Метод удвоения медианы треугольника доказательство (7 видео)

Содержание

Метод удвоения медианы треугольника
Удвоение медианы
§ 2. Удвоение медианы.. ПРИМЕР 1. Ответ: Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника. Роспись за алгоритм. — презентация
Похожие презентации
Презентация на тему: » § 2. Удвоение медианы.. ПРИМЕР 1. Ответ: Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника. Роспись за алгоритм.» — Транскрипт:
Исследовательская работа ученика 10 класса. Методы решения сложных задач по геометрии при итоговой аттестации.
Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся
Удвоение медианы
Медиана треугольника
🎬 Видео

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Метод удвоения медианы треугольника

Видео:Геометрия 8 Класс Урок 4 Удвоение медианыСкачать

Удвоение медианы

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Этот урок будет посвящен теме «Удвоение медианы». На этом занятии мы рассмотрим треугольник, в котором проведена медиана. Продлим ее на длину, равную исходному значению медианы и соединим вершины треугольника с полученной удвоенной медианой. В результате мы получим новый четырехугольник, который и рассмотрим.

Видео:Геометрия, 9 класс | Метод удвоения медиан.Скачать

§ 2. Удвоение медианы.. ПРИМЕР 1. Ответ: Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника. Роспись за алгоритм. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемЮлия Лашманова

Презентация на тему: » § 2. Удвоение медианы.. ПРИМЕР 1. Ответ: Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника. Роспись за алгоритм.» — Транскрипт:

1 § 2. Удвоение медианы.

3 Ответ: Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника. Роспись за алгоритм решения Роспись за запись решения на доске Всегда приятно, когда треугольник оказывается прямоугольным

4 Роспись за алгоритм решения Оригинальный способ решения : дополнительное построение — удвоение медианы треугольника.

5 ПРИМЕР 4. Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC Уникальный ход. 1. Медианы точкой пересечения делятся 2:1, считая от вершины Известные факты… 2. Медианы разбивают треугольник на 6 равновеликих треугольника Ответ:

6 ПРИМЕР 5. Диагонали трапеции равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найдите площадь трапеции. Ответ: Уникальный ход. 1. Заменим трапецию на равновеликий треугольник 2. Удвоение медианы треугольника Всегда приятно, когда треугольник оказывается прямоугольным

7 9 подготовительных задач 2.1. Медиана AM треугольника ABC равна т и образует со сторонами АВ и АС углы α и β соответственно. Найдите эти стороны В треугольнике ABC известно, что BD медиана,, a DBC = 90°. Найдите угол ABD Найдите площадь треугольника, если две стороны его соответственно равны 27 и 29, а медиана, проведённая к третьей, равна 26. Балл за решение каждой задачи

8 9 подготовительных задач 2.4. Стороны треугольника равны 11, 13 и 12. Найдите медиану, проведённую к большей стороне В треугольнике две стороны равны 11 и 23, а медиана, проведённая к третьей, равна 10. Найдите третью сторону В равнобедренном треугольнике с боковой стороной, равной 4, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание треугольника, если медиана равна 3. Балл за решение каждой задачи

9 9 подготовительных задач Балл за решение каждой задачи

Видео:Как найти медиану, зная стороны треугольника? Удвоение медианы.Скачать

Исследовательская работа ученика 10 класса. Методы решения сложных задач по геометрии при итоговой аттестации.

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Коммуникативный педагогический тренинг: способы взаимодействия с разными категориями учащихся

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Советского района г. Казани

«Методы решения сложных задач по геометрии при итоговой аттестации»

Автор: Полинчук Илья,

учащийся 10В класса

Руководитель: Полинчук А.В.,

учитель математики 1-ой квалификационной категории

Методы решения геометрических задач

Наиболее часто допускаемые ошибки при решении задач

Этапы решения геометрических задач

Методы решения геометрических задач

Понятия, используемые при решении задач № 26

Частота использования понятий геометрии

Задачи № 26 с решениями

Список использованной литературы

В работе рассмотрена проблема решения 26-ой задачи ОГЭ. Данная проблема на сегодняшний день является актуальной. Идет бурный процесс подготовки старшеклассников к сдачи Основного Государственного Экзамена. Как правило, учащиеся обходят стороной 26-ю задачу ввиду повышенной сложности. А те, кто принимаются за решение данной задачи, испытываю большие трудности при решении, и, как правило, процент справившихся с этой задачей на экзамене составляет 1,3-2%. Если говорит в количественном выражении, то это 1 ученик из 75. Данные были получены в результате анализа сдачи ОГЭ за последние 3 года.

Также в рамках исследовательской работы был проведен социологический опрос учащихся 9 классов гимназии №8, в ходе которого был выведен процент учеников, пробующих решить 26-ю задачу, он составил 5,7%. 9ти-классники отметили, что им не хватает систематизированного способов подготовки к решению задач такого типа.

Целью исследовательской работы является выявить алгоритм решения 26й задачи ОГЭ.

Задача исследовательской работы: показать весь спектр наиболее часто встречаемых типов задач под 26-м номером, а также наглядно показать методы решения задачи каждого типа.

Наиболее часто допускаемые ошибки при решении задач.

Не внимательное чтение условия задачи.

Халатное построение чертежа (от руки, без чертежных инструментов).

Неправильный перенос данных задачи на чертеж (либо по незнанию, либо по небрежности).

Неумение проанализировать условие задачи и выявить неизвестные величины, возможность нахождения которых вытекает прямо из условия задачи.

Неумение применять формулы и теоремы к решению задач.

Несоблюдение этапов решения задачи.

Этапы решения геометрических задач.

Чтение условия задачи.

Выполнение чертежа с буквенными обозначениями.

Краткая запись условия задачи.

Перенос данных на чертеж.

Анализ данных задачи.

Составление цепочки действий.

Запись решения задачи.

Если вы хотите научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.

научиться плавать, то

смело входите в воду, а если хотите

научиться решать задачи, то решайте их.

Методы решения геометрических задач

геометрический – когда требуемое утверждение выводится с помощью логических рассуждений из ряда известных теорем;

алгебраический – когда искомая геометрическая величина вычисляется на основании различных зависимостей между элементами геометрических фигур непосредственно или с помощью уравнений;

комбинированный – когда на одних этапах решение ведется геометрическим методом, а на других – алгебраическим.

Геометрия полна приключений,

потому что за каждой задачей

скрывается приключение мысли.

Решить задачу – это значит пережить

Вячеслав Викторович Произволов.

Методы решения геометрических задач

Следствие из свойства медианы к гипотенузе

Использование введения буквенных обозначений величин

Метод вспомогательных построений

Применение свойства медианы к гипотенузе

Свойства площади треугольника

Использование осевой симметрии

Построение вспомогательных отрезков в трапеции

Медиана прямоугольного треугольника к гипотенузе

Переход к равновеликой вспомогательной фигуре

Метод удвоения медианы, Переход к равновеликой фигуре

Свойство деления сторон треугольника окружностью, вписанной в него

Введение вспомогательной окружности

Метод решения: Удвоение медианы

Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

При удвоении медианы, получаем прямоугольник, если исходный треугольник ̶ прямоугольный, в остальных случаях – параллелограмм.

Метод решения: Удвоение медианы

Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 30, B C = 26 и длина медианы B M равна 14.

Удвоим медиану BM

BD = 2 BM =28, AD = BC

По формуле Герона находим площадь треугольника ABD :

По свойству диагоналей параллелограмма

Метод: Использование свойств медианы

Медиана треугольника делит его на два равновеликих треугольника.

Метод: Использование свойств медианы

Медиана ВН треугольника АВС пересекается с его биссектрисой АМ в точке К и делится этой точкой на два равных отрезка. Найдите площадь этого треугольника, если ВН=16, АМ=20.

Доказать:АВН – равнобедренный, значит АКВН

B К BH = 8, S _AB _М ВК*АМ = 80

Доказать АВМ = АНМ

Проведем отрезок МН

Т.к. МН – медиана АМС

Метод: использование свойства деления сторон треугольника вписанной в него окружностью.

Окружность и прямоугольный треугольник.

Радиус вписанной окружности:

Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы, а радиус равен

– медиане, проведённой к гипотенузе

Площадь прямоугольного треугольника равна 60, а его периметр равен 40. Найдите катеты треугольника.

Метод: Построение вспомогательных отрезков в трапеции

Прямую, параллельную одной из диагоналей трапеции

Прямую, параллельную одной из боковых сторон трапеции

Прямые, параллельные обеим боковым сторонам трапеции

Метод решения: Переход к равновеликой вспомогательной фигуре

Площадь трапеции АВС D равна площади треугольника АСЕ.

АЕ = AD + DE =AD + ВС

Задача №26 (Лысенко ОГЭ 2015, вариант 18,)

В равнобедренную трапецию можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее большего основания, если периметр трапеции равен 68, а площадь равна 255.

Решение:

АВ+ CD = BC + AD 34

Проведем CKBD ,∆АСК – равнобедр., АН=НК=17, А D =17+8=25

«Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать»

Понятия, используемые при решении задач №26

Свойства углов, связанных с окружностью

Площадь трапеции через стороны

Свойства биссектрисы треугольника

Внешний угол треугольника

Площадь треугольника через R

Свойства медианы треугольника

Теорема о касательной и секущей

Свойство высоты треугольника

Площадь треугольника через синус

Площадь треугольника через r

Параллельные прямые и их свойства

Свойству равнобедренного треугольника

Частота использования понятий геометрии

Задачи и методы решения

Было рассмотрено 20 задач под 26-м номером разного типа. Выявлен алгоритм решения каждого типа задач. А также было создано наглядное пособие для подготовки учащихся 9 классов по 26-ой задаче ОГЭ. Печатное пособие представлено в Приложении 1 и является вспомогательным материалом при подготовке.

В заключение считаю необходимым подчеркнуть, что не существует «не решаемых задач». Главное, при подготовке к экзамену еще раз повторить теоретический материал по учебникам 7-9 классов по геометрии, восполнить пробелы. А также правильно расставить приоритеты и составить план подготовки сдачи Основного Государственного Экзамена по математике.

Список использованной литературы

Математика ОГЭ Лаппо, Попов, Практикум реальные тесты 2015

Математика Ященко, Шестаков, Трепалин, Семенов, Захаров, ОГЭ 2015 Типовые тестовые задания

Математика ОГЭ-2016 под редакцией Ященко. 20 вариантов

Математика ОГЭ-2016 под редакцией Ященко. 30 вариантов

Математика ОГЭ-2015, Репетиционные варианты. ФИПИ. Семенов, Ященко. 12 вариантов

Математика ГИА-2014, ФИПИ. Бунимович, Кузнецов 10 вариантов

Математика ГИА-2014, ФИПИ. Семенов, Ященко. 30 вариантов

Математика ОГЭ-2016 60 тестов под редакцией Д.А. Мальцева

Математика ЕГЭ-2012 Р.К. Гордин Решение задач С4

Учимся решать задачи по геометрии В.Б. Полонский, Е.М Рабинович, М.С Якир

Решение задач по планиметрии О.П. Зеленяк

Задачи на вырост В.В Произволов

В треугольнике AB C стороны 2,3 и 4. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны3,7 и 8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны 2,3 и 4. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольника.

В правильном шестиугольнике ABCDEF со стороной 1 найдите радиус окружности , вписанной в треугольник A BC .

В треугольнике AB C стороны 5,6 и 9. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны 3,7 и 8. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны 3,5 и 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны 5,6 и 7. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике AB C стороны 3,5 и 6. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 84. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 60. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 104. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 160. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 1680. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 208. Найдите стороны треугольника АВС.

Ответ:52, 104, 156.

В-3 (Пробник 19.03.16)

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 96. Найдите стороны треугольника АВС.

Задача №567 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 66BA84

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 192. Найдите стороны треугольника ABC.

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠ BOD= ∠ BOA=90°.
∠ ABO= ∠ DBO (т.к. BE — биссектриса ).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников ).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD — равнобедренный .
BO — биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана , и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника ).
Следовательно, AO=OD=AD/2=192/2=96.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED — медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы ). S _EDC =S _EDB =(BE*OD)/2=(192*96)/2=96*96=9216
S _ABE =(BE*AO)/2=(192*96)/2=9216
Т.е. S _ABE =S _EDC =S _EDB =9216
Тогда, S _ABС =3*9216=27648
AD — медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы ).
S _ABD =(AD*BO)/2=S _ABC /2
(192*BO)/2=27648/2
BO=27648/192=144
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный , тогда применим теорему Пифагора :
AB 2 =BO 2 +AO 2
AB 2 =144 2 +96 2
AB 2 =20736+9216=29952
AB=√29952= √16*1872=√16*16*9*13=4*4*3√13=48√13
BC=2AB=2*48√13=96√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=192-144=48
Так как этот треугольник тоже прямоугольный , то можно применить теорему Пифагора :
AE 2 =AO 2 +OE 2
AE 2 =96 2 +48 2 =9216+2304=11520
AE=√11520=√16*16*9*5=4*4*3*√5=48√5
Так как BE — биссектриса , то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
96√13/48√13=CE/(48√5)
2=CE/(48√5)
CE=96√5
AC=AE+CE=48√5+96√5=144√5
Ответ: AB=48√13, BC=96√13, AC=144√5

Биссектриса СМ треугольника ABC делит сторону АВ на отрезки АМ=15 и МВ=16. Касательная к описанной окружности треугольника АВС, проходящая через точку С, пересекает прямую АВ в точке D. Найдите CD.

Задача №413 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 00ECB0

Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.

Рассмотрим треугольники ADC и CBD.
∠ DCA= ∠ CBA (т.к. ∠ DCA равен половине градусной меры дуги CA по четвертому свойству углов, связанных с окружностью , и на эту же дугу опирается вписанный угол CBA, который тоже равен половине градусной меры дуги, на которую опирается по теореме ).
∠ CDB — общий для обоих треугольников, следовательно, по признаку подобия , треугольники ADC и CBD — подобны .
Следовательно, по определению подобных треугольников запишем:
CD/BD=AC/BC=AD/CD
AC/BC=AM/MB=10/18 (по первому свойству биссектрисы ).
Из этих равенств выписываем:
AD=CD*10/18 BD=CD*18/10, (BD=AD+AB=AD+18+10=AD+28)
AD+28=CD*18/10 CD*10/18+28=CD*18/10
28=CD*18/10-CD*10/18
28=(18*18*CD-10*10*CD)/180
28*180=CD(324-100)
CD=28*180/224=180/8=22,5
Ответ: CD=22,5

Окружности радиусов 45 и 55 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

В-8 (Я 20 2016) В-2 (Я Ш 2015)

Окружности радиусов 42 и 84 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Окружности радиусов 4 и 60 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Окружности радиусов 36 и 45 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Окружности радиусов 12 и 20 касаются внешним образом. Точки А и В лежат на первой окружности, точки С и D – на второй. При этом АС и ВD – общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми АВ и СD.

Задача №456 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 1456C2

Окружности радиусов 45 и 90 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.

Рассмотрим трапецию ACO ₁ O ₂
Данная трапеция прямоугольная , т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной ).
Проведем O ₂ K параллельно AC, O ₂ K=AC, т.к. ACKO ₂ — прямоугольник . По теореме Пифагора :
(O ₁ O ₂ ) 2 =(O ₂ K) 2 +(KO ₁ ) 2
(R+r) 2 =(O ₂ K) 2 +(R-r) 2
(90+45) 2 =(O ₂ K) 2 +(90-45) 2
18225=(O ₂ K) 2 +2025
(O ₂ K) 2 =16200
O ₂ K=10√162=AC
Рассмотрим треугольники OAO ₂ и OCO ₁ (cм. Рис.1).
∠ AOO ₂ — общий
∠ OAO ₂ = ∠ OCO ₁ =90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников ).
Тогда, R/r=OC/OA
90/45=OC/OA=(OA+AC)/OA
2*OA=OA+10√162
OA=10√162
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O ₁ 0/O ₂ O
R/r=(O ₂ O+R+r)/O ₂ O
90/45=(O ₂ O+90+45)/O ₂ O
2(O ₂ O)=O ₂ O+135
O ₂ O=135
Обозначим угол ∠ AOO ₂ как α
cosα =OA/OO ₂ =10√162/135
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды .
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=10√162*10√162/135=120
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(10√162+10√162)*10√162/135=20√162*10√162/135=200*162/135=240
EF=OF-OE=240-120=120
Ответ: EF=120

Точка D является основанием высоты, проведенной из вершины тупого угла А треугольника АВС к стороне ВС. Окружность с центром в точке D и радиусом DА пересекает прямые АВ и АС в точках Р и М, отличных от А, соответственно. Найдите АС, если АВ=9, АР=8, АМ=6.

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК:КМ=10:9. Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Середина диагонали АС выпуклого четырехугольника АВСD удалена от каждой из его сторон на расстояние, равное 12. Найдите площадь четырехугольника, если ВD=26.

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 13, 6 и 5. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

В параллелограмме АВСD проведена диагональ АС. Точка О является центром окружности, вписанной в треугольник АВС. Расстояния от точки О до точки А и прямых АD и АС соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма АВСD.

Задача №476 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — FF9799

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

По свойству касательной :
OF — радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора :
AO 2 =AF 2 +OF 2
25 2 =AF 2 +7 2
625=AF 2 +49
AF 2 =576
AF=24=AG
EH — высота параллелограмма. EH=OH+OE=7+8=15
S _ABC =p*r, где p — полупериметр, r — радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма ).
AC — общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников , данные треугольники равны.
Тогда: S _ABCD =2*S _ABC
И в тоже время S _ABCD =EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(24+x+x+y+y+24)*7=15*(x+y)
(48+2x+2y)*7=15*(x+y)
336+7(2x+2y)=15*(x+y)
336+14(x+y)=15*(x+y)
336=x+y
x+y=BC=AD
S _ABCD =EH*AD=15*336=5040
Ответ: S _ABCD =5040

Площадь ромба АВСD равна 18. В треугольник АВD вписана окружность, которая касается стороны АВ в точке К. Через точку К проведена прямая, параллельная диагонали АС и отсекающая от ромба треугольник площади 1. Найдите синус угла ВАС.

Дан ромб ABCD

AC, BD -диагонали

т. О — пересечение диагоналей

через т. К проведена прямая, которая пересекает BC в т. L, тогда по условию задачи площадь ΔKBL=1

Пусть KL пересекает BD в т. R, тогда ΔKBR=ΔBRL и площадь ΔKBR=1/2=0,5

Поскольку ΔDAB — равнобедренный, то центр ее вписанной окружности лежит на высоте AO

KB=BO, как касательные, выходящие с одной точки(B)

Диагонали ромба делят его на 4 равных треугольника, в нашем случае площадь одного такого треугольника равна 18/4=4,5

То есть площадь ΔABO=4,5

ΔABO и ΔKRB подобные и их площади относятся как квадраты подобных сторон

Пусть OB=x, тогда и KB=x, тогда

Окружность проходит через середины гипотенузы АВ и катета ВС прямоугольного треугольника АВС и касается катета АС. В каком отношении точка касания делит катет АС, считая от вершины А?

Пусть M — середина гипотенузы AB , N — середина катета BC , K — точка касания данной окружности с прямой AC , P — середина средней линии MN треугольника ABC . Перпендикуляр к AC , проведённый через точку K , проходит через центр окружности и делит пополам перпендикулярную ему хорду MN , т.е. проходит также через точку P . Тогда

Следовательно, АK : СK = 3 : 1 .

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 10 и 26, а основание ВС равно 1. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 20 и 29, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 24 и 25, а основание ВС равно 9. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 40 и 41, а основание ВС равно 16. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 16 и 34, а основание ВС равно 2. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Боковые стороны трапеции АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 12 и 13, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDС проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции.

Задача №543 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 05E365

Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.

Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF — средняя линия трапеции , так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по теореме Фалеса ).
∠ ADE= ∠ DEF (так как это накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠ DEF= ∠ EDF (так как DE — биссектриса ).
Значит треугольник EFD — равнобедренный (по свойству равнобедренного треугольника ).
Следовательно, EF=FD (по определению ).
EF=FD=CD/2=25/2=12,5
EF=(BC+AD)/2=12,5
(5+AD)/2=12,5
5+AD=25
AD=20
Дальше площадь трапеции можно найти разными способами:
1) Вычислить высоту трапеции. И вычислить площадь через высоту
2) Вычислить площадь через стороны трапеции.
Первый вариант
Проведем высоты как показано на рисунке.
MN=BC=5 (т.к. BCNM — прямоугольник ).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
20=x+5+ND
ND=15-x
Для треугольника ABM запишем теорему Пифагора :
AB 2 =h 2 +x 2
20 2 =h 2 +x 2
h 2 =400-x 2
Для треугольника CDN запишем теорему Пифагора :
CD 2 =h 2 +ND 2
25 2 =h 2 +(15-x) 2
625=h 2 +(15-x) 2
Подставляем вместо h 2 значение из первого уравнения:
625=400-x 2 +(15-x) 2
625-400=-x 2 +15 2 -2*15*x-x 2
225=15 2 -2*15*x
225=225-30x
30x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=20(20+5)/2=10*25=250

Второй вариант
Площадь трапеции можно найти по формуле .

Ответ: 250

Углы при одном из оснований трапеции равны 86 0 и 4 0 , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 4 и 1. Найдите основания трапеции.

Углы при одном из оснований трапеции равны 44 0 и 46 0 , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 44 и 46. Найдите основания трапеции.

Углы при одном из оснований трапеции равны 44 0 и 46 0 , а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон трапеции, равны 14 и 6. Найдите основания трапеции.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=34 и СD=22 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке к, причем угол АКВ=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=11 и СD=41 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=40 и СD=10 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол А Q В=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=15 и СD=18 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке Q , причем угол АКВ=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=5 и СD=17 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

Четырехугольник АВСD со сторонами АВ=39 и СD=6 вписан в окружность. Диагонали АС и ВD пересекаются в точке К, причем угол АКВ=60 0 . Найдите радиус окружности, описанной около этого четырехугольника.

В трапеции АВСD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой С D , если АD=8, ВС=4.

Задача №424 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — A00346

В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=16, BC=15.
Решение задачи:

По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD — отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BC (т.к. ABKC — прямоугольник ).
KD=AD-AK=16-15=1
По определению косинуса : cos ∠ CDK=KD/CD=1/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
∠ CTB= ∠ DCK (т.к. это соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
∠ TBC= ∠ CKD=90°
Следовательно, эти треугольники подобны (по первому признаку подобия ).
Тогда, BC/KD=TC/CD
15/1=TC/CD
TC=15CD
По теореме о касательно и секущей :
TE 2 =TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD 2
TE=CD√240=4CD√15
Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
∠ CTB — общий
∠ EFT= ∠ TAD=90°
Следовательно, применив теорему о сумме углов треугольника , получаем, что ∠ TEF= ∠ ADT.
Следовательно, cos ∠ TEF=cos ∠ ADT.
EF=TE*cos ∠ TEF=TE*cos ∠ ADT=TE/CD=4CD√15/CD=4√15
Ответ: EF=4√15

Две касающиеся внешним образом в точке К окружности, радиусы которых равны 12 и 13, касаются сторон угла с вершиной А. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку К, пересекает стороны угла в точках В и С. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС.

Задача №430 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 03D0F6

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Проведем несколько отрезков:
EH — радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной ).
FG — радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной ).
HG — отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠ EAH — общий;
углы AEH и AFG — прямые.
Следовательно эти треугольники подобны , тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
42/39=(AH+R+r)/AH
42AH=39(AH+81)
42AH-39AH=3159
AH=1053
sin ∠ EAH=EH/AH=39/1053=1/27
AK=AH+r=1053+39=1092
AK перпендикулярен BC, т.к. AK — это продолжение большого и малого радиусов, а BC — касательная к малой окружности ( свойство касательной ). AK делит хорду BC (BC — хорда для большой окружности) пополам (по второму свойству хорды ).
Треугольник ABC — равнобедренный , т.к. AK — и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника ).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1092
sinα=1/27
Так как AK — биссектриса , то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора :
AB 2 =AK 2 +BK 2
AB 2 =AK 2 +(AB*sinα) 2
AB 2 -AB 2 *sin 2 α=1092 2
AB 2 (1-1/27 2 )=1092 2
AB 2 (27 2 -1)=27 2 *1092 2
AB 2 =27 2 *1092 2 /(27 2 -1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный .
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника ).
sin α=ON/AO => ON=AO/27
По теореме Пифагора :
AO 2 =ON 2 +AN 2
AO 2 =AO 2 /27 2 +(AB/2) 2
AO 2 ((27 2 -1)/27 2 )=27 2 *1092 2 /(27 2 -1)
Закончив все вычисления, получаем, что AO=546,75
Ответ: Радиус описанной окружности равен 546,75.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найдите АD, если АС=15, ВС=18 и СD=10.

На стороне АВ треугольника АВС взята точка D так, что окружность, проходящая через точки А, С и D, касается прямой ВС. Найдите АD, если АС=20, ВС=10 и СD=8.

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка D так, что окружность, проходящая через точки A , C и D , касается прямой BC . Найдите AD , если AC=40 , BC=45 и CD=24 .

Сделаем рисунок.
Треугольник АВC тупоугольный — длина сторон предполагает это.
Сторона ВС — касательная,
ДС — хорда.
Согласно теореме об угле между касательной к окружности и хордой, проведенной через точку касания,
∠ ВСД равен половине дуги ДС , на которую опирается центральный угол ДОС, и равен половине этого центрального.
Вписанный угол ДАС опирается на ту же дугу и тоже равен половине угла ДОС.
∠ ВСД= ∠ ВАС.
Рассмотрим треугольники АВС и ДВС.
Они имеют по два равных угла:
∠ В — общий
∠ ВСД= ∠ ВАС из доказанного выше.
Найдем коэффициент подобия этих треугольников.
Соответственные стороны подобных треугольников лежат против равных углов.
АС:ДС=40:24=5:3
k=5/3
АВ:ВС=5:3
3АВ=5*45
3АВ=225
АВ=75
ВС:ВД=5/3
5ВД=3*45=135
ВД=135:5=27
АД =АВ-ВД=75-27= 48

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 4 и 15 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча АВ, если =.

Точки М и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 9 и 32 от вершины А. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча АВ, если =.

Задача №658 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 345EF5

Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos ∠ BAC=√11/6.

Вариант №1
Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD 2 =AM*AN (по теореме о касательно и секущей для точки А).
AD 2 =9*11=99
AD=√ 99 =√ 9*11 =√ 9 *√ 11 =3√ 11
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник прямоугольный (по свойству касательной ).
cos ∠ BAC=AD/AE (по определению ).
AE=AD/cos ∠ BAC=3√ 11 /(√ 11 /6)=3√ 11 *6/√ 11 =3*6=18
По теореме Пифагора :
AE 2 =DE 2 +AD 2
18 2 =DE 2 +(3√ 11 ) 2 324=DE 2 +9*11
DE 2 =324-99=225 DE=15
EN*EM=EF*DE (по теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54 R=5,4
Ответ : 5,4

Вариант №2 .
Дополнительно обозначим ключевые точки и проведем отрезки, как показано на рисунке.
По теореме о касательной и секущей найдем AD.
AD 2 =AM*AN=9*11=99 AD=√ 99
Рассмотрим треугольник ADM.
По теореме косинусов найдем DM:
DM 2 =AD 2 +AM 2 -2*AD*AM*cos ∠ BAC=(√ 99 ) 2 +9 2 -2*√ 99 *9*√ 11 /6=99+81-18*3√ 11 *√ 11 /6=180-3*3*11=180-99=81
DM=9
Так как DM=AM=9, значит треугольник ADM — равнобедренный .
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника ∠ BAM= ∠ ADM
По четвертому свойству углов, связанных с окружностью ∠ ADM равен половине градусной меры дуги DM.
∠ DOM — центральный угол , следовательно равен градусной мере дуги DM, т.е. вдвое больше, чем ∠ ADM.
Рассмотрим треугольник DOM.
Так как OD=OM=R, то данный треугольник равнобедренный .
Проведем высоту OE, как показано на рисунке.
По свойству равнобедренного треугольника : высота OE является так же и биссектрисой , и медианой .
Следовательно, ∠ DOE= ∠ DOM/2= ∠ ADM= ∠ BAC
Получаем, что cos ∠ DOE=cos ∠ BAC=√ 11 /6
sin ∠ DOE=√ 1-cos 2 ∠ DOE =√ 1-(√11/6) 2 =√ 1-11/36 =√ 25/36 =5/6 ( основная тригонометрическая формула )
DE=DM/2=9/2=4,5 (т.к. OE — медиана ).
sin ∠ DOE=DE/DO (по определению ).
5/6=4,5/DO DO=4,5/(5/6)=4,5*6/5=5,4=R
Ответ: R=5,4

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC .

Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник — он равнобедренный, следовательно, . Аналогично в треугольнике имеем: Теперь рассмотрим треугольник : сумма его углов равна 180°, поэтому

Поскольку кроме этого имеем:

Рассмотрим треугольники и они прямоугольные, имеют общий катет и равно следовательно, эти треугольники равны, а значит, .

Точка отстоит на равное расстояние от всех трёх вершин треугольника, , следовательно, точка — центр окружности, описанной около треугольника . Радиус описанной окружности

В треугольнике АВС биссектриса угла А делит высоту, проведенную из вершины В, в отношении 13:12, считая от вершины В. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС=20.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 5:4, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=6.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B, в отношении 25:24, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=14.

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 5:3, считая от точки B . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если BC = 8.

Введём обозначения как показано на рисунке. В треугольнике ABH , AK — биссектриса. Биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам, то есть

Найдём косинус угла:

Следовательно, синус угла BAC равен:

Из теоремы синусов найдём радиус описанной окружности:

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 80, а площадь равна 320, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 220, а площадь равна 2420, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания.

Задача №441 из 791. Номер задачи на WWW.FIPI.RU — 08E95E

В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 200, а площадь равна 2000, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.

S _ABCD =EF*(AD+BC)/2=2000
P _ABCD =AB+BC+CD+AD=200
AB=CD (так как трапеция равнобедренная ). Чтобы окружность можно было вписать в трапецию должно выполняться условие — суммы противоположных сторон трапеции должны быть равны, т.е.
AD+BC=AB+CD
AD+BC=2AB (т.к. AB=CD)
Тогда: P _ABCD =AB+BC+CD+AD=AB+2AB+AB=4AB=200
AB=50
Значит, AD+BC=2*50=100
S _ABCD =EF*(AD+BC)/2=EF*100/2=EF*50=2000
EF=40
Проведем высоту BH, как показано на рисунке.
BH=EF=40, так как BEFH — прямоугольник .
AH=(AD-BC)/2
По теореме Пифагора :
AB 2 =BH 2 +AH 2
50 2 =40 2 +AH 2
2500=1600+AH 2
900=AH 2
30=AH=(AD-BC)/2
60=AD-BC, вспомним, что AD+BC=100
60=AD-(100-AD)
60=AD-100+AD
160=2AD
AD=80
Тогда BC=100-80=20
Рассмотрим треугольники AKF и CKE
AF=AD/2=40
CE=BC/2=10
∠ AFK= ∠ CEK=90°
∠ AKF= ∠ CKE (т.к. они вертикальные )
По первому признаку подобия треугольников , данные треугольники подобны .
Тогда, AF/CE=KF/KE
40/10=KF/KE
4=(EF-KE)/KE (вспомним, что EF=40)
4KE=40-KE
5KE=40
KE=8
Ответ: KE=8

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

Удвоение медианы

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Видео:02. Удвоение медианы (часть 01)Скачать

Медиана треугольника

Определение . Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны (рис 1).

Поскольку в каждом треугольнике имеется три вершины, то в каждом треугольнике можно провести три медианы.

На рисунке 1 медианой является отрезок BD .

Утверждение 1 . Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади ( равновеликих треугольника).

Доказательство . Проведем из вершины B треугольника ABC медиану BD и высоту BE (рис. 2),

и заметим, что (см. раздел нашего справочника «Площадь треугольника»)

Поскольку отрезок BD является медианой, то

что и требовалось доказать.

Утверждение 2 . Точка пересечения двух любых медиан треугольника делит каждую из этих медиан в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Доказательство . Рассмотрим две любых медианы треугольника, например, медианы AD и CE , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 3).

Обозначим середины отрезков AO и CO буквами F и G соответственно (рис. 4).

Теперь рассмотрим четырёхугольник FEDG (рис. 5).

Сторона ED этого четырёхугольника является средней линией в треугольнике ABC . Следовательно,

Сторона FG четырёхугольника FEDG является средней линией в треугольнике AOC . Следовательно,

Отсюда вытекает, что точка O делит каждую из медиан AD и CE в отношении 2 : 1 , считая от вершины треугольника.

Следствие . Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим медиану AD треугольника ABC и точку O , которая делит эту медиану в отношении 2 : 1 , считая от вершины A (рис.7).

Поскольку точка, делящая отрезок в заданном отношении, является единственной, то и другие медианы треугольника будут проходить через эту точку, что и требовалось доказать.

Определение . Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника.

Утверждение 3 . Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников (рис. 8).

Доказательство . Докажем, что площадь каждого из шести треугольников, на которые медианы разбивают треугольник ABC , равна площади треугольника ABC. Для этого рассмотрим, например, треугольник AOF и опустим из вершины A перпендикуляр AK на прямую BF (рис. 9).