График ctg на окружности (4 видео) | Курс школьной геометрии

Функция y = ctg x, её свойства и график

Содержание

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла
п.2. Свойства функции y=ctgx⁡
п.3. Примеры
Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге
Алгебра
Синус и косинус угла на единичной окружности
📸 Видео

п.1. Развертка котангенса движения точки по числовой окружности в функцию от угла

При движении точки по числовой окружности на горизонтальной касательной, проведенной через точку (0;1), отображаются значения котангенсов соответствующих углов (см. §3 данного справочника).

Рассмотрим, как изменяется котангенс, если точка описывает полный круг, и угол x изменяется в пределах: 0≤x≤2π и построим график y=ctgx на этом отрезке.

Если мы продолжим движение по окружности для углов x > 2π, кривые продолжатся вправо; если будем обходить числовую окружность в отрицательном направлении (по часовой стрелке) для углов x главной ветвью графика котангенса.

п.2. Свойства функции y=ctgx⁡

1. Область определения (xnepi k) — множество действительных чисел, кроме точек, в которых (sinx=0) .

2. Функция не ограничена сверху и снизу. Область значений (yinmathbb)

3. Функция нечётная $$ ctg(-x)=-ctgx $$

4. Функция периодическая с периодом π $$ ctg(x+pi k)=ctgx $$

5. Функция стремится к (-infty) при приближении слева к точкам (x=pi k) .
Приближение к точке a слева записывается как (xrightarrow a-0) $$ lim_ ctgx=-infty $$ Функция стремится к (+infty) при приближении справа к точкам (x=pi k) .
Приближение к точке a справа записывается как (xrightarrow a+0) $$ lim_ ctgx=+infty $$ Нули функции (y_=0) достигаются в точках (x_0=fracpi2+pi k)

6. Функция убывает на всей области определения.

7. Функция имеет разрывы в точках (x=pi k) , через эти точки проходят вертикальные асимптоты. На интервалах между асимптотами ((pi k; pi+pi k)) функция непрерывна.

п.3. Примеры

Пример 1. Найдите наименьшее и наибольшее значение функции y=ctgx на заданном промежутке:

a) (left[frac; piright)) $$ y_=lim_ctgx=-infty, y_=ctgleft(fracright)=-frac<sqrt> $$ б) (left(0; fracright]) $$ y_=ctgleft(fracright)=1, y_=lim_ctgx=+infty $$ в) (left[frac; fracright]) $$ y_=ctgleft(fracright)=-1, y_=ctgleft(fracright)=sqrt $$

Пример 2. Решите уравнение:
a) (ctgx=-sqrt)
Бесконечное множество решений: (x=frac+pi k, kinmathbb)

б) (ctgleft(x+fracpi2right)=0)
(x+fracpi2=fracpi2+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=pi k, kinmathbb)

в) (ctg(2x)=1)
(2x=fracpi4+pi k)
Бесконечное множество решений: (x=frac+frac, kinmathbb)

Пример 3. Постройте графики функций: a) (y(x)=x^2-2tgxcdot ctgx)

Произведение (tgxcdot ctgx=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) и (ctgx) имеют разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac).

Получаем: $$ begin x^2-2\ xnefrac, kinmathbb end $$ Строим график параболы и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Сумма (sin^2(tgx)+cos^2(tgx)=1). При этом ограничивается область определения функции (y(x)), т.к. (tgx) имеeт разрывы.
Точки разрыва отмечены на числовой окружности: (xnefrac+pi k).

Получаем: $$ begin 1-x\ xnefrac+pi k, kinmathbb end $$ Строим график прямой и выкалываем точки, не входящие в ОДЗ.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Значения тангенса и котангенса на тригонометрическом круге

В прошлой статье мы познакомились с тригонометрическим кругом и научились находить значения синуса и косинуса основных углов.

Как же быть с тангенсом и котангенсом ? Об этом и поговорим сегодня.

Где же на тригонометрическом круге оси тангенсов и котангенсов?

Ось тангенсов параллельна оси синусов (имеет тоже направление, что ось синусов) и проходит через точку (1; 0).

Ось котангенсов параллельна оси косинусов (имеет тоже направление, что ось косинусов) и проходит через точку (0; 1).

На каждой из осей располагается вот такая цепочка основных значений тангенса и котангенса: Почему так?

Я думаю, вы легко сообразите и сами. 🙂 Можно по-разному рассуждать. Можете, например, использовать тот факт, что и

Собственно, картинка за себя сама говорит.

Если не очень все же понятно, разберем примеры:

Пример 1.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом (начало – точка (0;0)) и смотрим, где этот луч пересекает ось тангенсов. Видим, что

Ответ:

Пример 2.

Вычислить

Находим на круге . Точку (0;0) соединяем с указанной точкой лучом. И видим, что луч никогда не пересечет ось тангенсов.

не существует.

Ответ: не существует

Пример 3.

Вычислить

Находим на круге точку (это та же точка, что и ) и от нее по часовой стрелке (знак минус!) откладываем (). Куда попадаем? Мы окажемся в точке, что на круге у нас (см. рис.) названа как . Эту точку соединяем с точкой (0;0) лучом. Вышли на ось тангенсов в значение .

Так значит,

Ответ:

Пример 4.

Вычислить

Поэтому от точки (именно там будет ) откладываем против часовой стрелки .

Выходим на ось котангенсов, получаем, что

Ответ:

Пример 5.

Вычислить

Находим на круге . Эту точку соединяем с точкой (0; 0). Выходим на ось котангенсов. Видим, что

Ответ:

Теперь, умея находить по тригонометрическому кругу значения тригонометрических функций (а я надеюсь, что статья, где мы начинали знакомство с кругом и учились вычислять значения синусов и косинусов, вами прочитана…), вы можете пройт и тест по теме «Нахождение значений косинуса, синуса, тангенса и котангенса различных углов».

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Алгебра

Лучшие условия по продуктам Тинькофф по этой ссылке

Дарим 500 ₽ на баланс сим-карты и 1000 ₽ при сохранении номера

. 500 руб. на счет при заказе сим-карты по этой ссылке

Лучшие условия по продуктам
ТИНЬКОФФ по данной ссылке

План урока:

Видео:Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать

Синус и косинус угла на единичной окружности

Впервые мы познакомились с синусом, косинусом и другими тригонометрическими функциями ещё в 8 класс на уроках геометрии, при изучении прямоугольного треугольника. Пусть есть некоторый треуг-ник АВС, у которого∠ С – прямой, а ∠ВАС принимается за α. Тогда sinα – это отношение ВС к АВ, а cosα– это отношение АС к АВ. В свою очередь tgα– это отношение ВС к АС:

С помощью тригонометрических функций удобно было находить стороны прямоугольного треугол-ка. Например, пусть известно, что гипотенуза АВ равна 5, а sinα = 0,8. Тогда из формулы sinα = ВС/АВ легко получить, что

ВС = АВ•sinα = 5•0,8 = 4

Если известно, что cosα = 0,6, то мы сможем найти и второй катет:

АС = АВ•cosα = 5•0,6 = 3

Отдельно заметим, что тангенс угла может быть рассчитан не как отношение двух катетов, а как отношение синуса к косинусу:

tgα = ВС/ АС = (АВ•sinα)/(АВ•cosα) = (sinα)/(cosα)

Отметим на единичной окружности произвольную точку А, которой соответствует некоторый угол α. У этой точки есть свои координаты х_А и у_А:

Попытаемся определить, чему равны координаты точки А. Для этого обозначим буквой B точку, в которой перпендикуляр, опущенный из А, пересекает горизонтальную ось Ох, и рассмотрим треугольник ОАВ:

Ясно, что ОАВ – это прямоугольный треугольник, ведь∠ АОВ = 90°. Значит, отрезок АВ можно рассчитать по формуле

Но ОА – это радиус единичной окружности. Это значит, что ОА = 1. Тогда

АВ = sinα•ОА = sinα•1 = sinα

С другой стороны, видно, что величина отрезка АВ равна координате у_А. Получается, что у_А = АВ = sinα, или

Отрезок ОВ также можно найти из прямоугольного треугольника АОВ, используя косинус:

Учитывая, что ОА = 1, а длина ОВ равна координате х_А, мы получим следующее:

х_А = ОВ = cosα•ОА = cosα•1 = cosα

то есть координата х_А равна cos α:

Итак, мы выяснили, что координаты точки, лежащей на единичной окружности, равны синусу и косинусу угла, соответствующего этой точке.

Таким образом, нам удалось дать новое определение синусу и косинусу угла:

Заметим, что в прямоугольном треугольнике углы, помимо самого прямого угла, могут быть только острыми. Поэтому предыдущее определение синуса и косинуса, данное в 8 классе в курсе геометрии, было пригодно лишь для углов из диапазона 0 1 I и II четверть