Медиана из вершины прямоугольного треугольника

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Медиана из вершины прямоугольного треугольника

Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.Скачать

Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. 8 класс.

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

  1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
  2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

Доказательства свойств

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

Медиана из вершины прямоугольного треугольника

Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

Медиана из вершины прямоугольного треугольника

Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

Медиана из вершины прямоугольного треугольника

  • Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть.
    DE || AB и DE = AB / 2.
  • Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией.
    FG || AB и FG = AB / 2
  • Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
  • Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то
    FX=XE, GX=XD

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

  • Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
  • Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
  • Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.
  • Что и требовалось доказать.

    Второе свойство

    Доказать, что медиана, проведённая с вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Доказательство:

    1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

  • Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
  • Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

  • Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.
  • Что и требовалось доказать.

    Третье свойство

    Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

    Доказательство:

    1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

  • Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
  • Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
  • Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.
  • Что и требовалось доказать.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Понравилась статья, расскажите о ней друзьям:

    Видео:🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shortsСкачать

    🔥 Свойства МЕДИАНЫ #shorts

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    Медиана в прямоугольном треугольнике — это отрезок, который соединяет вершину треугольника и середину противоположной стороны, то есть вершину острого угла с серединой противолежащего катета или вершину прямого угла с серединой гипотенузы.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Медиана из вершины прямоугольного треугольникаВсе медианы прямоугольного треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой в отношении два к одному, считая от вершины:

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Из всех медиан прямоугольного треугольника в задачах чаще всего речь идет о медиане, проведенной к гипотенузе. Это связано с ее свойствами.

    Свойства медианы, проведенной к гипотенузе:

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника1) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    (в следующий раз рассмотрим доказательство этого свойства)

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника2) Медиана, проведенная к гипотенузе, равна радиусу описанной около прямоугольного треугольника окружности.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Пользуясь свойствами прямоугольного треугольника, длины медиан прямоугольного треугольника можно выразить через катеты и острые углы.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольникаНапример:

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Видео:Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shortsСкачать

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике #shorts

    12 Comments

    Информация очень хорошая. Правда не помогла мне решить задачу, которую мой сын не решил на контрольной. приведу условие:
    Из прямого угла треугольника проведена медиана на гипотенузу. Длина медианы 6см. Определить катеты.

    Петр, данных для определения катетов недостаточно. Длина гипотенузы в 2 раза больше длины медианы — 12 см. Это всё, что можно сказать по данным условия.

    не правда надо провести высоту из прямого угла дальше все получится. один катет равен 6 а второй 2 корня из 22

    Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Проверим 6^2+(2*корень из 22)^2
    =36+4*22=36+88=124. Квадрат гипотенузы 12^2=144

    попробуйте составить уравнение,обозначив 1 из катетов через х а 2-ой катет обозначьте буквами…x^2+BC^2=12^2…да числа не очень,но это 1 способ..решаю дальше:BC^2=12^2-x^2
    BC^2=11x
    X^2+11X=144
    X^2=12
    x(1 катет)=корню из 12,а «-ой катет=11 корней из 12….решал на основе теоремы пифагора

    задача имеет бесконечное кол-во решений. решение возможно только в виде формулы или графика, где описана зависимость между катетами и гипотенузой

    Да просто треугольник медианой делится на два треугольника с одинаковыми катетами, а дальше как уже предлагалось выше Пифагор во спасение))

    А кто вам сказал, что медиана в прямоугольном треугольнике является еще и высотой? Откуда у вас два треугольника с одинаковыми катетами?

    Спасибо за понятное объяснение, но у нас задача немного другая.
    В прямоугольном треугольнике АВС угол С= 90 градусов,медиана ВВ1 равна 10 см.Найдите медианы АА1 СС1, если известно, что АС=12 см.( используя т.Пифагора.

    1) Рассмотрим треугольник BB1C. В нём угол С равен 90 градусов, BB1=10 см, B1C=6 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим BC: BC=8 см. 2) Рассмотрим треугольник AA1C. В нём угол С равен 90 градусов, AC=12 см, AA1=4 см (так как BB1 — медиана). По теореме Пифагора находим AA1: AA1=4√10 см.3) Из треугольника ABC по теореме Пифагора найдём AB: AB=4√13 см. 4) CC1=1/2 AB (как медиана, проведённая к гипотенузе), CC1=2√13 см.
    Где-то так.

    Видео:Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭСкачать

    Медиана прямоугольного треугольника— Геометрия ОГЭ

    Определение и свойства медианы прямоугольного треугольника

    В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Также разберем пример решения задачи для закрепления теоретического материала.

    Видео:Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузыСкачать

    Доказать, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы

    Определение медианы прямоугольного треугольника

    Медиана – это отрезок, который соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один из углов является прямым (90°), а два остальных – острыми ( Свойства медианы прямоугольного треугольника

    Свойство 1

    Медиана (AD) в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла (∠BAC) к гипотенузе (BC), равна половине гипотенузы.

    • BC = 2AD
    • AD = BD = DC

    Следствие: Если медиана равняется половине стороны, к которой она проведена, то данная сторона является гипотенузой, а треугольник – прямоугольным.

    Свойство 2

    Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равняется половине квадратного корня из суммы квадратов катетов.

    Для нашего треугольника (см. рисунок выше):

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Это следует из теоремы Пифагора и Свойства 1.

    Свойство 3

    Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу описанной вокруг треугольника окружности.

    Т.е. BO – это одновременно и медиана, и радиус.

    Медиана из вершины прямоугольного треугольника

    Примечание: К прямоугольному треугольнику также применимы общие свойства медианы, независимо от вида треугольника.

    Видео:Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

    Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

    Пример задачи

    Длина медианы, проведенной в гипотенузе прямоугольного треугольника, составляет 10 см. А один из катетов равен 12 см. Найдите периметр треугольника.

    Решение
    Гипотенуза треугольника, как следует из Свойства 1, в два раза больше медианы. Т.е. она равняется: 10 см ⋅ 2 = 20 см.

    Воспользовавшись теоремой Пифагора находим длину второго катета (примем его за “b”, известный катет – за “a”, гипотенузу – за “с”):
    b 2 = с 2 – a 2 = 20 2 – 12 2 = 256.
    Следовательно, b = 16 см.

    Теперь мы знаем длины всех сторон и можем посчитать периметр фигуры:
    P = 12 см + 16 см + 20 см = 48 см.

    🔥 Видео

    Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    8. Медиана треугольника и её свойства.Скачать

    8. Медиана треугольника и её свойства.

    Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)Скачать

    Геометрия 7 класс (Урок№12 - Медианы треугольника. Биссектрисы треугольника. Высоты треугольника.)

    7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

    7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

    Медиана в прямоугольном треугольникеСкачать

    Медиана в прямоугольном треугольнике

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.Скачать

    Свойство медианы в прямоугольном треугольнике. Практическая часть. 8 класс.

    №202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На какомСкачать

    №202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком

    Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольникаСкачать

    Задача за секунду. ОГЭ геметрия. Медиана прямоугольного треугольника

    Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.Скачать

    Построение высоты в тупоугольном и прямоугольном треугольниках. 7 класс.

    ОГЭ Задание 24 Свойство медианы прямоугольного треугольникаСкачать

    ОГЭ Задание 24 Свойство медианы прямоугольного треугольника

    ЕГЭ Математика Задание 6#27773Скачать

    ЕГЭ Математика Задание 6#27773

    Построение медианы в треугольникеСкачать

    Построение медианы в треугольнике

    Все факты о медиане треугольника для ЕГЭСкачать

    Все факты о медиане треугольника для ЕГЭ
    Поделиться или сохранить к себе: