Таблица признаков равенства треугольников

Треугольники. Признаки равенства треугольников

Треугольник − это геометрическая фигура, образованная соединением отрезками трех, не лежащих на одной прямой точек .

Эти точки называются вершинами треугольника. Отрезки, соединяющие эти точки называются сторонами треугольника.

Таблица признаков равенства треугольников

Треугольник обозначается знаком ⊿. Например треугольник ABC обозначается так: ⊿ABC. Этот же треугольник можно обозначать так: ⊿BAC, ⊿CBA и т.д.

Углы треугольника обозначают так ∠BAC, ∠ABC, ∠BCA. Эти же углы коротко обозначают также ∠A, ∠B, ∠C, соответственно. Углы треугольника принято также обозначать греческими буквами α, β, γ и т.д. Стороны тркеугольника обозначают так AB, BC, AC. Принято также стороны обозначать одной строчной буквой, причем сторона напротив угла A ,обозначается буквой a, сторона напротив угла Bb, сторона напротив угла Cc. Сумма трех сторон треугольника называется периметром треугольника.

Как известно, две треугольники называются равными, если при наложении друг на друга их можно совместить. На Рис.2 представлены два треугольника ABC и A1B1C1. Треугольник ABC можно наложить на треугольник A1B1C1 так, чтобы вершины и стороны этих треугольников попарно совместились. Очевидно, что при этом совместятся и соответствующие углы.

Таблица признаков равенства треугольников

Вышеизложенное можно сформулировать так:

Если два треугольника равны, то элементы (стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Равенство треугольников ABC и A1B1C1 обозначается так:

Таблица признаков равенства треугольников
Содержание
  1. Первый признак равенства треугольников
  2. Второй признак равенства треугольников
  3. Третий признак равенства треугольников
  4. Задачи и решения
  5. Признаки равенства треугольников
  6. Первый признак равенства треугольников
  7. Второй признак равенства треугольников
  8. Третий признак равенства треугольников
  9. Признаки равенства треугольников — определение и вычисление с примерами решения
  10. Определения
  11. Равные треугольники
  12. Виды треугольников
  13. Первый и второй признаки равенства треугольников
  14. Пример №1
  15. Пример №2
  16. Пример №3
  17. Пример №4
  18. Высота, медиана и биссектриса треугольника
  19. Равнобедренный треугольник
  20. Пример №5
  21. Пример №6
  22. Признаки равнобедренного треугольника
  23. Пример №7
  24. Пример №8
  25. Третий признак равенства треугольников
  26. Пример №9
  27. Пример №10
  28. Пример №11
  29. Серединный перпендикуляр к отрезку
  30. Пример №12
  31. Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).
  32. 📺 Видео

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№10 - Первый признак равенства треугольников.)

Первый признак равенства треугольников

Теорема 1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1C1 (Рис.3). Пусть AB=A1B1, =A1С1 и ∠A=∠A1. Докажем, что Таблица признаков равенства треугольников.

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1 (Рис.4). Пусть AB=A1B1, ∠A=∠A1, ∠B=∠B1. Докажем, что Таблица признаков равенства треугольников.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и A1B1С1. Пусть AB=A1B1, AC=A1C1 и BC=B1C1. Докажем, что Таблица признаков равенства треугольников. Приложим треугольник ABC к треугольнику A1B1С1 так, чтобы вершина A совмещалась с вершиной A1, вершина B совмещалась с вершиной B1, а вершины С и С1 находились по разные стороны от прямой A1B1.

Таблица признаков равенства треугольников

Возможны три варианта: луч CC1 проходит внутри угла ACB(Рис.6); луч CC1 совпадает с одной из сторон угла ACB (Рис.7); луч CC1 проходит вне угла ACB(Рис.8). Рассмотрим эти три случая по отдельности.

Таблица признаков равенства треугольниковТаблица признаков равенства треугольников.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 ∠ACB=∠A1C1B1 и по первому признаку равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников. Теорема доказана.

Таблица признаков равенства треугольников

Вариант 2 (Рис.7). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольник BСС1 равнобедренный. Тогда ∠1=∠2. Имеем: AC=A1C1, BC=B1C1, ∠1=∠2 и по первому признаку равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников. Теорема доказана.

Таблица признаков равенства треугольников

Вариант 3 (Рис.8). Так как по условию теоремы AC=A1C1 и BC=B1C1, то треугольники AСС1 и BСС1 равнобедренные. Тогда ∠1=∠2 и Таблица признаков равенства треугольникови, следовательно:

Таблица признаков равенства треугольниковТаблица признаков равенства треугольников.

Имеем AC=A1C1, BC=B1C1 Таблица признаков равенства треугольникови по первому признаку равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников. Теорема доказана.

Видео:Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. Практическая часть. 7 класс.

Задачи и решения

Задача 1. На сторонах угла CAD отмечены точки B и E так, что точка B лежит на отрезке AC, а точка E − на отрезке AD, причем AC=AD и AB=AE. Докажите, что ∠CBD=∠DEC (Рис.9).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство. AC=AD, AE=AB, ∠CAD общий для треугольников CAE и DAB. Тогда, по первому признаку равенства треугольников (теорема 1) ⊿ACE=⊿ADB. Следовательно ∠DBA=∠AEC. Поскольку углы CBD и DBA смежные, то CBD=180°−∠DBA. Аналогично CED=180°-∠AEC. То есть ∠CBD=∠DEC. Конец доказательства .

Задача 2. По данным рисунка рис.10 докажите, что OP=OT, ∠P=∠T

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство. OC=OB, ∠TCO=∠PBO=90°. Углы TOC и POB вертикальные (следовательно равны) тогда, повторому признаку равенства треугольников (теорема 2), ⊿TCO=⊿PBO. Конец доказательства .

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Признаки равенства треугольников

Таблица признаков равенства треугольников

О чем эта статья:

Видео:7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 15 урок, Первый признак равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников

Конечно, равенство треугольников всегда можно доказать наложением одного треугольника на другой. Но, согласитесь, — это несерьезно. Какое может быть наложение, когда есть три теоремы и можно их доказать.

Давайте рассмотрим три признака равенства треугольников.

Теорема 1. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

При наложении △A1B1C1 на △ABC вершина A1 совмещается с вершиной A, и сторона A1B1 накладывается на сторону AB, AC — на сторону A1C1.

Сторона A1B1 совмещается со стороной AB, вершина B совпадает с вершиной B1, сторона A1С1 совмещается со стороной AС, вершина C совпадает с вершиной C1.

Значит, происходит совмещение вершин В и В1, С и С1.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№15 - Решение задач на признаки равенства треугольников.)

Второй признак равенства треугольников

Теорема 2. Равенство треугольников по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Путем наложения △ABC на △A1B1C1, совмещаем вершину А с вершиной A1, вершины В и В1 лежат по одну сторону от А1С1.

Тогда АС совмещается с A1C1, вершина C совпадает с C1, поскольку мы знаем, что АС = A1C1.

AB накладывается на A1B1, поскольку мы знаем, что ∠A = ∠A1.

CB накладывается на C1B1, поскольку мы знаем, что ∠C = ∠C1.

Вершина B совпадает с вершиной B1.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№14 - Второй и третий признаки равенства треугольников.)

Третий признак равенства треугольников

Теорема 3. Равенство треугольников по трем сторонам.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство 3 признака равенства треугольников:

Приложим △ABC к △A1B1C1 таким образом, чтобы вершина A совпала с вершиной A1, вершина B — с вершиной B1, вершина C и вершина C1 лежат по разные стороны от прямой А1В1.

Кроме трех основных теорем, запомните еще несколько признаков равенства треугольников.

Равны ли треугольники, можно определить не только по сторонам и углам, но и по высоте, медиане и биссектрисе.

  1. Если угол, сторона, противолежащая этому углу, и высота, опущенная на другую сторону, одного треугольника соответственно равны углу, стороне и высоте другого треугольника — такие треугольники равны.
    Таблица признаков равенства треугольников
  2. Если две стороны и медиана, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и медиане другого треугольника — такие треугольники равны.
    Таблица признаков равенства треугольников
  3. Если сторона и две медианы, проведенные к двум другим сторонам, одного треугольника соответственно равны стороне и двум медианам другого треугольника — такие треугольники тоже равны.
    Таблица признаков равенства треугольников
  4. Если две стороны и биссектриса, заключенная между ними, одного треугольника соответственно равны двум сторонам и биссектрисе другого треугольника — вы уже догадались сами: эти ребята равны.
    Таблица признаков равенства треугольников
  5. Два треугольника равны, если сторона, медиана и высота, проведенные к другой стороне, одного треугольника соответственно равны стороне, медиане и высоте другого треугольника.
    Таблица признаков равенства треугольников

Как видите, доказать равенство треугольников можно по множеству признаков и десятком способов. Три признака равенства треугольников — основные. Все остальные способы также стоит запомнить, ведь треугольник — только с виду простая фигура.

Видео:ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Признаки равенства треугольников — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Если на плоскости отметить три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, и соединить их отрезками, то получим треугольник ABC. Можно сказать, что треугольник — это трехзвенная замкнутая ломаная. Обозначают: Таблица признаков равенства треугольников

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Определения

Таблица признаков равенства треугольников

Определение. Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Если соединить концами три деревянных планки, то получится треугольник, который нельзя подвергнуть деформации — он будет сохранять свою форму. Тогда как четырехугольник может менять свою форму (рис. 102)? Это свойство «жесткости» треугольника широко используется в технике, производстве, строительстве.
Таблица признаков равенства треугольников

Равные треугольники

Равные треугольники можно совместить наложением так, что соответственно совпадут все три стороны и все три угла (рис. 103). В совпавших, то есть в равных треугольниках, против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны. Если Таблица признаков равенства треугольниковто Таблица признаков равенства треугольникова если Таблица признаков равенства треугольниковто Таблица признаков равенства треугольников

Таблица признаков равенства треугольников

Для совмещения равных отрезков достаточно совпадения их концов, а для совмещения равных треугольников — совпадения их вершин.

Виды треугольников

Если у треугольника все три стороны имеют разную длину, то такой треугольник называется разносторонним.

Треугольник, у которого две стороны равны, называется равнобедренным. Его равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника (рис. 104).

Таблица признаков равенства треугольников

Если у треугольника равны все три стороны, то он называется равносторонним (рис. 105). Равносторонний треугольник является также и равнобедренным, где любую пару сторон можно принять за боковые стороны.

Таблица признаков равенства треугольников

По величине углов треугольники делятся на остроугольные (у них все углы острые), тупоугольные (есть тупой угол) и прямоугольные (есть прямой угол) (рис. 106).

Таблица признаков равенства треугольников

Треугольником называется трехзвенная замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, которую она ограничивает.

Периметром треугольника (многоугольника) называется сумма длин его сторон.

Равными треугольниками называются треугольники, которые можно совместить наложением.

Равнобедренным треугольником называется треугольник, у которого две стороны равны.

Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого все стороны равны.

Свойство равных треугольников. В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, а против равных углов — равные стороны.

Замечание. Называя или записывая равные треугольники, стараются соблюдать последовательность соответствующих вершин. Во многих случаях это удобно. Однако делать это необязательно. Обе записи: Таблица признаков равенства треугольниковАВС =Таблица признаков равенства треугольниковKNM и Таблица признаков равенства треугольниковBAC =Таблица признаков равенства треугольниковKNM — правильные. Иногда соответствующие вершины равных треугольников обозначают одними и теми же буквами, добавляя к буквам одного из треугольников индекс: Таблица признаков равенства треугольниковАВС = = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1. При такой записи имеют в виду, что соответствующими являются вершины А и А1, В и В1, С и С1.

Первый и второй признаки равенства треугольников

При выяснении равны ли треугольники нет необходимости устанавливать равенство всех их соответствующих элементов путем наложения или измерения. Следующие две теоремы гарантируют равенство треугольников при равенстве некоторых сторон и углов.

Теорема (первый признак равенства треугольников). Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: АВ =А1В1, АС =А1С1, Таблица признаков равенства треугольниковA = Таблица признаков равенства треугольниковA1 (рис. 108).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать: Таблица признаков равенства треугольниковАВС = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные углы А и А1, луч АВ совпал с лучом А1В1, а луч АС совпал с лучом А1С1. Так как отрезки АВ и А1В1 равны, то они совпадут при наложении, и вершина В совпадет с вершиной В1. Аналогично совпадут равные отрезки АС и A1C1, вершина С совпадет с вершиной C1. Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Таблица признаков равенства треугольниковАВС = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что две стороны и угол между ними задают треугольник однозначно.

Теорема (второй признак равенства треугольников). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

AC =А1С1, Таблица признаков равенства треугольниковA = Таблица признаков равенства треугольниковА1, Таблица признаков равенства треугольниковC = Таблица признаков равенства треугольниковС1 (рис. 109).

Доказать: Таблица признаков равенства треугольниковАВС = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1.

Доказательство:

Наложим треугольник ABC на треугольник А1В1С1 так, чтобы совпали равные стороны АС и А1С1, угол А совпал с равным углом А1, а угол С — с равным углом Сх. Тогда луч АВ совпадет с лучом А1В1, луч СВ — с лучом С1В1, а вершина В совпадет с вершиной В1 (точка В будет принадлежать и прямой
А1В1, и прямой С1В1, и поэтому совпадет с точкой их пересечения В1). Треугольники совпадут полностью, так как совпадут их вершины. Таким образом, Таблица признаков равенства треугольниковАВС = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1. Теорема доказана.

Говорят, что сторона и два прилежащих к ней угла задают треугольник однозначно

Пример №1

Отрезки АВ и CD пересекаются в их серединах. Доказать, что расстояния между точками А и С, В и D равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков АВ и CD (рис. 110). Рассмотрим Таблица признаков равенства треугольниковАОС и Таблица признаков равенства треугольниковBOD. У них АО = ОВ, CO = OD по условию, Таблица признаков равенства треугольниковAOC = Таблица признаков равенства треугольниковBOD как вертикальные. Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними, то есть по 1-му признаку равенства треугольников. Стороны АС и BD равны, так как в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны.

Возможно краткое оформление решения задачи.Таблица признаков равенства треугольников

Пример №2

Дана простая замкнутая ломаная ABCD, у которой АВ =AD = 6 см, CD -4 см и луч АС является биссектрисой угла BAD. Найти длину ломаной ABCD.

Решение:

У треугольников ABC и ADC сторона АС — общая (рис. 111), AB=AD по условию, Таблица признаков равенства треугольниковBAC =Таблица признаков равенства треугольниковDAC, так как АС — биссектриса угла BAD.

Таблица признаков равенства треугольников

Эти треугольники равны по 1-му признаку равенства треугольников.

Отсюда ВС = CD как соответствующие (соответственные) стороны в двух равных треугольниках.

Длина ломаной ABCD: Таблица признаков равенства треугольников

Пример №3

На сторонах угла В отложены отрезки: ВА = ВС, КА-МС (рис. 112). Доказать, что Таблица признаков равенства треугольниковA = Таблица признаков равенства треугольниковС.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Рассмотрим треугольники АВМ и СВК. У них Таблица признаков равенства треугольниковB — общий, АВ = СВ по условию, MB=KB, так как MB = СВ — СМ, KB =АВ -АК (если от равных отрезков отнять равные, получим равные отрезки). Треугольники АВМ и СВК равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует, что Таблица признаков равенства треугольниковA = Таблица признаков равенства треугольниковC (в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы).

Пример №4

На рисунке 113 Таблица признаков равенства треугольниковBAD = Таблица признаков равенства треугольниковCDA, Таблица признаков равенства треугольниковCAD = Таблица признаков равенства треугольниковBDA. Доказать равенство треугольников АОВ и DOC.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Так как Таблица признаков равенства треугольниковABD =Таблица признаков равенства треугольниковDCA по 2-му признаку равенства треугольников (сторона AD — общая, углы при стороне AD соответственно равны по условию), то АВ = DC, Таблица признаков равенства треугольниковB =Таблица признаков равенства треугольниковC.

Так как Таблица признаков равенства треугольниковBAO = Таблица признаков равенства треугольниковBAD — Таблица признаков равенства треугольниковCAD, Таблица признаков равенства треугольниковCDO = Таблица признаков равенства треугольниковCDA — Таблица признаков равенства треугольниковBDA, тo Таблица признаков равенства треугольниковBAO =Таблица признаков равенства треугольниковCDO (если от равных углов отнять равные, получим равные углы). Тогда Таблица признаков равенства треугольниковАОВ = Таблица признаков равенства треугольниковDOC по 2-му признаку равенства треугольников.

Высота, медиана и биссектриса треугольника

У треугольника, помимо трех сторон, трех вершин и трех углов, имеются также и другие элементы — высота, медиана и биссектриса.
Таблица признаков равенства треугольников

Определение. Высотой треугольника (рис. 118, а) называется перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону или на ее продолжение (отрезок ВН).

Определение. Медианой треугольника (рис. 118, б) называется отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны (отрезок ВМ).

Определение. Биссектрисой треугольника (рис. 118, в) называется отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой пересечения биссектрисы с противоположной стороной (отрезок ВК).

В равных треугольниках равны соответствующие высоты, медианы и биссектрисы.

Если треугольник не равнобедренный, то высота, медиана и биссектриса, проведенные из одной вершины треугольника, не совпадают (рис. 119).

Таблица признаков равенства треугольников

Поскольку у треугольника три вершины, то у него и три высоты, три медианы, три биссектрисы. Позже мы докажем, что высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке. Это же касается медиан треугольника (рис. 120) и его биссектрис (рис. 121).

Таблица признаков равенства треугольников

Если треугольник остроугольный (рис. 122, а), то точка пересечения его высот находится внутри треугольника ABC. Если треугольник тупоугольный или прямоугольный (рис. 122, б, в), то продолжения высот пересекаются соответственно вне треугольника или в вершине прямого угла.

Таблица признаков равенства треугольников

Точки пересечения высот, биссектрис и медиан называются замечательными точками треугольника.

Геометрия 3D

Тетраэдром или треугольной пирамидой называется многогранник, у которого все четыре грани — треугольники. Любую его грань можно принять за основание, а противолежащую вершину — за вершину пирамиды. Если точка S — вершина, а треугольник ABC — основание пирамиды, то перпендикуляр SH к плоскости ABC является высотой тетраэдра (рис. 124).
Таблица признаков равенства треугольников

Равнобедренный треугольник

Определение. Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, третья сторона — основанием, вершина, противолежащая основанию, — вершиной равнобедренного треугольника.

Рассмотрим некоторые свойства равнобедренного треугольника и один из его признаков.

Теорема (о свойстве углов при основании). В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Дано: Таблица признаков равенства треугольников(рис. 126).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать: Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Проведем биссектрису ВК треугольника ABC. Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними: сторона ВК — общая, АВ = ВС по условию, углы АВК и СВК равны по определению биссектрисы. Из равенства этих треугольников следует, что Таблица признаков равенства треугольниковТеорема доказана.

Теорема (о свойстве биссектрисы равнобедренного треугольника).

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является его медианой и высотой.

Дано: Таблица признаков равенства треугольников— биссектриса (рис. 127).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать: ВК — медиана и высота.

Доказательство:

Треугольники АВК и СВК равны по двум сторонам и углу между ними (см. предыдущую теорему). Из равенства треугольников следует, что АК=КС и Таблица признаков равенства треугольников1 =Таблица признаков равенства треугольников2. Так как углы 1 и 2 смежные, то их сумма равна 180°, поэтому Таблица признаков равенства треугольниковСледовательно, ВК — медиана и высота. Теорема доказана.

Замечание. Поскольку из вершины треугольника можно провести только одну биссектрису, одну высоту и одну медиану, то теорему можно сформулировать так: «Биссектриса, высота и медиана равнобедренного треугольника, проведенные из вершины к основанию, совпадают». То есть если по условию задачи дана высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то согласно данной теореме она является биссектрисой и медианой. Аналогично, если дана медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, то она является высотой и биссектрисой.

Теорема (признак равнобедренного треугольника). Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Дано: Таблица признаков равенства треугольников

Доказать:Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Мысленно перевернем треугольник ABC обратной стороной (рис. 128) и наложим перевернутый треугольник на треугольник ABC так, чтобы их стороны АС совпали, угол С совпал с углом А, угол А совпал с углом С.

Таблица признаков равенства треугольников

Тогда перевернутый треугольник совместится с данным, и сторона ВС совместится со стороной АВ. Следовательно, АВ = ВС, т. е. Таблица признаков равенства треугольниковАВС — равнобедренный. Теорема доказана.

Доказанный признак равнобедренного треугольника является теоремой, обратной теореме о свойстве углов при основании равнобедренного треугольника (рис. 129).

Таблица признаков равенства треугольников

Напомним, что любая теорема состоит из условия — того, что дано, и заключения — того, что нужно доказать. У теоремы, обратной данной, условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной.

Пример №5

Доказать, что в равнобедренном треугольнике биссектрисы, проведенные к боковым сторонам, равны между собой.

Доказательство:

Пусть в Таблица признаков равенства треугольниковАВС АВ =ВС, АК и СМ — биссектрисы (рис. 130). Нужно доказать, что АК = СМ. Рассмотрим Таблица признаков равенства треугольниковАКВ и Таблица признаков равенства треугольниковСМВ. У них Таблица признаков равенства треугольниковB — общий, АВ = ВС по условию, Таблица признаков равенства треугольниковBAK = Таблица признаков равенства треугольниковBCM как половины равных углов А и С при основании равнобедренного треугольника. Тогда Таблица признаков равенства треугольниковАКВ = Таблица признаков равенства треугольниковСМВ по 2-му признаку равенства треугольников, откуда АК = СМ. Что и требовалось доказать.

Замечание. Вторым способом доказательства будет рассмотрениеТаблица признаков равенства треугольниковАКС иТаблица признаков равенства треугольниковСМА и доказательство их равенства.

Пример №6

Доказать, что перпендикуляр, проведенный из центра окружности к хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Пусть О — центр окружности, АВ — хорда, ОН — перпендикуляр к хорде АВ (рис. 131).

Таблица признаков равенства треугольников

Отрезки OA и ОВ равны как радиусы. Поэтому треугольник АОВ — равнобедренный, а ОН — его высота, проведенная к основанию. Мы знаем, что высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является и медианой. А медиана делит сторону треугольника пополам, то есть АН = НВ. Что и требовалось доказать.

Признаки равнобедренного треугольника

Вы уже знаете один признак равнобедренного треугольника: «Если в треугольнике два угла равны, то треугольник равнобедренный». Докажем еще три признака равнобедренного треугольника, связанных с его высотой, медианой и биссектрисой.

Теорема. Если в треугольнике высота является медианой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и медиана Таблица признаков равенства треугольниковАВС (рис. 136).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Рассмотрим Таблица признаков равенства треугольниковАВН и Таблица признаков равенства треугольниковСВН. У них сторона ВН — общая, Таблица признаков равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников(так как ВН — высота), АН = СН (так как ВН — медиана). Треугольники АВН и СВН равны по двум сторонам и углу между ними. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.

Теорема. Если в треугольнике высота является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВН — высота и биссектриса Таблица признаков равенства треугольниковАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 137).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

Рассмотрим Таблица признаков равенства треугольниковАВН и Таблица признаков равенства треугольниковСВН. У них сторона ВН — общая, Таблица признаков равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников(так как ВН — высота), Таблица признаков равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников(так как ВН — биссектриса). Треугольники АВН и СВН равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон АВ и ВС. Теорема доказана.

Теорема. Если в треугольнике медиана является биссектрисой, то треугольник равнобедренный.

Дано: ВМ — медиана и биссектриса Таблица признаков равенства треугольниковАВС.

Доказать: АВ = ВС (рис. 138).

Доказательство:

Продлим медиану ВМ на ее длину за точку М. Получим МВХ = ВМ. Треугольники АМВ1 и СМВ равны по двум сторонам и углу между ними (МВ1 = ВМ по построению; AM = МС, так как ВМ — медиана; Таблица признаков равенства треугольниковAMВ1 =Таблица признаков равенства треугольниковCMB как вертикальные). Из равенства этих треугольников следует, что АВ1=ВС и Таблица признаков равенства треугольниковAB1M = =Таблица признаков равенства треугольниковCBM. Но ZCBM = ZABM, так как ВМ — биссектриса по условию. Тогда Таблица признаков равенства треугольниковAB1B = Таблица признаков равенства треугольниковABB1 и Таблица признаков равенства треугольниковАВВ1 — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника. Следовательно, АВ=АВ1. А так как АВ1=ВС, то АВ = ВС. Теорема доказана.

Замечание. Прием продления (продолжения) медианы часто используется при решении геометрических задач.

Пример №7

В треугольнике ABC с периметром 54 см медиана АК перпендикулярна стороне ВС, а высота ВМ составляет равные углы со сторонами ВА и ВС. Найти стороны треугольника ABC.

Решение:

Так как медиана АК является и высотой, то Таблица признаков равенства треугольниковАВС — равнобедренный с основанием ВС и АВ =АС. Так как высота ВМ является и биссектрисой, то Таблица признаков равенства треугольниковАВС — равнобедренный с основанием АС и АВ = ВС. Тогда Таблица признаков равенства треугольниковАВС — равносторонний, Таблица признаков равенства треугольников Таблица признаков равенства треугольников(см).

Пример №8

Биссектриса АК треугольника АБС делит сторону ВС пополам. Периметр треугольника ABC равен 36 см, периметр треугольника АКС равен 30 см. Найти длину биссектрисы АК.

Решение:

Из условия следует, что биссектриса АК является и медианой Таблица признаков равенства треугольниковАВС (рис. 139).

Таблица признаков равенства треугольников

Тогда Таблица признаков равенства треугольниковАВС — равнобедренный по признаку равнобедренного треугольника и АВ=АС. Так как ВК = СК, то сумма отрезков АС и СК равна полупериметру Таблица признаков равенства треугольниковАВС, то есть 18 см. По условию периметр Таблица признаков равенства треугольниковАКС равен 30 см, поэтому АК = 30 — 18 = 12 (см).

Геометрия 3D

У правильной треугольной пирамиды DABC в основании лежит равносторонний треугольник ABC, а боковые грани ADB, ADC, BDC — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной D (рис. 142).

Таблица признаков равенства треугольников

У правильной четырехугольной пирамиды в основании лежит квадрат MNKE, а боковые грани МРЕ, MPN, NPK, ЕРК — равные равнобедренные треугольники с общей вершиной Р (рис. 143).

Таблица признаков равенства треугольников

Третий признак равенства треугольников

Вам уже известны два признака равенства треугольников. Рассмотрим еще один.

Теорема (третий признак равенства треугольников). Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать: Таблица признаков равенства треугольниковАВС = Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1.

Доказательство:

Приложим треугольник А1В1С1 к треугольнику ABC так, чтобы у них совместились равные стороны А1С1 и АС, а вершины В1 и В оказались в разных полуплоскостях относительно прямой АС. Треугольник А1В1С1 займет положение треугольника АВ2С. Проведем отрезок ВВ2. Так как АВ2=АВ и В2С = ВС, то треугольники АВВ2 и СВВ2 — равнобедренные. Откуда Таблица признаков равенства треугольниковl =Таблица признаков равенства треугольников2 и Таблица признаков равенства треугольников3 =Таблица признаков равенства треугольников4 (как углы при основании равнобедренного треугольника). Тогда Таблица признаков равенства треугольниковABC =Таблица признаков равенства треугольниковAB2C, и треугольники ABC и АВ2С равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, Таблица признаков равенства треугольниковАВС =Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1. Теорема доказана.

Замечание. Чтобы отрезок ВВ2 проходил внутри треугольника ABC, следует прикладывать треугольники большей стороной.

Говорят, что три стороны задают треугольник однозначно.

Итак, теперь вы знаете три признака равенства треугольников. Можно сформулировать и другие признаки равенства треугольников, в которых неизбежно будет присутствовать соответственное равенство каких-то трех элементов двух треугольников. Однако не любые три элемента задают треугольник. Так, например, если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам другого треугольника, то такие треугольники не обязательно равны. То же касается треугольников, у которых соответственно равны две стороны и угол, противолежащий одной из этих сторон.

На рисунке 145, а, б вы видите пары таких неравных треугольников.

Таблица признаков равенства треугольников

Пример №9

У простой замкнутой ломаной ABCD AB=AD, BC = DC. Доказать, что Таблица признаков равенства треугольниковB = Таблица признаков равенства треугольниковD и луч АС — биссектриса угла BAD.

Доказательство:

Проведем отрезок АС (рис. 146).

Таблица признаков равенства треугольников

Треугольники ABC и ADC равны по 3-му признаку равенства треугольников (AB=AD и BC = DC по условию, сторона АС — общая). Поэтому Таблица признаков равенства треугольниковB =Таблица признаков равенства треугольниковD и Таблица признаков равенства треугольниковBAC =Таблица признаков равенства треугольниковDAC как соответствующие в двух равных треугольниках и луч АС — биссектриса угла BAD.

Пример №10

Доказать равенство треугольников по двум сторонам и медиане между ними.

Доказательство:

Таблица признаков равенства треугольников

Нужно доказать, что Таблица признаков равенства треугольниковАВС =Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1. Продлим в каждом треугольнике данную медиану на ее длину так, что MD = ВМ, M1D1=B1M1. Так как Таблица признаков равенства треугольниковAMD =Таблица признаков равенства треугольниковСМВ по 1-му признаку равенства треугольников (AM = МС, Таблица признаков равенства треугольниковAMD =Таблица признаков равенства треугольниковCMB как вертикальные, ВМ = MD по построению), то AD = BC. Аналогично Таблица признаков равенства треугольниковAXMXDX = Таблица признаков равенства треугольниковС1М1В1, откуда A1D1 = B1C1. По условию ВС = В1С1, следовательно, AD=A1D1 и Таблица признаков равенства треугольниковABD =Таблица признаков равенства треугольниковA1B1D1 по трем сторонам. Тогда Таблица признаков равенства треугольниковABM =Таблица признаков равенства треугольниковA1B1M1 и Таблица признаков равенства треугольниковАВМ =Таблица признаков равенства треугольниковА1В1М1 по 1-му признаку равенства треугольников. Отсюда AM =А1М1, АС =А1С1 (так как ВМ и В1М1 — медианы) и Таблица признаков равенства треугольниковАВС =Таблица признаков равенства треугольниковА1В1С1 по трем сторонам.

Пример №11

Два равных отрезка АВ и CD пересекаются в точке О и AD = BC. Доказать, что ВО = DO.

Доказательство:

Соединим точки В и D отрезком (рис. 148).

Таблица признаков равенства треугольников

Треугольники ABD и CDB равны по трем сторонам (сторона BD — общая, AB=CD и AD=СВ по условию). Из равенства треугольников следует, что Таблица признаков равенства треугольниковABD =Таблица признаков равенства треугольниковCDB. Тогда Таблица признаков равенства треугольниковBOD — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), откуда ВО=DO.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная этому отрезку и проходящая через его середину.

Прямая CD — серединный перпендикуляр к отрезку АВ, то есть Таблица признаков равенства треугольников(рис. 152).

Таблица признаков равенства треугольников
Теорема (о серединном перпендикуляре).

Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

В данной теореме два утверждения: прямое и ему обратное. Докажем каждое из этих утверждений отдельно.

1) Дано: Таблица признаков равенства треугольников— серединный перпендикуляр к отрезку Таблица признаков равенства треугольников(рис. 153).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказательство:

По определению серединного перпендикуляра Таблица признаков равенства треугольниковТогда в треугольнике АКВ высота КМ является медианой. По признаку равнобедренного треугольника Таблица признаков равенства треугольниковАКВ — равнобедренный, поэтому КА=КВ.

2) Дано: Таблица признаков равенства треугольников(рис. 154).

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать: Таблица признаков равенства треугольниковгде Таблица признаков равенства треугольников— серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Доказательство:

Проведем в равнобедренном Таблица признаков равенства треугольниковАКВ высоту КМ, которая по свойству равнобедренного треугольника будет и медианой. Получим Таблица признаков равенства треугольниковПрямая Таблица признаков равенства треугольников, проходящая через высоту КМ, — серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

Геометрическим местом точек плоскости (или пространства) называется множество всех точек плоскости (или пространства), обладающих общим свойством.

Из доказанной теоремы следует, что серединный перпендикуляр к отрезку — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от концов отрезка.

Пример №12

В четырехугольнике (рис. 155) ABCD AB=BC, AD=DC.

Таблица признаков равенства треугольников

Доказать, что ACТаблица признаков равенства треугольниковBD.

Доказательство:

1-й способ. Из равенства треугольников ABD и CBD по трем сторонам следует, что Таблица признаков равенства треугольниковABD =Таблица признаков равенства треугольниковCBD. В равнобедренном треугольнике ABC биссектриса ВМ является и высотой. Поэтому ACТаблица признаков равенства треугольниковBD.

2-й способ. Точки В и D равноудалены от концов отрезка АС, поэтому они лежат на серединном перпендикуляре к отрезку АС. Так как через две точки проходит единственная прямая, то BD — серединный перпендикуляр к отрезку АС. Отсюда ACТаблица признаков равенства треугольниковBD. и AM = МС.

Пример №13 (1-я замечательная точка треугольника).

Доказать, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть два серединных перпендикуляра к сторонам АС и АВ пересекаются в точке О (рис. 156).

Таблица признаков равенства треугольников

Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОМ, поэтому ОА = ОС. Точка О лежит на серединном перпендикуляре ОК, поэтому ОА = ОВ. Отсюда ОВ = ОС. Поскольку точка О равноудалена от концов отрезка ВС, то она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ВС. Таким образом, третий серединный перпендикуляр пройдет через точку О, и все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекутся в одной точке.

  • 1. Если ножку циркуля поставить в точку О и построить окружность радиусом OA, то она пройдет через все вершины треугольника в силу того, что OA = OB = ОС. Такая окружность называется описанной около треугольника. В данной задаче мы доказали, что центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
  • 2. Точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника — это еще одна замечательная точка треугольника помимо уже известных вам точек пересечения биссектрис, медиан, высот.

Напомню:

Три признака равенства треугольников:

  • По двум сторонам и углу между ними.
  • По стороне и двум прилежащим к ней углам.
  • По трем сторонам.
  1. Углы при основании равнобедренного треугольника равны.
  2. Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная из вершины к основанию, является его высотой и медианой.
  3. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).
  4. Если высота треугольника является его медианой или биссектрисой, или медиана является его биссектрисой, то треугольник равнобедренный (признаки равнобедренного треугольника).
  5. Любая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Если точка равноудалена от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
  6. Все три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника пересекаются в одной точке (1-я замечательная точка треугольника).
Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике
  • Сумма углов треугольника
  • Внешний угол треугольника
  • Задачи на построение циркулем и линейкой
  • Задачи на построение по геометрии
  • Угол — определение, виды, как обозначают с примерами
  • Перпендикулярные прямые в геометрии

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📺 Видео

первый признак равенства треугольников. Задачи по готовым чертежам, рисункам. 7 классСкачать

первый признак равенства треугольников. Задачи по готовым чертежам, рисункам. 7 класс

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.Скачать

Задачи на доказательство равенства треугольников. Первый признак. Простые.

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.

Признаки равенства треугольников ✔️ #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофильСкачать

Признаки равенства треугольников ✔️ #умскул_профильнаяматематика #никитасалливан #егэпрофиль

7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 20 урок, Третий признак равенства треугольников

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольниковСкачать

7 класс, 19 урок, Второй признак равенства треугольников

3 признак равенства ТРЕУГОЛЬНИКА!Скачать

3 признак равенства ТРЕУГОЛЬНИКА!

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.

Задачи. Второй признак равенства треугольников. По рисункам. Доказать.Скачать

Задачи. Второй признак равенства треугольников. По рисункам. Доказать.

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольниковСкачать

7 класс, 36 урок, Признаки равенства прямоугольных треугольников
Поделиться или сохранить к себе: