Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Please wait.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

We are checking your browser. mathvox.ru

Видео:Ось симметрииСкачать

Ось симметрии

Why do I have to complete a CAPTCHA?

Completing the CAPTCHA proves you are a human and gives you temporary access to the web property.

Видео:№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?Скачать

№417. Сколько осей симметрии имеет: а) отрезок; б) прямая; в) луч?

What can I do to prevent this in the future?

If you are on a personal connection, like at home, you can run an anti-virus scan on your device to make sure it is not infected with malware.

If you are at an office or shared network, you can ask the network administrator to run a scan across the network looking for misconfigured or infected devices.

Another way to prevent getting this page in the future is to use Privacy Pass. You may need to download version 2.0 now from the Chrome Web Store.

Cloudflare Ray ID: 6d777f884a1b16b7 • Your IP : 85.95.188.35 • Performance & security by Cloudflare

Видео:ОКРУЖНОСТЬ (симметрия в окружности) ЧАСТЬ 18Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (симметрия в окружности) ЧАСТЬ 18

Симметрия окружности

Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрииОкружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрииПроведём произвольный диаметр AB окружности.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.

Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.

Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.

Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.

Что и требовалось доказать .

Окружность — центрально-симметричная фигура.

Осью симметрии окружности является её центр.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрииОтметим на окружности произвольную точку X.

Проведем через точку X диаметр XX1.

XO=X1O (как радиусы).

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.

Видео:Радикальные оси для ЕГЭ профиль. Геометрические конструкции, убивающие №16Скачать

Радикальные оси для ЕГЭ профиль. Геометрические конструкции, убивающие №16

math4school.ru

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Стереометрия 10 класс. Часть 1 | Математика

Свойства и признаки окружности

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Хорошо известно определение окружности как геометрического места точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки .

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Однако определить окружность можно и многими другими способами. Приведем несколько примеров.

1. Окружность есть геометрическое место точек, сумма квадратов расстояний от которых до двух заданных точек постоянна и больше половины квадрата расстояния между этими точками.

2. Окружность есть геометрическое место точек, отношение расстояний от которых до двух данных точек А и В постоянно и не равно 1.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Такая окружность называется окружностью Аполлония точек А и В .

3. Окружность диаметра AB – это фигура, состоящая из точек A, B и всех точек плоскости, из которых отрезок AB виден под прямым углом.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Окружность обладает многими красивыми свойствами, доказательство которых не представляет труда. Сложнее определить, являются ли эти свойства также и признаками окружности, т.е. существуют ли другие кривые, обладающие ими. Перечислим сначала некоторые из свойств окружности, не присущие никаким другим кривым.

«Уникальные» свойства окружности

1. Два угла с вершинами на окружности, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

2. Касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

3. Из всех замкнутых кривых данной длины окружность ограничивает область максимальной площади.

4. Из всех замкнутых кривых, для которых длины всех хорд не превосходят заданной величины, окружность ограничивает область максимальной площади.

5. Любые две дуги окружности равной длины можно совместить.

Это свойство называется самоконгруэнтностью. На плоскости им, кроме окружности, обладает только прямая. Если кривая может не лежать в плоскости, оно задает также винтовую линию.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Однако замкнутых самоконгруэнтных кривых, отличных от окружности, не существует. Благодаря этому свойству меч, имеющий форму дуги окружности, можно вставлять и вынимать из ножен той же формы.

6. При любом расположении двух равных окружностей на плоскости они имеют не больше двух общих точек.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

7. Любая прямая, проходящая через центр окружности, является ее осью симметрии.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Для некоторых из перечисленных свойств доказательства того, что они определяют окружность, а значит являются ее признаками, совсем элементарны. Для других, напротив, весьма сложны. Наиболее интересны доказательства признаков 2 и 6. (Попробуйте найти их самостоятельно; если не получится – смотрите ниже.)

А теперь приведем два красивых свойства окружности, которыми обладают и другие кривые.

«Не уникальные» свойства окружности

1. Окружность является кривой постоянной ширины.

Это значит, что если провести к окружности две параллельные касательные, то расстояние между ними не зависит от их направления.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Как ни странно, этим свойством обладают многие кривые, в том числе довольно сильно отличающиеся от окружности. Наиболее простая из них, так называемый треугольник Рело , изображена на следующем рисунке.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Он состоит из трех дуг окружностей, центры которых расположены в вершинах правильного треугольника, а радиусы равны его стороне. Если изготовить несколько катков, поперечные сечения которых являются кривыми постоянной ширины, то можно перевозить на них плоскую платформу, и она не будет перемещаться вверх и вниз.

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Отметим также, что все кривые данной постоянной ширины имеют одну и ту же длину .

2. Любая прямая, которая делит пополам периметр окружности, делит пополам и площадь ограниченного ею круга.

Разумеется, помимо окружности этим свойством обладают любые кривые, имеющие центр симметрии. Гораздо интереснее то, что обладать им могут и не центрально-симметричные кривые, в том числе и выпуклые. Вот изображение одной из таких фигур:

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

Ее можно задать следующими уравнениями:

Доказательство признака 2

Пусть дана выпуклая гладкая кривая, касательные к которой из любой точки равны. Возьмем произвольную точку А вне кривой и проведем касательные АВ’ и АС’ . Докажем, что для всех точек А’ , лежащих на дуге В’С’ (одной и той же), углы В’А’С’ совпадают.

Проведем через А’ касательную к кривой и найдем точки В и С ее пересечения с АС’ и АВ’ .

Любая прямая содержащая хорду окружности является ее осью симметрии

По условию треугольники В’А’С’ и C’A’B’ равнобедренные, следовательно:

∠ C’A’B’ = π – ∠ BA’C’ – ∠ CA’B’ = ½ · (∠ CBA – ∠ ACB) = ½ · (π – ∠ BAC) .

Таким образом угол, под которым видна хорда В’С’ , не зависит от выбора точки на дуге. Для второй дуги доказательство аналогично. По первому признаку, из приведенных выше, кривая является окружностью.

Доказательство признака 6

Прежде всего, отметим, что в любую замкнутую кривую можно вписать правильный треугольник. Действительно, возьмем на кривой произвольную точку А и повернем кривую вокруг А на π /3. Точка пересечения старого и нового положения кривой, отличная от А будет второй вершиной треугольника.

Итак пусть правильный треугольник с центром О вписан в нашу кривую. Повернем ее вокруг О на угол 2 π /3. Старое и новое положение кривой пересекаются, по крайней мере, в трех точках (вершинах треугольника) и, значит, совпадают, т.е. О является центром симметрии 3 порядка. Рассмотрим теперь поворот кривой вокруг О на произвольный угол φ . Если старое и новое положение кривой не совпадают, то число точек их пересечения кратно 3 (в силу симметрии) и не равно 0 (иначе одна кривая лежала бы целиком внутри другой, что для конгруэнтных кривых невозможно). Следовательно, кривая переходит в себя при любом повороте вокруг О , т.е. является окружностью.

Источники: А. Заславский. Свойства и признаки окружности. («Квант», №6, 2001), Википедия.

📹 Видео

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Ось симметрии. Что это такое и как её проводить?Скачать

Ось симметрии. Что это такое и как её проводить?

КАК СТРОИТЬ ПАРАБОЛУ. ОСЬ СИММЕТРИИ (Финальная часть саги о функциях)Скачать

КАК СТРОИТЬ ПАРАБОЛУ. ОСЬ СИММЕТРИИ (Финальная часть саги о функциях)

Задачи региона ВсОШ на степень точкиСкачать

Задачи региона ВсОШ на степень точки

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№16 - Окружность. Задачи на построение.)

Знакомство с симметрией | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8Скачать

Знакомство с симметрией | Задачи 11-20 | Решение задач | Волчкевич |Уроки геометрии в задачах 7-8

10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Прямая и окружность. Математика. 6 класс.Скачать

Прямая и  окружность. Математика. 6 класс.

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

Вершина параболы и ось симметрии. ПримерСкачать

Вершина параболы и ось симметрии. Пример

Центральная и осевая симметрии. Геометрия 7 класс.Скачать

Центральная и осевая симметрии.  Геометрия 7 класс.

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый
Поделиться или сохранить к себе: