Метод масс в геометрии треугольника

Метод масс в геометрии

Разделы: Математика

Учитель: Сегодня на уроке мы рассмотрим один интересный метод решения ряда геометрических задач. Называется этот метод «Метод масс». (слайд №1)

Родоначальником метода масс был великий древнегреческий мыслитель Архимед. Еще в 3 веке до нашей эры он обнаружил возможность доказывать новые математические факты с помощью свойств центра масс (барицентра). В частности, этим способом была установлена теорема о том, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Несколько простых свойств центра масс позволяют решать различные задачи геометрии и алгебры.

Доклад учащегося об Архимеде. Приложение 1.

Учитель: Из курса физики известно, что материальной точкой можно назвать тело, размерами которого можно пренебречь, то есть, фактически, материальная точка — точка, снабженная массой. Выражение «mА» означает: точка А массой m.

Множество материальных точек — система материальных точек (СМТ).

Учитель: Давайте представим, что мы подвесили карандаш на ниточке. (Слайд №8).

В зависимости от того, в каком месте карандаша будет располагаться наша ниточка, карандаш будет висеть либо параллельно полу — либо нет. Если мы смогли найти такое положение нитки, что карандаш висит параллельно полу — это значит, что ниточка обхватывает наш карандаш в центре масс.

Давайте вспомним детские качели. (Слайд №9). Подскажите псу куда нужно ему пересесть, что74бы качели пришли в равновесие?

Правильно. (Слайд №10)

А сейчас я хочу познакомить вас с постулатами Архимеда.

Любая конечная система материальных точек имеет единственный центр масс.

2. Система, состоящая из двух материальных точек имеет центр масс, принадлежащий отрезку, соединяющему эти точки причем его положение определяется правилом рычага: m1d1=m2d2

Метод масс в геометрии треугольника

3. Если в системе, состоящей из конечного числа материальных точек, отметить несколько материальных точек и массы всех отмеченных точек перенести в их центр масс, то от этого положение центра масс всей системы не изменится.

Задача Архимеда (о медианах треугольника): медианы треугольника пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Треугольник АВС- произвольный

Метод масс в геометрии треугольника

Пусть точка пересечения медиан — центр масс треугольника.

Помещаем в вершину А массу, равную единице. Поскольку точка В1 делит сторону АС пополам, то и в точку С должна быть помещена масса, равная единице. Аналогично и в точку В , т. к. А1 — тоже середина.

1. СМТ 1А, 1В, 1С с центром масс в т. О.

2. 1А+1С=2В1. Рассмотрим СМT 1В, 2В1 с центром масс в т.О. Тогда по правилу рычага имеем ВО:ОВ1 = 2:1.

3. 1В+1С=2А1. Рассмотрим СМT 1А, 2А1 с центром масс в т.О. Тогда по правилу рычага имеем АО:ОА1 = 2:1.

4. Аналогично СО:ОС1 = 2:1. Что и требовалось доказать.

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:5, а АМ: МС=1:2. Найти ВО:ОМ и АО:ON, гдеО — точка пересечения чевиан.

Метод масс в геометрии треугольника

Решение. (Слайд №16)

Помещаем в вершину С массу, равную единице. Поскольку точка М делит сторону АС в отношении 1:2, то по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная двум. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная пяти, т. к. ВN: NC=1:5

1)СМТ 2А,5В,1С с центром масс в точке О.

2) 2A+1C=3M; 5В,3М — сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага ВО:ОМ=3:5

3) 5В+1C=6N; 6N, 2А — сист. Мат точек с ц.м. в т.О

По правилу рычага АО:ОN=6:2=3:1

Ответ: ВО:ОМ=3:5, АО:ОN=6:2=3:1

В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=1:7, а АМ: МС=2:5. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

Метод масс в геометрии треугольника

Помещаем в вершину С массу, равную двум. Тогда по правилу рычага в точку А должна быть помещена масса, равная пяти,так как АМ: МС=2:5. Аналогично в точку В быть помещена масса, равная 14, т. к. ВN: NC=1:7, а в тоске С масса 2.

1)Введем систему материальных точек 5А,14В,2С с центром масс в точке О.

2) 5A+2C=7M; 14В,7М — СМТ с ц.м. в т.О . По правилу рычага ВО:ОМ=7:14=1:2

Метод масс в геометрии треугольника

3) 14В+2C=16N; 16N, 5А — СМТ с ЦМ. в т.О. По правилу рычага АО:ОN=16:5=3:1

4) SCMON= Метод масс в геометрии треугольника

Итоги урока: Сегодня на уроке мы познакомились с инересным методом решения геометрических задач — методом масс. А так же узнали интересные факты их жизни создателя этого метода — Архимеда.

Домашнее задание: (слайд 23)

1. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=2:3, а АМ: МС=2:1. Найти ВО:ОМ и АО:ON, гдеО — точка пересечения чевиан.

2. В треугольнике АВС проведены чевианы ВМ и АN так, что ВN: NC=4:3, а АМ: МС=2:3. Найти какую часть площади АВС составляет площадь СМОN.

3. В треугольнике АВС на стороне ВС выбрана точка D так, что BD : DC=1:2. Медиана СЕ пересекает отрезок АВ в точке F. Какую часть площади треугольника АВС составляет площадь треугольника АЕF?

Использованная литература:

  • Балк М.Б., Болтянский В.Г. Геометрия масс
  • Мякишев А.Г. Элементы геометрии треугольника
  • Никулин А.В., Кукуш А.Г., Татаренко Ю.С. Геометрия на плоскости
  • Видео:Метод центра масс. Олимпиадная математика. Be Student SchoolСкачать

    Метод центра масс. Олимпиадная математика. Be Student School

    Метод масс в геометрии треугольника

    Любите ли вы геометрию? Многие на этот вопрос отвечают «нет», потому что в школе она даётся труднее всего. Причём особенную нелюбовь вызывают у учеников задачи о пересекающихся отрезках в треугольнике, к которым трудно даже подступиться. В этой статье мы расскажем о замечательном методе решения подобных задач — методе масс.

    Эта статья была опубликована в журнале OYLA №10(38). Оформить подписку на печатную и онлайн-версию можно здесь.

    Наверняка в детстве вы качались на качелях-весах. И наверняка один из двоих чаще всего оказывался тяжелее и его сторона постоянно перевешивала. А что можно сделать в этой ситуации, чтобы уравновесить качели?

    Вспоминаем правило рычага: чтобы система была в равновесии, моменты сил, действующих на качели, должны быть одинаковыми.

    Так как силы в нашем случае — это силы тяжести, верно следующее равенство:

    Метод масс в геометрии треугольника

    Сокращаем константу g и получаем, что отношение масс обратно пропорционально отношению расстояний от края качелей до опоры.

    Метод масс в геометрии треугольника

    Метод масс в геометрии треугольника

    Обратите внимание: вес самих качелей мы не учитываем. То есть система состоит из двух точек — концов отрезка с «гирьками», а также третьей точки, которая делит этот отрезок в отношении, обратно пропорциональном отношению масс «гирек». Последняя точка имеет своё название — она является центром масс системы из двух точек-«гирек».

    Что же такое центр масс, или, как его ещё называют, центр тяжести? Формальное определение звучит так:

    Точка О называется центром масс системы из n точек А1, А2, …, Аn, где каждой точке соответствует масса m1, m2, …, mn, если верно следующее равенство:

    Метод масс в геометрии треугольника

    Не пугайтесь этой формулы! На деле решать задачи данным методом можно не думая про векторы. Сделаем допущение, что груз на концах отрезков не имеет размера — только массу.

    Чтобы найти центр масс системы из двух точек, надо всего лишь разбить отрезок в отношении, обратно пропорциональном массам точек. Это условие делает верным наше векторное равенство.

    Теперь рассмотрим систему из трёх точек, образующих некий треугольник. Как найти его центр масс? Для большей наглядности представим большой поднос, на котором произвольно расставлены гири. И официанта, который ловко удерживает поднос на одном пальце. Точка, в которой палец соприкасается с подносом, и есть центр масс. Только условимся, что поднос обладает бесконечно малой массой.

    Метод масс в геометрии треугольника

    Как же найти эту точку? Оказывается, у центра масс есть следующее полезное свойство.

    Если есть система точек с массами в них и какую-то пару точек А(mA) и B(mB) мы заменим их центром масс Р(mA+mB), то центр масс исходной системы не изменится.

    Доказать это свойство попробуйте самостоятельно: это несложное упражнение на векторы.

    Давайте применим указанное свойство к треугольнику. Если есть треугольник с вершинами А, В, С с массами в них, то, чтобы найти центр масс данной системы, можно сперва найти центр масс точек А и В (точку Р), а затем найти центр масс точек Р и С. В каждом из двух случаев центр масс мы находим с помощью обычного правила рычага.

    Всё это здорово, но возникает резонный вопрос: а зачем? Какое отношение имеют эти рассуждения к геометрическим задачам? Терпение, друзья!

    Дан треугольник АВС. М — середина АВ, точка К лежит на отрезке АС и делит его в отношении 1:2 от вершины А. В каком отношении отрезок СМ делит отрезок ВК?

    Метод масс в геометрии треугольника

    Решение Суть нашего метода в следующем. Расставим в точки А, В и С массы 2, 2 и 1 соответственно. Как вы видите, центр масс точек А(2) и В(2) — это точка М(4). Значит, центр масс всей системы из трёх точек находится на отрезке СМ и делит его в отношении 1:4 от С.

    Теперь вернёмся к началу и найдём центр масс точек А и С. Это будет точка К(3). Значит, центр масс исходной системы лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 3:2 от В.

    Но речь идёт об одной и той же системе точек А, В и С, а значит, у них один и тот же центр масс, который лежит и на СМ, и на ВК. Таким образом, центр масс не что иное, как точка О. Отсюда следует, что искомое отношение ВО к ОК равно 3:2.

    Ответ. 3:2.

    Постойте-ка! А как это мы догадались расставить массы именно так: 2, 2 и 1? На самом деле никакой магии тут нет. Наша цель — расставить массы в вершинах треугольника так, чтобы их центром оказалась точка О. Но почему именно 2, 2 и 1? Всё дело в том, что О будет центром масс, если мы покажем, что центр масс одновременно лежит и на отрезке СМ, и на отрезке ВК. Следовательно, в первом случае массы из точек А и В должны сместиться в точку М. Вспоминаем правило качелей: так как АМ = ВМ, то массы в точки А и В надо ставить одинаковые. Запомним это.

    Во втором случае мы должны поставить массы в А и С так, чтобы их центром была точка К. Но АК:СК = 1:2, значит, в точке А масса должна быть вдвое больше, чем в С. Следовательно, ставим в С массу 1, тогда в А будет 2 (вдвое больше) и в В — тоже 2 (как в А).

    Методом масс можно не только решать задачи, но и доказывать теоремы.

    Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершин.

    Метод масс в геометрии треугольника

    Решение Рассмотрим медианы ВК и СМ. В данном случае и К, и М — середины, поэтому поставим во все три вершины А, В и С массу 1. Далее рассмотрим точки А и В. Их центр масс — точка М(2). Значит, центр масс системы точек А, В и С лежит на отрезке СМ и делит его в отношении 2:1 от вершины С.

    Теперь рассмотрим точки А и С, их центр масс — точка К(2). Значит, центр масс всё той же системы точек А, В и С лежит на отрезке ВК и делит его в отношении 2:1 от вершины В. Но тогда искомый центр масс — это точка О на пересечении отрезков ВК и СМ, причём каждый из отрезков эта точка делит в отношении 2:1 от вершин.

    Осталось заметить, что если мы рассмотрим медианы ВК и АР, то их точка пересечения также будет центром масс и разделит ВК и АР в отношении 2:1 от вершин. Но точка, которая делит ВК в отношении 2:1 от В, единственная, значит, в обоих случаях речь идёт об одной и той же точке О. Итак, все три медианы проходят через точку О и делятся ею в отношении 2:1 от вершин, что и требовалось доказать.

    Видео:Метод масс в геометрии треугольника (теоретическая часть)Скачать

    Метод масс в геометрии треугольника (теоретическая часть)

    Метод масс в геометрии

    Этот видеоурок доступен по абонементу

    У вас уже есть абонемент? Войти

    Метод масс в геометрии треугольника

    На этом занятии мы рассмотрим следующую тему – «Метод масс в геометрии». Урок начнем с рассмотрения примера катающихся на качелях детей. Расскажем, как данный физический факт нашел применение в геометрии, получив название «метод масс». Научимся с его помощью можно определять центр масс.

    📸 Видео

    Метод масс в геометрии треугольника (практическая часть)Скачать

    Метод масс в геометрии треугольника (практическая часть)

    Механика | динамика | центр масс треугольникаСкачать

    Механика | динамика | центр масс треугольника

    Удивительная связь физики и геометрии!Скачать

    Удивительная связь физики и геометрии!

    Метод масс в геометрии.Скачать

    Метод масс в геометрии.

    Центр тяжести треугольникаСкачать

    Центр тяжести треугольника

    Центр масс в математике (или механика помогает геометрии)Скачать

    Центр масс в математике (или механика помогает геометрии)

    математика 11 класс. Геометрия масс (метод масс)Скачать

    математика 11 класс. Геометрия масс (метод масс)

    Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положенияСкачать

    Урок 79. Центр масс тела и методы определения его положения

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

    Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

    Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

    Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

    Метод ГЕОМЕТРИИ МАСС (ЗАДАНИЕ № 16 (С4) ЕГЭ 2012-1Скачать

    Метод ГЕОМЕТРИИ МАСС (ЗАДАНИЕ № 16 (С4) ЕГЭ    2012-1

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессораСкачать

    Самый короткий тест на интеллект Задача Массачусетского профессора

    Математика это не ИсламСкачать

    Математика это не Ислам

    Урок 80. Определение положения центра масс телаСкачать

    Урок 80. Определение положения центра масс тела

    Три центра массСкачать

    Три центра масс

    КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | МатематикаСкачать

    КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

    Определение центра тяжести сложной фигуры. СопроматСкачать

    Определение центра тяжести сложной фигуры. Сопромат

    🔥 ФОКУС с треугольником #shortsСкачать

    🔥 ФОКУС с треугольником #shorts
    Поделиться или сохранить к себе: