Как найти радиус описанной окружности через углы

Теорема синусов

Как найти радиус описанной окружности через углы

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Доказательство теоремы синусов

Теорема синусов звучит так: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Нарисуем стандартный треугольник и запишем теорему формулой:

Как найти радиус описанной окружности через углы

Формула теоремы синусов:

Как найти радиус описанной окружности через углы

Докажем теорему с помощью формулы площади треугольника через синус его угла.

Как найти радиус описанной окружности через углы

Из этой формулы мы получаем два соотношения:


    Как найти радиус описанной окружности через углы

Как найти радиус описанной окружности через углы
На b сокращаем, синусы переносим в знаменатели:
Как найти радиус описанной окружности через углы

  • Как найти радиус описанной окружности через углы
    bc sinα = ca sinβ
    Как найти радиус описанной окружности через углы
  • Из этих двух соотношений получаем:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Теорема синусов для треугольника доказана.

    Эта теорема пригодится, чтобы найти:

    • Стороны треугольника, если даны два угла и одна сторона.
    • Углы треугольника, если даны две стороны и один прилежащий угол.

    Видео:найти радиус окружности, описанной вокруг треугольникаСкачать

    найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника

    Доказательство следствия из теоремы синусов

    У теоремы синусов есть важное следствие. Нарисуем треугольник, опишем вокруг него окружность и рассмотрим следствие через радиус.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    где R — радиус описанной около треугольника окружности.

    Так образовались три формулы радиуса описанной окружности:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Основной смысл следствия из теоремы синусов заключен в этой формуле:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Радиус описанной окружности не зависит от углов α, β, γ. Удвоенный радиус описанной окружности равен отношению стороны треугольника к синусу противолежащего угла.

    Для доказательства следствия теоремы синусов рассмотрим три случая.

    1. Угол ∠А = α — острый в треугольнике АВС.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Проведем диаметр BA1. В этом случае точка А и точка А1 лежат в одной полуплоскости от прямой ВС.

    Используем теорему о вписанном угле и видим, что ∠А = ∠А1 = α. Треугольник BA1C — прямоугольный, в нём ∠ BCA1 = 90°, так как он опирается на диаметр BA1.

    Чтобы найти катет a в треугольнике BA1C, нужно умножить гипотенузу BA1 на синус противолежащего угла.

    BA1 = 2R, где R — радиус окружности

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для острого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    2. Угол ∠А = α — тупой в треугольнике АВС.

    Проведем диаметр окружности BA1. Точки А и A1 по разные стороны от прямой ВС. Четырёхугольник ACA1B вписан в окружность, и его основное свойство в том, что сумма противолежащих углов равна 180°.

    Следовательно, ∠А1 = 180° — α.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Вспомним свойство вписанного в окружность четырёхугольника:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Также известно, что sin(180° — α) = sinα.

    В треугольнике BCA1 угол при вершине С равен 90°, потому что он опирается на диаметр. Следовательно, катет а мы находим таким образом:

    α = 2R sin (180° — α) = 2R sinα

    Следовательно: R = α/2 sinα

    Для тупого треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Часто используемые тупые углы:

    • sin120° = sin(180° — 60°) = sin60° = 3/√2;
    • sin150° = sin(180° — 30°) = sin30° = 1/2;
    • sin135° = sin(180° — 45°) = sin45° = 2/√2.

    3. Угол ∠А = 90°.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    В прямоугольнике АВС угол А прямой, а противоположная сторона BC = α = 2R, где R — это радиус описанной окружности.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Для прямоугольного треугольника с описанной окружностью теорема доказана.

    Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

    Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

    Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

    Теорема о вписанном в окружность угле

    Из теоремы синусов и ее следствия можно сделать любопытный вывод: если известна одна сторона треугольника и синус противолежащего угла — можно найти и радиус описанной окружности. Но треугольник не задаётся только этими величинами. Это значит, что если треугольник еще не задан, найти радиус описанной окружности возможно.

    Раскроем эту тему на примере теоремы о вписанном в окружность угле и следствиях из нее.

    Теорема о вписанном угле: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    ∠А = α опирается на дугу ВС. Дуга ВС содержит столько же градусов, сколько ее центральный угол ∠BOC.

    Формула теоремы о вписанном угле:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Следствие 1 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    ∠А = ∠BAC опирается на дугу ВС. Поэтому ∠A = 1/2(∠COB).

    Если мы возьмём точки A1, А2. Аn и проведём от них лучи, которые опираются на одну и ту же дугу, то получим:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    На рисунке изображено множество треугольников, у которых есть общая сторона СВ и одинаковый противолежащий угол. Треугольники являются подобными, и их объединяет одинаковый радиус описанной окружности.

    Следствие 2 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Вписанные углы, которые опираются на диаметр, равны 90°, то есть прямые.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    ВС — диаметр описанной окружности, следовательно ∠COB = 180°.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Следствие 3 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Сумма противоположных углов вписанного в окружность четырёхугольника равна 180°. Это значит, что:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Угол ∠А = α опирается на дугу DCB. Поэтому DCB = 2α по теореме о вписанном угле.

    Угол ∠С = γ опирается на дугу DAB. Поэтому DAB = 2γ.

    Но так как 2α и 2γ — это вся окружность, то 2α + 2γ = 360°.

    Следовательно: α + γ = 180°.

    Поэтому: ∠A + ∠C = 180°.

    Следствие 4 из теоремы о вписанном в окружность угле

    Синусы противоположных углов вписанного четырехугольника равны. То есть:

    sinγ = sin(180° — α)

    Так как sin(180° — α) = sinα, то sinγ = sin(180° — α) = sinα

    Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

    Радиус описанной окружности трапеции

    Примеры решения задач

    Теорема синусов и следствия из неё активно используются при решении задач. Рассмотрим несколько примеров, чтобы закрепить материал.

    Пример 1. В треугольнике ABC ∠A = 45°,∠C = 15°, BC = 4√6. Найти AC.

      Согласно теореме о сумме углов треугольника:

    ∠B = 180° — 45° — 15° = 120°

  • Сторону AC найдем по теореме синусов:
    Как найти радиус описанной окружности через углы
  • Пример 2. Гипотенуза и один из катетов прямоугольного треугольника равны 10 и 8 см. Найти угол, который расположен напротив данного катета.

    В этой статье мы узнали, что в прямоугольном треугольнике напротив гипотенузы располагается угол, равный 90°. Примем неизвестный угол за x. Тогда соотношение сторон выглядит так:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Значит x = sin (4/5) ≈ 53,1°.

    Ответ: угол составляет примерно 53,1°.

    Видео:Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.Скачать

    Изогонали угла. Радиус описанной окружности и высота, проведенные из одной вершины треугольника.

    Запоминаем

    Обычная теорема: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

    >
    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Расширенная теорема: в произвольном треугольнике справедливо следующее соотношение:

    Видео:Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138Скачать

    Задача 6 №27921 ЕГЭ по математике. Урок 138

    Радиус описанной окружности

    Удобно, когда все формулы, по которым можно найти радиус описанной окружности для треугольника, квадрата, многоугольника размещены на одной странице.

    Формулы для нахождения радиуса описанной окружности треугольника (верны для треугольника любого вида):

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    где a, b, c — длины сторон треугольника, α, β, γ — противолежащие этим сторонам углы, S — площадь треугольника.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    у остроугольного треугольника — внутри треугольника;

    у прямоугольного — на середине гипотенузы;

    у тупоугольного — вне треугольника, напротив тупого угла.

    Радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Окружность, описанная около многоугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Если около многоугольника можно описать окружность, ее центр является точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника.

    Радиус описанной около многоугольника окружности находят как радиус окружности, описанной около треугольника. Для этого берут любые три вершины многоугольника.

    Например, для пятиугольника ABCDE можно взять любой из треугольников ABC, ABD, ABE, BCD, BCE, CDE, ACD, ACE, ADE, BDE.

    Радиус окружности, описанной около правильного многоугольника

    Формула радиуса описанной окружности для правильного многоугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    где a — длина стороны многоугольника, n — количество его сторон.

    Частные случаи — правильный треугольник, правильный четырехугольник (то есть квадрат), правильный шестиугольник.

    Радиус описанной окружности правильного треугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углыФормула радиуса описанной окружности для правильного треугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Если без иррациональности в знаменателе —

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    У правильного треугольника радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Радиус описанной окружности квадрата

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Формула радиуса описанной окружности для квадрата

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Если без иррациональности в знаменателе —

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Радиус описанной окружности правильного шестиугольника

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Формула радиуса описанной окружности для правильного шестиугольника

    Видео:Задание 24 ОГЭ по математике #7Скачать

    Задание 24 ОГЭ по математике #7

    Нахождение радиуса описанной вокруг треугольника окружности

    В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить радиус окружности, описанной около произвольного (любого), прямоугольного или равностороннего треугольника. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного теоретического материала.

    Видео:Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

    Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131

    Формулы вычисления радиуса описанной окружности

    Произвольный треугольник

    Радиус окружности, описанной вокруг любого треугольника, рассчитывается по формуле:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    где a, b, c – стороны треугольника, S – его площадь.

    Прямоугольный треугольник

    Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы или высоте, проведенной к гипотенузе.

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Равносторонний треугольник

    Радиус описанной около правильного треугольника окружности вычисляется по формуле:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    где a – сторона треугольника.

    Видео:Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815Скачать

    Как найти радиус описанной окружности? / ПРОФИЛЬ /#541815

    Примеры задач

    Задание 1
    Дан треугольник со сторонами 4, 6 и 9 см. Найдите радиус описанной около него окружности.

    Решение
    Для начала нам необходимо найти площадь треугольника. Т.к. нам известны длины всех его сторон, можно применить формулу Герона:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Теперь мы можем воспользоваться первой формулой из перечисленных выше для расчета радиуса круга:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Задание 2
    Дан треугольник, у которого известны две стороны из трех: 6 и 8 см. Найдите радиус описанной вокруг него окружности.

    Решение
    Треугольник со сторонами 6 и 8 см может быть только прямоугольным, причем известные по условиям задачи стороны являются его катетами. Таким образом, мы можем найти гипотенузу фигуры, воспользовавшись теоремой Пифагора:

    Как найти радиус описанной окружности через углы

    Как мы знаем, радиус круга, описанного вокруг прямоугольного треугольника, равняется половине его гипотенузы, следовательно: R = 10 : 2 = 5.

    📸 Видео

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)Скачать

    Как найти радиус описанной окружности (Задача №324618)

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)Скачать

    Радиус описанной окружности (ОГЭ, ЕГЭ)

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэСкачать

    ЕГЭ профиль #3 / Радиус описанной окружности / Равносторонний треугольник / решу егэ

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметрСкачать

    Радиус вписанной окружности, формулу через площадь и полупериметр

    Найти радиус описанной окружности. Задача ОГЭ-ЕГЭСкачать

    Найти радиус описанной окружности. Задача ОГЭ-ЕГЭ

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

    Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

    Как найти радиус описанной окружности?Скачать

    Как найти радиус описанной окружности?

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминанияСкачать

    Вписанная и описанная окружности | Лайфхак для запоминания

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна описана около квадрата, другая вписана в него.Скачать

    Задание 16 ОГЭ по математике. Две окружности одна  описана около квадрата, другая вписана в него.

    Треугольник и окружность #shortsСкачать

    Треугольник и окружность #shorts
    Поделиться или сохранить к себе: