Высота равнобедренного треугольника из теоремы Пифагора, формула
Высота равнобедренного треугольника по формуле Герона, формула
после подстановки коэффициента p в формулу получим
далее вносим под корень 2 и знаменатель b
Формулы для нахождения высоты треугольника
В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Нахождение высоты треугольника
Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.
Высота в разностороннем треугольнике
Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:
1. Через площадь и длину стороны
где S – площадь треугольника.
2. Через длины всех сторон
где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:
3. Через длину прилежащей стороны и синус угла
4. Через стороны и радиус описанной окружности
где R – радиус описанной окружности.
Высота в равнобедренном треугольнике
Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:
Высота в прямоугольном треугольнике
Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:
1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе
2. Через стороны треугольника
Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.
Высота в равностороннем треугольнике
Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:
Примеры задач
Задача 1 Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.
Решение В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:
Задача 2 Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.
Решение Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:
Теорема Пифагора
О чем эта статья:
Статья находится на проверке у методистов Skysmart. Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат (в правом нижнем углу экрана).
Основные понятия
Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.
Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.
Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.
Формула Теоремы Пифагора выглядит так:
где a, b — катеты, с — гипотенуза.
Из этой формулы можно вывести следующее:
a = √c 2 − b 2
b = √c 2 − a 2
c = √a 2 + b 2
Для треугольника со сторонами a, b и c, где c — большая сторона, действуют следующие правила:
если c 2 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является острым.
если c 2 = a 2 + b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является прямым.
если c 2 > a 2 +b 2 , значит угол, противолежащий стороне c, является тупым.
Записывайтесь на курсы обучения математике для школьников с 1 по 11 классы!
Теорема Пифагора: доказательство
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.
Доказать: a 2 + b 2 = c 2 .
Пошаговое доказательство:
Проведём высоту из вершины C на гипотенузу AB, основание обозначим буквой H.
Прямоугольная фигура ∆ACH подобна ∆ABC по двум углам:
Также прямоугольная фигура ∆CBH подобна ∆ABC:
Введем новые обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.
Из подобия треугольников получим: a : c = HB : a, b : c = AH : b.
Значит a 2 = c * HB, b 2 = c * AH.
Сложим полученные равенства:
a 2 + b 2 = c * HB + c * AH
a 2 + b 2 = c * (HB + AH)
a 2 + b 2 = c * AB
Обратная теорема Пифагора: доказательство
Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник является прямоугольным.
Дано: ∆ABC
Доказать: ∠C = 90º
Пошаговое доказательство:
Построим прямой угол с вершиной в точке C₁.
Отложим на его сторонах отрезки C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB.
Проведём отрезок A₁B₁.
Получилась фигура ∆A₁B₁C₁, в которой ∠C₁=90º.
В этой фигуре ∆A₁B₁C₁ применим теорему Пифагора: A₁B₁ 2 = A₁C₁ 2 + B₁C₁ 2 .
Таким образом получится:
Значит, в фигурах треугольниках ∆ABC и ∆A₁B₁C₁:
C₁A₁ = CA и C₁B₁ = CB по результату построения,
A₁B₁ = AB по доказанному результату.
Поэтому, ∆A₁B₁C₁ = ∆ABC по трем сторонам.
Из равенства фигур следует равенство их углов: ∠C =∠C₁ = 90º.
Обратная теорема доказана.
Решение задач
Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 8 см. Какое значение у гипотенузы?
Как решаем:
Пусть катеты a = 6 и b = 8.
По теореме Пифагора c 2 = a 2 + b 2 .
Подставим значения a и b в формулу: c 2 = 6 2 + 8 2 = 36 + 64 = 100 c = √100 = 10.
Задание 2. Является ли треугольник со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным?
Выберем наибольшую сторону и проверим, выполняется ли теорема Пифагора:
