Многогранник все грани которого треугольники

Выпуклый многогранник называется правильным, если его гранями являются равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Рассмотрим возможные правильные многогранники и прежде всего те из них, гранями которых являются правильные треугольники. Наиболее простым таким правильным многогранником является треугольная пирамида, гранями которой являются правильные треугольники (рис. 1,а). В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром, что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники, и в каждой вершине сходится четыре грани, изображен на рисунке 1,в. Его поверхность состоит из восьми правильных треугольников, поэтому он называется октаэдром.
Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников, изображен на рисунке 1,г. Его поверхность состоит из двадцати правильных треугольников, поэтому он называется икосаэдром.
Заметим, что поскольку в вершинах выпуклого многогранника не может сходиться более пяти правильных треугольников, то других правильных многогранников, гранями которых являются правильные треугольники, не существует.
Аналогично, поскольку в вершинах выпуклого многогранника может сходиться только три квадрата, то, кроме куба (рис. 1,б), других правильных многогранников, у которых гранями являются квадраты не существует. Куб имеет шесть граней и поэтому называется также гексаэдром.
Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники, и в каждой вершине сходится три грани, изображен на рисунке 1,д. Его поверхность состоит из двенадцати правильных пятиугольников, поэтому он называется додекаэдром.
Поскольку в вершинах выпуклого многогранника не могут сходиться правильные многоугольники с числом сторон больше пяти, то, используя теорему Коши о жесткости выпуклого многогранника, получаем, что других правильных многогранников не существует, и таким образом, имеется только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр.
Рассмотрим понятие правильного многогранника с точки зрения топологии науки, изучающей свойства фигур, не зависящих от различных деформаций без разрывов. С этой точки зрения, например, все треугольники эквивалентны, так как один треугольник всегда может быть получен из любого другого соответствующим сжатием или растяжением сторон. Вообще все многоугольники с одинаковым числом сторон эквивалентны по той же причине.
Как в такой ситуации определить понятие топологически правильного многогранника? Иначе говоря, какие свойства в определении правильного многогранника являются топологически устойчивыми и их следует оставить, а какие не являются топологически устойчивыми и их следует отбросить.
В определении правильного многогранника количество сторон и количество граней являются топологически устойчивыми, т.е. не меняющимися при непрерывных деформациях. Правильность же многоугольников не является топологически устойчивым свойством. Таким образом, мы приходим к следующему определению.
Выпуклый многогранник называется топологически правильным, если его гранями являются многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине сходится одинаковое число граней.
Например, все треугольные пирамиды являются топологически правильными многогранниками, эквивалентными между собой. Все параллелепипеды также являются эквивалентными между собой топологически правильными многогранниками. Четырехугольные пирамиды не являются топологически правильными многогранниками.
Выясним вопрос о том, сколько существует не эквивалентных между собой топологически правильных многогранников.
Как мы знаем, существует только пять правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. Казалось бы, топологически правильных многогранников должно быть гораздо больше. Однако оказывается, что никаких других топологически правильных многогранников, не эквивалентных уже известным правильным, не существует.
Для доказательства этого воспользуемся теоремой Эйлера. Пусть дан топологически правильный многогранник, гранями которого являются n — угольники, и в каждой вершине сходится m ребер. Ясно, что n и m больше или равны трем. Обозначим, как и раньше, В — число вершин, Р — число ребер и Г — число граней этого многогранника. Тогда

n Г = 2P; Г = ; mB = 2P; В = .

По теореме Эйлера, В — Р + Г = 2 и, следовательно,

Откуда Р = .
Из полученного равенства, в частности, следует, что должно выполняться неравенство 2n + 2m – nm > 0, которое эквивалентно неравенству (n – 2)(m – 2)
Найдем всевозможные значения n и m, удовлетворяющие найденному неравенству, и заполним следующую таблицу

Видео:10 класс, 27 урок, Понятие многогранникаСкачать

Пирамида

Пирамида – многогранник, основание которого — многоугольник , а остальные грани — треугольники, имеющие общую вершину.

По числу углов основания различают пирамиды треугольные , четырёхугольные и т. д.

Вершина пирамиды — точка, соединяющая боковые рёбра и не лежащая в плоскости основания.

Основание — многоугольник, которому не принадлежит вершина пирамиды.

Апофема — высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины.

Высота — отрезок перпендикуляра, проведённого через вершину пирамиды к плоскости её основания (концами этого отрезка являются вершина пирамиды и основание перпендикуляра).

Диагональное сечение пирамиды — сечение пирамиды, проходящее через вершину и диагональ основания.

Видео:27. Понятие многогранникаСкачать

Некоторые свойства пирамиды

1) Если все боковые ребра равны, то

– около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

– боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы

Верно и обратное.

Если боковые ребра образуют с плоскостью основания равные углы, то все боковые ребра пирамиды равны.

Если около основания пирамиды можно описать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр, то все боковые ребра пирамиды равны.

2) Если все грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним углом , то в основание пирамиды можно вписать окружность, причём вершина пирамиды проецируется в её центр

Верно и обратное.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Виды пирамид

Пирамида называется правильной , если основанием её является правильный многоугольник, а вершина проецируется в центр основания.

Для правильной пирамиды справедливо:

– боковые ребра правильной пирамиды равны;

– в правильной пирамиде все боковые грани — равные равнобедренные треугольники;

– в любую правильную пирамиду можно вписать сферу;

– около любой правильной пирамиды можно описать сферу;

– площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Видео:Видеоурок по математике "Понятие правильного многогранника"Скачать

Пирамида называется прямоугольной , если одно из боковых рёбер пирамиды перпендикулярно основанию. Тогда это ребро и есть высота пирамиды.

Усечённой пирамидой называется многогранник, заключённый между основанием пирамиды и секущей плоскостью, параллельной её основанию.

Тетраэдр – треугольная пирамида. В тетраэдре любая из граней может быть принята за основание пирамиды.

Видео:Геометрия 10 кл Понятие многогранникаСкачать

1. Приведите пример многогранника, все грани которого : а) Треугольники б) квадраты в) прямоугольники 2?

Геометрия | 5 — 9 классы

1. Приведите пример многогранника, все грани которого : а) Треугольники б) квадраты в) прямоугольники 2.

На нем как на основании по разным сторонам построен куб и пирамида.

Сколько вершин, граней и ребер в полученном многограннике?

3. два тетраедра имеют общую грань и расположены по разные стороны от неё.

Сколько вершин, граней и ребер имеет полученный многогранник?

1. а) треугольная пирамида ; б) куб ; в) прямоугольный параллелепипед.

2. Вершин — 9 (8 у куба и плюс одна вершина пирамиды) ; граней — 9 (5 граней у куба, так как основание общее, и плюс 4 боковых грани у пирамиды) ; ребер — 16 (12 ребер у куба и плюс 4 боковых ребра пирамиды).

3. Вершин — 5 (4 у одного тетраэдра и плюс одна у второго) ; граней — 6 (по 3 боковых у каждого) ; ребер — 9 (6 у одного тетраэдра и плюс 3 боковых у другого).

Видео:Задача. Сколько вершин граней и ребер у многогранника?Скачать

Народ помогите решить геометрию пожалуйста?

Народ помогите решить геометрию пожалуйста!

Нужно заполнить пропуски.

А) ПОверхность, составленную из многоугольников и ограничивающую некоторое геометрическое тело, будем называть.

, б) Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют его.

, в) Сторона граней многогранника называется .

, г) Отрезок, соединяющий две вершины , не принадлежащие одной грани, называется.

Д) Многогранник, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой грани, называется.

, е) В выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при каждой вершине меньше.

Видео:Правильные и полуправильные многогранникиСкачать

Придумайте многогранник , у которого 8 вершин, но число граней не равно 6?

Придумайте многогранник , у которого 8 вершин, но число граней не равно 6.

Видео:Урок 03. Многогранники в стереометрииСкачать

Нарисуйте многогранник, имеющий пять граней и пять вершин?

Нарисуйте многогранник, имеющий пять граней и пять вершин.

Сколько ребер он имеет?

Видео:Правильные многогранники. Мини-курс по математике от Николая АндрееваСкачать

У выпуклого многогранника 20 граней и 30 ребер?

У выпуклого многогранника 20 граней и 30 ребер.

Сколько у него вершин?

Видео:Видеоурок по темам Многоугольники и МногогранникиСкачать

Сколько граней, вершин и ребер имеет треугольная пирамида?

Сколько граней, вершин и ребер имеет треугольная пирамида.

Видео:МногогранникиСкачать

Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней?

Выпуклый многогранник имеет 6 вершин и 8 граней.

Найдите число ребер.

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Как начертить многогранник имеющий 5 граней и 5 вершин?

Как начертить многогранник имеющий 5 граней и 5 вершин?

Сколько ребер он имеет?

Видео:Задача 8 ЕГЭ по математике #1Скачать

Пирамида имеет 10 вершин ?

Пирамида имеет 10 вершин .

Какой многоугольник лежит в ее основании?

Сколько граней и ребер имеет эта пирамида?

Видео:Задания 11, 13 (часть 1) | ЕГЭ 2024 Математика (база) | Куб, прямоугольный параллелепипедСкачать

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 6 проведено сечение через середины ребер CC1, AB и AD, разделившее куб на два многогранника?

В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 6 проведено сечение через середины ребер CC1, AB и AD, разделившее куб на два многогранника.

Для каждого из них найдите количество вершин, ребер, граней и диагоналей.

В многограннике, вершиной которого служит точка А, найдите длину наибольшего отрезка.

Видео:10 класс, 30 урок, ПризмаСкачать

Как изобразить многогранник у которого 5 вершин и 6 граней?

Как изобразить многогранник у которого 5 вершин и 6 граней?

Вопрос 1. Приведите пример многогранника, все грани которого : а) Треугольники б) квадраты в) прямоугольники 2?, расположенный на этой странице сайта, относится к категории Геометрия и соответствует программе для 5 — 9 классов. Если ответ не удовлетворяет в полной мере, найдите с помощью автоматического поиска похожие вопросы, из этой же категории, или сформулируйте вопрос по-своему. Для этого ключевые фразы введите в строку поиска, нажав на кнопку, расположенную вверху страницы. Воспользуйтесь также подсказками посетителей, оставившими комментарии под вопросом.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°. ∠ADC = 180° — ∠BCD = 180° — 120° = 60° Проведем две высоты АК и СН. ΔDCH : ∠DHC = 90°, ∠HDC = 60°, ⇒ ∠HCD = 30°. HD = CD / 2 = 25 / 2 как катет, лежащий напротив угла в 30°. По теорем..

А + (а : 2) = 90 2а + а = 180 а = 60 а : 2 = 30.

По теореме об отношении площадей подобных треугольников знаем, что площади подобных треугольников относятся, как k² = >² = > Но так как площадь хотя бы одно треугольника неизвестна, то задача дальше не решается.

1 задание 1) + 2) — 3) — 4) + 5) + 6) — 7) + 8) — 2 — 3 задание На фото.

Решение — в приложении.

Сумма внутреннего и внешнего углов равна 180° Находим внутренний угол при вершине b (т. Е. ∠abc) : 180 — 140 = 40° Поскольку треугольник abc — равнобедренный, следовательно углы при основании равны, следовательно∠abc = ∠acb = 40°.

Tgα = ВД(высоты) / 0, 5 * АС⇒10 / 7 = ВД / 14 ВД(высота) = 10 * 14 / 7 = 20⇒Sавс = 1 / 2 * 28 * 20 = 280.

1) 6 : 2 = 3 см — середина АВ и середина СD , так как они равны. 6 см + 3 см + 3 см = 12 см Ответ : 12 см 2) Не знаю как решать , извини. 3) Возьмем АВ за х AM = MB = x 2 Тогда MN = BN = MB 2 = x 4 AM : MN = x 2 : x 4 = 2 : 1 BN : AM = x ..

SΔ = (a * ha) / 2 SΔ = (14 * 6) / 2 = 42 см².

📹 Видео

Подсчёт количества граней и рёбер у трёхмерных фигур | Фигура | ГеометрияСкачать

8 класс, 2 урок, Выпуклый многоугольникСкачать

Геометрия 10 класс (Урок№16 - Правильные многогранники.)Скачать

10 класс, 36 урок, Понятие правильного многогранникаСкачать

27 Выпуклый многогранник обязательно имеет две грани с равным числом сторонСкачать