Медианы правильного треугольника точкой пересечения

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Видео:Теорема о точке пересечения медиан треугольника. Доказательство. 8 класс.Скачать

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Видео:Точка пересечения медиан в треугольникеСкачать

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.

BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S₁ = S₂.

Свойство 5

Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Свойство 6

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.

• r – радиус вписанной окружности;
• R – радиус описанной окружности;
• R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

• BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
• FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Видео:Построение медианы в треугольникеСкачать

Все, что нужно знать о треугольнике

При решении геометрических задач полезно следовать такому алгоритму. Во время чтения условия задачи необходимо

• Сделать чертеж. Чертеж должен максимально соответствовать условию задачи, так его основная задача помочь найти ход решения
• Нанести все данные из условия задачи на чертеж
• Выписать все геометрические понятия, которые встречаются в задаче
• Вспомнить все теоремы, которые относятся к этим понятию
• Нанести на чертеж все соотношения между элементами геометрической фигуры, которые следуют из этих теорем

Например, если в задаче встречается слова биссектриса угла треугольника, нужно вспомнить определение и свойства биссектрисы и обозначить на чертеже равные или пропорциональные отрезки и углы.

В этой статье вы найдете основные свойства треугольника, которые необходимо знать для успешного решения задач.

ТРЕУГОЛЬНИК.

Площадь треугольника.

1. ,

здесь — произвольная сторона треугольника, — высота, опущенная на эту сторону.

2. ,

здесь и — произвольные стороны треугольника, — угол между этими сторонами:

3. Формула Герона:

— здесь — длины сторон треугольника, — полупериметр треугольника,

4. ,

здесь — полупериметр треугольника, — радиус вписанной окружности.

Пусть — длины отрезков касательных.

Тогда формулу Герона можно записать в таком виде:

5.

6. ,

здесь — длины сторон треугольника, — радиус описанной окружности.

Если на стороне треугольника взята точка, которая делит эту сторону в отношении m:n, то отрезок, соединяющий эту точку с вершиной противолежащего угла делит треугольник на два треугольника, площади которых относятся как m:n:

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Медиана треугольника

— это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: R=2r

Длина медианы произвольного треугольника вычисляется по формуле:

,

здесь — медиана, проведенная к стороне , — длины сторон треугольника.

Биссектриса треугольника

— это отрезок биссектрисы любого угла треугольника, соединяющий вершину этого угла с противоположной стороной.

Биссектриса треугольника делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.

Все точки биссектрисы угла равноудалены от сторон угла.

Высота треугольника

— это отрезок перпендикуляра, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону, или ее продолжение. В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла лежит вне треугольника.

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром треугольника.

Чтобы найти высоту треугольника, проведенную к стороне , нужно любым доступным способом найти его площадь, а затем воспользоваться формулой:

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.

Радиус описанной окружности треугольника можно найти по таким формулам:

— здесь — длины сторон треугольника, — площадь треугольника.

,

где — длина стороны треугольника, — противолежащий угол. (Эта формула вытекает из теоремы синусов).

Неравенство треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы и больше разности двух других.

Сумма длин любых двух сторон всегда больше длины третьей стороны:

c» title=»a+b>c»/>

Напротив большей стороны лежит больший угол; напротив большего угла лежит большая сторона:

Если , то и наоборот.

Теорема синусов:

стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов:

Теорема косинусов:

квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Прямоугольный треугольник

— это треугольник, один из углов которого равен 90°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Гипотенуза — это сторона, которая лежит против угла 90°. Гипотенуза является наибольшей стороной.

Теорема Пифагора:

квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен

,

здесь — радиус вписанной окружности, — катеты, — гипотенуза:

Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит в середине гипотенузы:

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Определение синуса, косинуса , тангенса и котангенса прямоугольного треугольника смотрите здесь.

Соотношение элементов в прямоугольном треугольнике:

Квадрат высоты прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла, равен произведению проекций катетов на гипотенузу:

Квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию катета на гипотенузу:

:

Катет, лежащий против угла равен половине гипотенузы:

Равнобедренный треугольник.

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию является медианой и высотой.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

— угол при вершине.

и — боковые стороны,

и — углы при основании.

— высота, биссектриса и медиана.

Внимание! Высота, биссектриса и медиана, проведенные к боковой стороне не совпадают.

Правильный треугольник

(или равносторонний треугольник ) — это треугольник, все стороны и углы которого равны между собой.

Площадь правильного треугольника равна

,

где — длина стороны треугольника.

Центр окружности, вписанной в правильный треугольник, совпадает с центром окружности, описанной около правильного треугольника и лежит в точке пересечения медиан.

Точка пересечения медиан правильного треугольника делит медиану на два отрезка, меньший из которых равен радиусу вписанной окружности, а больший — радиусу описанной окружности.

Если один из углов равнобедренного треугольника равен 60°, то этот треугольник правильный.

Средняя линия треугольника

— это отрезок, соединяющий середины двух сторон.

На рисунке DE — средняя линия треугольника ABC.

Средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна ее половине: DE||AC, AC=2DE

Внешний угол треугольника

— это угол, смежный какому либо углу треугольника.

Внешний угол треугольника равен сумме двух углов, не смежных с ним.

Тригонометрические функции внешнего угла:

Признаки равенства треугольников:

1 . Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 . Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Важно: поскольку в прямоугольном треугольнике два угла заведомо равны, то для равенства двух прямоугольных треугольников требуется равенство всего двух элементов: двух сторон, или стороны и острого угла.

Признаки подобия треугольников:

1 . Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, и углы, заключенные между этими сторонами равны, то эти треугольники подобны.

2 . Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

3 . Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Важно: в подобных треугольниках сходственные стороны лежат против равных углов.

Теорема Менелая

Пусть прямая пересекает треугольник , причем – точка ее пересечения со стороной , – точка ее пересечения со стороной , и – точка ее пересечения с продолжением стороны . Тогда

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойства равностороннего треугольника

Основные свойства равностороннего треугольника непосредственно следуют из свойств равнобедренного треугольника, частным случаем которого он является.

Свойства равностороннего треугольника

2) Высота, медиана и биссектриса, проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

Если a — сторона треугольника, то

3) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан называется центром правильного треугольника и является центром вписанной и описанной окружностей (то есть в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают).

4) Точка пересечения высот, биссектрис и медиан правильного треугольника делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершин:

5) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан

до любой вершины треугольника равно радиусу описанной окружности:

6) Расстояние от точки пересечения высот, биссектрис и медиан до любой стороны треугольника равно радиусу вписанной окружности:

7) Сумма радиусов вписанной и описанной окружностей правильного треугольника равна его высоте, медиане и биссектрисе: R+r=BF.

8) Радиус вписанной в правильный треугольник окружности в два раза меньше радиуса описанной окружности:

🎬 Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

Медианы | Свойства медиан | Точка пересечения медиан на прямой ЭйлераСкачать

8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

Задание 9 ОГЭ от ФИПИСкачать

Задание 15 ОГЭ. Медиана равностороннего треугольникаСкачать

ЕГЭ Задание 16 Свойство медианы прямоугольного треугольникаСкачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

Теорема о трёх медианахСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Свойства равностороннего треугольника: высота, площади, точка пересечения медианСкачать

Математика ОГЭ Задание 25 Свойство медианы прямоугольного треугольникаСкачать

Геометрия 7.Треугольники урок 6. Высота треугольника. Определение, свойства, точки пересечения высотСкачать