине стороны AC .

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Упражнения для повторения

353. На отрезке AB отметили точку C так, что AC : BC = 2 : 1. На отрезке AC отметили точку D так, что AD : CD = 3 : 2. В каком отношении точка D делит отрезок AB ?

354. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O , AB = BC = CD = AD . Докажите, что AC ⊥ BD .

355. В треугольнике MOE на стороне MO отметили точку A , в треугольнике TPK на стороне TP — точку B так, что MA = TB . Какова градусная мера угла BKP , если MO = TP , ∠ M = ∠ T , ∠ O = ∠ P , ∠ AEO = 17°?

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Могут ли быть равными отрезки параллельных прямых

Наблюдайте, рисуйте, конструируйте, фантазируйте

356. На рисунке 242 изображена очень сложная замкнутая ломаная. Она ограничивает некоторую часть плоскости (многоугольник). Как, отметив на рисунке любую точку, по возможности быстрее определить, принадлежит эта точка многоугольнику или нет?

📽️ Видео

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

1 признак параллельности прямых.Скачать

1 признак параллельности прямых.

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Деление отрезка на равные части, перпендикуляр к прямой.Урок 4.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление отрезка на равные части, перпендикуляр к прямой.Урок 4.(Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельныСкачать

Теорема 14.1 Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 2 часть. 7 класс.

Ответы на вопросы к главе 1 - Геометрия 10-11 класс АтанасянСкачать

Ответы на вопросы к главе 1 - Геометрия 10-11 класс Атанасян

7 класс. Контрольная №3 (из 6). Тема: Параллельные прямые. Решение с объяснением. Разбираемся! :)Скачать

7 класс. Контрольная №3 (из 6). Тема: Параллельные прямые. Решение с объяснением. Разбираемся! :)

Геометрия 7. Урок 3 - определения. Сравнение углов и отрезков, параллельность, биссектриса.Скачать

Геометрия 7. Урок 3 - определения. Сравнение углов и отрезков, параллельность, биссектриса.

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)Скачать

Геометрия 10 класс (Урок№6 - Параллельность плоскостей.)
Поделиться или сохранить к себе: