Любая сторона треугольника меньше

Неравенство треугольника

Теорема 1 Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC (Рис.1).

Любая сторона треугольника меньше

Докажем, что ( small AC lt AB+BC .) На продолжении стороны AB отложим отрезок BD равный стороне BC. Полученный треугольник BCD равнобедренный. тогда ( small angle 1= angle 2.) Рассмотрим треугольник ADC. В этом треугольнике ( small angle ACD gt angle 1 ) и учитывая, что ( small angle 1= angle 2, ) получим ( small angle ACD gt angle 2. ) По теореме 1 статьи Соотношения между сторонами и углами треугольника, против большего угла треугольника лежит большая сторона. Следовательно в треугольнике ADC имеет место неравенство:

Любая сторона треугольника меньше.(1)
Любая сторона треугольника меньше.(2)

Тогда из (1) и (2) получим:

Любая сторона треугольника меньшеЛюбая сторона треугольника меньше

Следствие 1. Для любых точек A, B, C, не расположенных на одной прямой справедливы следующие неравенства:

Любая сторона треугольника меньше, Любая сторона треугольника меньше, Любая сторона треугольника меньше.(3)

Неравенства (3) называются неравенствами треугольника.

Видео:Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Неравенство треугольника ★ Любая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Существующие треугольники

Определение

Существующие треугольники — это такие треугольники,
существование которых можно доказать с помощью неравенств.

Любая сторона треугольника меньше
Например существование треугольника, изображенного на рисунке 1,
можно доказать с помощью неравенств: AB + BC > AC, AC + BC > AB, AB + AC > BC
Если эти три неравенства истинны значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Также существование того или иного треугольника можно проверить с
помощью одного условия: Если большая сторона треугольника меньше
суммы двух других сторон, значит треугольник существует,
иначе он не существует.

Теорема

Для доказательства того, о чем мы говорили существует теорема под названием неравенство треугольника. Формулировка теоремы:
каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Докажем, что каждая сторона треугольника, изображенного на рисунке 2, меньше суммы двух других сторон:

Доказательство теоремы

Любая сторона треугольника меньше

  1. Проведем отрезок CD равный отрезку CB.
  2. △BCD — равнобедренный, значит ∠ CBD=∠CDB.
  3. Рассмотрим △ABD: ∠ ABD >∠ CBD, следовательно ∠ ABD >∠ CDB, то AB

Видео:Лайфхак для школьников\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

Лайфхак для школьников\\Теорема: каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Неравенство треугольника — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Неравенство треугольника:

Опыт нам подсказывает, что путь из точки А в точку С по прямой АС короче, чем по ломаной ABC (рис. 255), т. е. АС 12+21 (рис. 258).

Любая сторона треугольника меньше

Замечание. Из неравенств треугольника Любая сторона треугольника меньшеследует, что Любая сторона треугольника меньшето есть любая сторона треугольника больше разности двух других его сторон. Так, для стороны а справедливо Любая сторона треугольника меньше

Пример:

Внутри треугольника ABC взята точка М (рис. 259). Доказать, что периметр треугольника АМС меньше периметра треугольника ABC.

Любая сторона треугольника меньше

Решение:

Так как у треугольников ABC и АМС сторона АС — общая, то достаточно доказать, что AM + МС Любая сторона треугольника меньшеB (рис. 108, а).

2) Отложим на стороне АВ отрезок АF, равный стороне AC (рис. 108, б).

Любая сторона треугольника меньше

3) Так как АF Любая сторона треугольника меньше1.

4) Угол 2 является внешним углом треугольника ВFС, следовательно, Любая сторона треугольника меньше2 > Любая сторона треугольника меньшеB.

5) Так как треугольник FАС является равнобедренным, то Любая сторона треугольника меньше1 = Любая сторона треугольника меньше2.

Таким образом, Любая сторона треугольника меньшеBСА > Любая сторона треугольника меньше1, Любая сторона треугольника меньше1 = Любая сторона треугольника меньше2 и Любая сторона треугольника меньше2 > Любая сторона треугольника меньшеB.

Отсюда получаем, что Любая сторона треугольника меньшеВСА > Любая сторона треугольника меньшеB.

Теорема 2. В треугольнике против большего угла лежит большая сторона.

1) Пусть в треугольнике АBС Любая сторона треугольника меньшеС > Любая сторона треугольника меньшеB. Докажем, что АВ > АС (см. рис. 108, а). Доказательство проведем методом от противного.

2) Предположим, что это не так. Тогда: либо АВ = АС, либо АВ Любая сторона треугольника меньшеC.

В каждом из этих случаев получаем противоречие с условием: Любая сторона треугольника меньшеC > Любая сторона треугольника меньшеB. Таким образом, сделанное предположение неверно и, значит, АВ > АС.

Из данной теоремы следует утверждение: в прямоугольном треугольнике катет меньше гипотенузы.

Действительно, гипотенуза лежит против прямого угла, а катет — против острого. Поскольку прямой угол больше острого, то по теореме 2 получаем, что гипотенуза больше катета.

Теорема 3 (признак равнобедренного треугольника). Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный.

Пусть в треугольнике два угла равны. Тогда равны стороны, лежащие против этих углов. В самом деле, если предположить, что одна из указанных сторон больше другой, то по теореме 1 угол, лежащий против этой стороны, будет больше угла, лежащего против другой стороны, что противоречит условию равенства углов.

Значит, наше предположение неверно и в треугольнике две стороны равны, т. е. треугольник является равнобедренным.

Неравенство треугольника

Докажем, что длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других сторон.

Теорема 4. Длина каждой стороны треугольника меньше суммы длин двух других его сторон.

1) Пусть ABC — произвольный треугольник. Докажем, например, что выполняется неравенство АВ Любая сторона треугольника меньшеl, следовательно, верно неравенство Любая сторона треугольника меньшеАВF > Любая сторона треугольника меньше2.

4) Так как в треугольнике против большего угла лежит большая сторона (теорема 2), то АВ

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔍 Видео

Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?Скачать

Почему каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон?

7 класс. Глава5. Сторона треугольника меньше суммы двух других сторонСкачать

7 класс. Глава5. Сторона треугольника меньше суммы двух других сторон

Неравенства треугольника. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. 7 класс.

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5Скачать

Найдите сторону треугольника, если другие его стороны равны 1 и 5

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольникаСкачать

7 класс, 34 урок, Неравенство треугольника

№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.Скачать

№251. Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон.

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.Скачать

Неравенство треугольника. Геометрия 7 класс. Доказательство. Задачи по рисункам.

№239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.Скачать

№239. Докажите, что в треугольнике медиана не меньше высоты, проведенной из той же вершины.

Неравенства треугольникаСкачать

Неравенства треугольника

Каждая сторона треугольника меньше суммы...Скачать

Каждая сторона треугольника меньше суммы...

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис ТрушинСкачать

✓ Неравенство треугольника | Ботай со мной #126 | Борис Трушин

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольникаСкачать

7 класс, 33 урок, Теорема о соотношениях между сторонами и углами треугольника

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.Скачать

Неравенства треугольника. Практическая часть. 7 класс.

Неравенство треугольника. Доказательство.Скачать

Неравенство треугольника. Доказательство.

Неравенство треугольникаСкачать

Неравенство треугольника

Теорема о соотношении между сторонами треугольникаСкачать

Теорема о соотношении между сторонами треугольника

№248. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?Скачать

№248. Существует ли треугольник со сторонами: а) 1 м, 2 м и 3 м; б) 1,2 дм, 1 дм и 2,4 дм?

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про стороны треугольника. Геометрия 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: