Множество окружностей на плоскости счетно

Счетные множества. Мощность континуума

Эквивалентные множества

1. Установить взаимно–однозначное соответствие между множеством всех натуральных чисел и множеством натуральных чисел, кратных 5.

Множество окружностей на плоскости счетно

Множество окружностей на плоскости счетно Множество окружностей на плоскости счетно Множество окружностей на плоскости счетноМножество окружностей на плоскости счетно

Множество окружностей на плоскости счетно

2. Установить биекцию полуокружности и ее диаметра.

Множество окружностей на плоскости счетно

Множество окружностей на плоскости счетно3. Установить биекцию двух окружностей; двух кругов.

Множество окружностей на плоскости счетно

Множество окружностей на плоскости счетно4. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка Множество окружностей на плоскости счетнона отрезок Множество окружностей на плоскости счетно(геометрически и аналитически).

Пусть Множество окружностей на плоскости счетно, Множество окружностей на плоскости счетно, тогда

Множество окружностей на плоскости счетно.

5. Найти взаимно–однозначное отображение интервала Множество окружностей на плоскости счетнона всю числовую прямую (геометрически и аналитически).

Пусть Множество окружностей на плоскости счетно, Множество окружностей на плоскости счетно, тогда Множество окружностей на плоскости счетно.

6. (Отель Гилберта). Где-то в далеком космосе есть гостиница с бесконечным числом одноместных номеров, причем все они заселены. В гостиницу приехал человек и попросил поселить его в отдельный номер. Администратор сумел удовлетворить его просьбу, не выселив при этом ни одного постояльца. Как ему удалось это сделать?

Занумеруем номера числами 1, 2, 3, …, n , … Переселим постояльца из 1-го номера во 2-й, из 2-го в 3-й, …, из n-го – в (n+1)-й и т.д. Таким образом, мы освободим 1-й номер, в который и поселим нового постояльца.

7. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка Множество окружностей на плоскости счетнона полусегмент Множество окружностей на плоскости счетно.

Множество окружностей на плоскости счетно

Так как на первом промежутке точек как бы на одну «больше», то нужно куда-то убрать «лишнюю» точку.

Возьмем на каждом из промежутков произвольную последовательность Множество окружностей на плоскости счетнои поступим так же, как с отелем Гилберта: точке x1 из множества Множество окружностей на плоскости счетнопоставим в соответствие точку x2 из множества Множество окружностей на плоскости счетно, точке x2 из А –

точку x3 из В, …, точке xn из А – точку xn+1 из В и т.д. Таким образом, в В освободится точка x1, которую мы и поставим в соответствие точке b из множества А. Остальные точки в множествах А и В одинаковые, следовательно, мы их поставим в соответствие друг другу.

Таким образом, получим взаимно-однозначное соответствие между А и В.

8. Доказать, что все конечные промежутки числовой прямой эквивалентны.

Как уже показано в № 4, все одноименные промежутки (то есть все сегменты, все интервалы и т.д.) эквивалентны между собой, а в предыдущем примере мы показали, что и разноименные промежутки тоже эквивалентны, что и требовалось доказать.

9. Доказать, что любой промежуток числовой прямой эквивалентен всей числовой прямой.

10. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок Множество окружностей на плоскости счетнона всю числовую прямую?

Нет, так как, если функция непрерывна на сегменте, то множеством ее значений тоже является сегмент.

Домашние примеры

11. Найти взаимно–однозначное отображение отрезка Множество окружностей на плоскости счетнона интервал Множество окружностей на плоскости счетно.

Множество окружностей на плоскости счетноотображаем в Множество окружностей на плоскости счетно(аналогично задаче 7, только в последовательность «прячем» две точки).

12. Найти взаимно–однозначное отображение полусегмента Множество окружностей на плоскости счетнона луч Множество окружностей на плоскости счетно.

С помощью функции y = tgx.

13. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок Множество окружностей на плоскости счетнона интервал Множество окружностей на плоскости счетно?

14. Существует ли непрерывная функция, отображающая взаимно–однозначно отрезок Множество окружностей на плоскости счетнона множество, состоящее из двух отрезков?

В 13 и 14 ответ «нет» (см. задачу 10).

15. Установить взаимно–однозначное соответствие между окружностью и прямой.

Множество окружностей на плоскости счетно

Точке О соответствует бесконечно удаленная точка числовой прямой.

Счетные множества. Мощность континуума

1. Какова мощность множества Множество окружностей на плоскости счетно?

Это множество является объединением двух последовательностей. Поскольку последовательность – это счетное множество, то и множество А счетно.

2. Какова мощность множества точек на плоскости, у которых обе координаты рациональны?.

Множество точек на плоскости Множество окружностей на плоскости счетнос рациональными координатами можно представить в виде Множество окружностей на плоскости счетно. Таким образом, это множество, элементы которого различаются двумя значками, пробегающими счетное множество значений, следовательно, по лемме 2.1 это множество счетно.

3. Какова мощность множества всех треугольников на плоскости, вершины которых имеют рациональные координаты?

Это множество счетно (см. задачу 2).

4. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональны и координаты центра – рациональные числа, счетно.

5. Доказать, что если расстояние между любыми двумя точками множества Е на прямой больше 1, то множество Е не более, чем счетно.

Окружим каждую точку множества окрестностью, длиной 1, тогда эти окрестности не будут пересекаться. В каждой окрестности выберем рациональное число. Получим некоторое множество А рациональных чисел, которое находится во взаимно-однозначном соответствии с множеством Е. Так как множество А – часть множества Q, то оно не более чем счетно, следовательно, множество Е тоже не более чем счетно.

6. Доказать эквивалентность сегмента Множество окружностей на плоскости счетнои интервала Множество окружностей на плоскости счетно, пользуясь теоремами о свойствах бесконечных множеств.

Так как Множество окружностей на плоскости счетнои множество Множество окружностей на плоскости счетнонесчетно, то по теореме 3.2 Множество окружностей на плоскости счетноэквивалентен Множество окружностей на плоскости счетно.

7. На прямой задано множество попарно не пересекающихся отрезков. Что можно сказать о мощности этого множества?

Это множество не более чем счетно (см. задачу 5).

8. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на всей числовой прямой, конечно или счетно.

Множество окружностей на плоскости счетноВо-первых, поскольку функция задана на всей числовой прямой, то она может иметь лишь точки разрыва 1-го рода, т.е. конечные скачки.

Поставим каждой точке разрыва, например, х1 в соответствие сегмент Множество окружностей на плоскости счетно, характеризующий величину скачка в этой точке. Очевидно, что для монотонной функции это соответствие будет взаимно-однозначным, и указанные сегменты не пересекаются. Тогда в силу задачи 7 их множество не более чем счетно, следовательно, не более чем счетно и множество точек разрыва.

Видео:Множества на комплексной плоскости. Связное множество. Односвязная область. Граница. Круг сходимостиСкачать

Множества на комплексной плоскости. Связное множество. Односвязная область. Граница. Круг сходимости

08. Примеры равномощных множеств

Приведенные выше примеры и теоремы показывают, что установить равномощность различных множеств далеко не просто. В этом параграфе мы рассмотрим примеры построения биекции между различными множествами. Будут приведены примеры доказательств равномощности ряда множеств.

Пример 1. Установить биекцию между отрезком [0, 1] и отрезком [а, в].

Решение. Легко устанавливается биективность линейного отображения x = (в – a)t + a отрезка [0, 1] на отрезок [а, в].

Пример 2. Установить биекцию между интервалом (0, 1) и интервалом (–¥, +¥).

Решение. Легко устанавливается биективность отображения x= ctg(pt) интервала (0, 1) на интервал (–¥, +¥).

Задача. Рассмотреть основные элементарные функции и найти промежутки, на которых они являются биективным отображением.

Пример 3. Построить биекцию между отрезком [0, 1] и интервалом (0, 1).

Решение. Решение этой задачи основано на несчетности рассматриваемых множеств и теореме 4 из параграфа 6. Идея решения состоит в том, что из интервала (0, 1) выделяют некоторое счетное множество А. Затем к нему добавляют две точки и . Вновь полученное множество (обозначим его В Ì [0, 1]), также является счетным. Следовательно, множества А и В равномощны и существует биекция f, отображающая B на A. Построим теперь биекцию отрезка [0, 1] на интервал (0, 1) следующим образом:

Множество окружностей на плоскости счетно

Пример 4. Построить биекцию между окружностью единичного радиуса и отрезком [0, 1].

Схема решения. Легко устанавливается биекция между точкой окружности и углом, соответствующим этой точке. Этим получается биекция окружности и полуотрезка [0, 2p). Затем по схеме примера 3 строится биекция полуотрезка [0, 2p) на отрезок [0, 1].

Пример 5. Доказать, что множество всех окружностей на плоскости, радиусы которых рациональные числа и координаты центра которых — рациональные числа, есть счетное множество.

Решение. Нетрудно видеть, что каждый элемент рассматриваемого множества может быть отождествлен с тройкой чисел (х, у, r), где (х, у) — координаты центра окружности, а r — ее радиус. Этим между множеством указанных окружностей и множеством Q´Q´Q устанавливается биекция. Но произведение счетных множеств счетно (см. задачу в 6 параграфе) и, следовательно, наше множество также счетно.

Пример 6. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции, заданной на отрезке [а, в], конечно или счетно.

Видео:Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005 | Борис Трушин !Скачать

Такие разные бесконечности. Счётные и несчётные множества | матан #005 | Борис Трушин !

Решение задач

1) Можно ли на плоскости построить континуум попарно непересекающихся окружностей?

Возьмем окружность произвольного радиуса a и все концентрические с ней окружности внутри её (окружности эти пересекаться не будут). Каждой окружности поставим в соответствие длину ей радиуса. Радиус может иметь любую длину от 0 до а. Таким образом, множество таких радиусов равномощно отрезку [0, а], т.е. имеет мощность с. А значит и множество концентрических окружностей имеет мощность с. А значит, на плоскости можно построить континуум попарно непересекающихся окружностей.

2) Можно ли написать на доске континуум попарно непересекающихся букв (размеры букв могут быть произвольными) а) Г; б) N; в) А?

  • а) Дополним букву Г до прямоугольника и проведем его диагональ из левого верхнего угла (обозначим длину диагонали за a). Зафиксируем правый нижний угол и будем уменьшать диагональ (стороны, образующие букву Г, одного прямоугольника не будут пересекаться со сторонами другого прямоугольника). Каждому прямоугольнику поставим в соответствие длину его диагонали. Длина диагонали может иметь любое вещественное значение от 0 до а. Т.о., множество таких диагоналей имеет мощность с, а значит и множество таких прямоугольников есть мощность континуума. Следовательно, и множество пар левых боковых и верхних сторон прямоугольников (т.е. букв Г) имеет мощность континуума. Т.о., на доске можно написать континуум попарно непересекающихся букв Г.
  • б) Напишем под небольшим наклоном букву N. Эта буква состоит из трех отрезков. Проведем четыре вертикальные параллельные прямые через конец каждого отрезка. Ниже данной N изобразим ещё одну N, заключенную между вертикальными прямыми (стороны букв будут попарно параллельны). Эти две буквы отсекают от вертикальных прямых четыре отрезка (обозначим их за a, b, c, d). Установим биекцию между точками отрезков a и b, b и c, c и d при помощи отрезков параллельных сторонам N (отрезки имеют мощность континуума). Т.о., получаем континуум букв N, не пересекающихся между собой и нарисованных на части плоскости.
  • в) В каждом треугольнике буквы А выберем точку с рациональными координатами и поставим эту точку в соответствие букве, внутри которой она находится. Т.к. множество рациональных чисел счетно, то и множество пар рациональных чисел счетно (по шестому свойству счетных множеств), т.е. счетно множество точек с рациональными координатами. Поскольку буквы А не пересекаются, точки совпасть не могут. Т.е. на доске можно написать не больше чем счетное «количество» букв А.
  • 3) Можно ли построить на плоскости континуум попарно непересекающихся восьмерок?

Поскольку множество рациональных чисел счетно, то и множество точек с рациональными координатами счетно, а, значит, счетно и множество пар точек с рациональными координатами. Выберем в каждом кругу восьмерки по точке с рациональными координатами, и поставим эту пару ей в соответствие. Поскольку восьмерки не пересекаются, каждая пара может встретиться не больше одного раза. Т.о., на доске можно изобразить не больше чем счетное количество восьмерок.

💥 Видео

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскостиСкачать

10 класс, 12 урок, Числовая окружность на координатной плоскости

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

множество R несчетноСкачать

множество R несчетно

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по Математике

МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА / СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВАСкачать

МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВА / СЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА

Изобразить область на комплексной плоскостиСкачать

Изобразить область на комплексной плоскости

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Тысячеугольник 2.0 | Ботай со мной #065 | Борис Трушин |Скачать

Тысячеугольник 2.0 | Ботай со мной #065 | Борис Трушин |

Мнимые числа реальны: #10 Функции комплексных переменных [Welch Labs]Скачать

Мнимые числа реальны: #10 Функции комплексных переменных [Welch Labs]

9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

7 класс, 21 урок, ОкружностьСкачать

7 класс, 21 урок, Окружность

Множества и операции над нимиСкачать

Множества и операции над ними

УЧИМ ВМЕСТЕ (ВОЛШЕБНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).Скачать

УЧИМ ВМЕСТЕ (ВОЛШЕБНАЯ ГЕОМЕТРИЯ).

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУСкачать

Олегу Тинькову запрещён вход на Мехмат МГУ

Вселенная, математика и Бесконечность.Скачать

Вселенная, математика и Бесконечность.

Видеоквант: Счетные и несчетные множестваСкачать

Видеоквант: Счетные и несчетные множества

#14. Мощное задание с параметром! Метод областей на плоскостиСкачать

#14. Мощное задание с параметром! Метод областей на плоскости
Поделиться или сохранить к себе: