Любой ли ромб можно вписать окружность

Какие из следующих утверждений верны?

1) Все высоты равностороннего треугольника равны.

2) Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу.

3) В любой ромб можно вписать окружность.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Все высоты равностороннего треугольника равны» — верно, так как в равностороннем треугольнике все высоты равны между собой.

2) «Угол, вписанный в окружность, равен соответствующему центральному углу, опирающемуся на ту же дугу» — неверно, так как угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

3) «В любой ромб можно вписать окружность» — верно, так как суммы противоположных сторон ромба равны.

Видео:Все про РОМБ за 8 минут: Свойства, Признаки, Формулы Периметра и Площади // Геометрия 8 классСкачать

Что такое ромб: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

• a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC );
• половины диагоналей d₁ и d₂ – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Видео:№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

1. Его диагонали пересекаются под прямым углом.
2. Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
3. Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Видео:Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

Какой ромб можно вписать окружность

Видео:В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Что такое ромб: определение, свойства, признаки

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – ромба.

Видео:Задача 6 №27914 ЕГЭ по математике. Урок 132Скачать

Определение ромба

Ромб – это фигура на плоскости; разновидность параллелограмма, у которого все четыре стороны равны и попарно параллельны. Обычно ромб обозначается названиями его вершин (например, ABCD), а длина его стороны – строчной латинской буквой (например, a).

Примечание: квадрат является частным случаем ромба.

Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

Свойства ромба

Свойство 1

Противоположные углы ромба равны между собой, а сумма соседних углов составляет 180°.

Свойство 2

Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и в точке пересечения делятся пополам.

В результате пересечения диагоналей ромб делится на 4 прямоугольных треугольника: ΔAEB, ΔBEC, ΔAED и ΔDEC.

Свойство 3

Диагонали ромба являются биссектрисами его углов.

Свойство 4

Сторону ромба a можно найти через его диагонали d₁ и d₂ (согласно теореме Пифагора).

• a – гипотенуза любого из 4 прямоугольных треугольников (например, ΔBEC );
• половины диагоналей d₁ и d₂ – катеты треугольников.

Свойство 5

В любой ромб можно вписать окружность, центр которой лежит на пересечении его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности r вычисляется по формуле:

Видео:В любой прямоугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Признаки ромба

Параллелограмм является ромбом только в том случае, если для него верно одно из следующих утверждений:

1. Его диагонали пересекаются под прямым углом.
2. Если его диагонали являются биссектрисами его углов.
3. Две смежные стороны равны (следовательно, все стороны равны).

Примечание: Любой четырехугольник, стороны которого равны, является ромбом.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

Рис.1	Рис.2

Видео:Свойство четырехугольника, в который можно вписать окружностьСкачать

Признаки ромба

∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

Видео:В любой треугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Основные свойства ромба

∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

AC 2 + BD 2 = 4AB 2

Видео:Как нарисовать пятиконечную ЗВЕЗДУ с помощью циркуляСкачать

Сторона ромба

Формулы определения длины стороны ромба:

1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

4. Формула стороны ромба через две диагонали:

5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

8. Формула стороны ромба через периметр:

Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Диагонали ромба

Формулы определения длины диагонали ромба:

d ₁ = a √ 2 + 2 · cosα

d ₁ = a √ 2 — 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 + 2 · cosβ

d ₂ = a √ 2 — 2 · cosα

d ₁ = 2 a · cos ( α /2)

d ₁ = 2 a · sin ( β /2)

d ₂ = 2 a · sin ( α /2)

d ₂ = 2 a · cos ( β /2)

7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

Видео:Любой параллелограмм можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Периметр ромба

Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

Формула определения длины периметра ромба:

Видео:Любой квадрат является ромбом. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Площадь ромба

Формулы определения площади ромба:

4. Формула площади ромба через две диагонали:

5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

Окружность вписанная в ромб

Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Видео:Любой прямоугольник можно вписать в окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Вписанная в ромб окружность

Какими свойствами обладает вписанная в ромб окружность? Как найти её радиус?

Центр вписанной в ромб окружности — точка пересечения его диагоналей.

Радиус вписанной в ромб окружности можно найти по общей формуле

где S — площадь ромба, p — его полупериметр.

Так как полупериметр ромба равен p=2a, где a — сторона ромба, эту формулу можно записать как

С учётом формул для нахождения площади ромба:

где α — угол ромба (причем α может быть как острым, так и тупым).

где d1и d2 — диагонали ромба.

Таким образом, еще две формулы радиуса вписанной в ромб окружности:

Так как диаметр вписанной окружности равен высоте ромба, радиус равен половине высоты ромба:

Если известно, что точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, то радиус можно выразить через длины этих отрезков.

Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен стороне, то по свойству высоты прямоугольного треугольника из треугольника AOD имеем

Следовательно, радиус вписанной в ромб окружности есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делит сторону точка касания:

📺 Видео

Задача 6 №27913 ЕГЭ по математике. Урок 131Скачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать