Лемма о подобных треугольниках

Подобные треугольники
Содержание
  1. Определение
  2. Признаки подобия треугольников
  3. Свойства подобных треугольников
  4. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  5. Лемма о подобных треугольниках
  6. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  7. Подобные треугольники
  8. Первый признак подобия треугольников
  9. Пример №1
  10. Теорема Менелая
  11. Теорема Птолемея
  12. Второй и третий признаки подобия треугольников
  13. Пример №4
  14. Прямая Эйлера
  15. Обобщенная теорема Фалеса
  16. Пример №5
  17. Подобные треугольники
  18. Пример №6
  19. Пример №7
  20. Признаки подобия треугольников
  21. Пример №8
  22. Пример №9
  23. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  24. Пример №10
  25. Пример №11
  26. Свойство биссектрисы треугольника
  27. Пример №12
  28. Пример №13
  29. Применение подобия треугольников к решению задач
  30. Пример №14
  31. Пример №15
  32. Подобие треугольников
  33. Определение подобных треугольники
  34. Пример №16
  35. Вычисление подобных треугольников
  36. Подобие треугольников по двум углам
  37. Пример №17
  38. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  39. Пример №18
  40. Подобие треугольников по трем сторонам
  41. Подобие прямоугольных треугольников
  42. Пример №19
  43. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  44. Пример №20
  45. Теорема Пифагора и ее следствия
  46. Пример №21
  47. Теорема, обратная теореме Пифагора
  48. Перпендикуляр и наклонная
  49. Применение подобия треугольников
  50. Свойство биссектрисы треугольника
  51. Пример №22
  52. Метрические соотношения в окружности
  53. Метод подобия
  54. Пример №23
  55. Пример №24
  56. Справочный материал по подобию треугольников
  57. Теорема о пропорциональных отрезках
  58. Подобие треугольников
  59. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  60. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  61. Признак подобия прямоугольных треугольников
  62. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  63. Теорема Пифагора и ее следствия
  64. Перпендикуляр и наклонная
  65. Свойство биссектрисы треугольника
  66. Метрические соотношения в окружности
  67. Подробно о подобных треугольниках
  68. Пример №25
  69. Пример №26
  70. Обобщённая теорема Фалеса
  71. Пример №27
  72. Пример №28
  73. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  74. Пример №29
  75. Применение подобия треугольников
  76. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  77. Пример №31
  78. 🔥 Видео

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Лемма о подобных треугольниках

Видео:Лемма о подобных треугольникахСкачать

Лемма о подобных треугольниках

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Лемма о подобных треугольниках II признак подобия треугольников

Лемма о подобных треугольниках

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Лемма о подобных треугольниках

Видео:Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой РепетиторСкачать

Подобие треугольников. Вся тема за 9 минут | ОГЭ по математике | Молодой Репетитор

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Лемма о подобных треугольниках
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Основная теорема о подобных треугольникахСкачать

Основная теорема о подобных треугольниках

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Лемма о подобных треугольниках

2. Треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:Подобие треугольников. Лемма о подобии треугольников.Скачать

Подобие треугольников. Лемма о подобии треугольников.

Лемма о подобных треугольниках

Признака подобия треугольников

Две фигуры `F` и `F’` называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, т. е. таким преобразованием, при котором расстояния между точками изменяются (увеличиваются или уменьшаются) в одно и то же число раз. Если фигуры `F` и `F’` подобны, то пишется `F

F’`. Напомним, что запись подобия треугольников `Delta ABC

Delta A_1 B_1 C_1` означает, что вершины, совмещаемые преобразованием подобия, стоят на соответствующих местах, т. е. `A` переходит в `A_1`, `B` — в `B_1`, `C` — в `C_1`.

Из свойств преобразования подобия следует, что у подобных фигур соответствующие углы равны, а соответствующие отрезки пропорциональны. В частности, если `Delta ABC

Delta A_1B_1C_1`, то `/_ A = /_ A_1`, `/_ B = /_ B_1`, `/_ C = /_ C_1`,

`A_1B_1 : AB = B_1C_1 : BC = C_1A_1 : CA`.

Два треугольника подобны, если:

1. два угла одного соответственно равны двум углам другого;

2. две стороны одного пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны;

3. три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого.

В решении задач и доказательстве теорем часто используется утверждение, которое, чтобы не повторять каждый раз, докажем сейчас отдельно.

Если две стороны треугольника пересекает прямая, параллельная третьей стороне (рис. 9), то она отсекает треугольник, подобный данному.

Лемма о подобных треугольниках

Действительно, из параллельности `MN` и `AC` следует, что углы `1` и `2` равны. Треугольники `ABC` и `MBN` имеют два равных угла: общий угол при вершине `B` и равные углы `1` и `2`. По первому признаку эти треугольники подобны.

И сразу применим это утверждение в следующем примере, в котором устанавливается важное свойство трапеции.

Прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно её основаниям, пересекает боковые стороны трапеции в точках `M` и `N`. Найти длину отрезка `MN`, если основания трапеции равны `a` и `b`.

1. Пусть `O` — точка пересечения диагоналей, `AD = a`, `BC = b`. Прямая `MN` параллельна основанию `AD` (рис. 10а), следовательно, $$ MOparallel AD$$, треугольники `BMO` и `BAD` подобны, поэтому

Лемма о подобных треугольниках

2. $$ ADparallel BC$$, `Delta AOD

Delta COB` по двум углам (рис. 10б):

`(OD)/(OB) = (AD)/(BC)`, то есть `(OD)/(OB) = a/b`.

Лемма о подобных треугольниках

3. Учитывая, что `BD = BO + OD` находим отношение

`(BO)/(BD) = (BO)/(BO + OD) = 1/(1 + OD//BO) = b/(a + b)`.

Подставляя это в (1), получаем `MO = (ab)/(a + b)`; аналогично устанавливаем, что `ON = (ab)/(a + b)`, таким образом `MN = (2ab)/(a + b)`.

Точки `M` и `N` лежат на боковых сторонах `AB` и `CD` трапеции `ABCD` и $$ MNparallel AD$$ (рис. 11а). Найти длину `MN`, если `BC = a`, `AD = 5a`, `AM : MB = 1:3`.

Лемма о подобных треугольниках

1. Пусть $$ BFVert CD$$ и $$ MEVert CD$$ (рис. 11б), тогда `/_ 1 = /_ 2`, `/_ 3 = /_ 4` (как соответствующие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей) и `Delta AME

Delta MBF`. Из подобия следует `(AE)/(MF) = (AM)/(MB) = 1/3`.

Лемма о подобных треугольниках

2. Обозначим `MN = x`. По построению `BCNF` и `MNDE` — параллелограммы, `FN = a`, `ED = x` и, значит, `MF = x — a`; `AE = 5a — x`. Итак, имеем `(5a — x)/(x — a) = 1/3`, откуда находим `x = 4a`.

Напомним, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Верно также следующее утверждение: отношение медиан, биссектрис и высот, проведённых к сходственным сторонам в подобных треугольниках, равно отношению сходственных сторон.

Отношение радиусов вписанных окружностей, как и отношение радиусов описанных окружностей, в подобных треугольниках также равно отношению сходственных сторон.

Попытайтесь доказать это самостоятельно.

Прямоугольные треугольники подобны, если:

1. они имеют по равному острому углу;

2. катеты одного треугольника пропорциональны катетам другого;

3. гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.

Два первых признака следуют из первого и второго признаков подобия треугольников, поскольку прямые углы равны. Третий признак следует, например, из второго признака подобия и теоремы Пифагора.

Заметим, что высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, разбивает его на два прямоугольных треугольника, подобных между собой и подобных данному. Доказанные в § 1 метрические соотношения Свойств 1, 2, 3 можно доказать, используя подобие указанных треугольников.

СВОЙСТВА ВЫСОТ И БИССЕКТРИС

Если в треугольнике `ABC` нет прямого угла, `A A_1` и `BB_1` — его высоты, то `Delta A_1B_1C

Delta ABC` (этот факт можно сформулировать так: если соединить основания двух высот, то образуется треугольник, подобный данному).

Как всегда, полагаем `AB = c`, `BC = a`, `AC = b`.
а) Треугольник `ABC` остроугольный (рис. 12а).

Лемма о подобных треугольниках

В треугольнике `A A_1C` угол `A_1` — прямой, `A_1C = AC cos C = ul (b cos C)`.

В треугольнике `B B_1C` угол `B_1` — прямой, `B_1C = BC cos C = ul (a cos C)`.

В треугольниках `A_1 B_1C` и `ABC` угол `C` общий, прилежащие стороны пропорциональны: `(A_1C)/(AC) = (B_1C)/(BC) = cos C`.

Таким образом, `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC` с коэффициентом подобия `ul (cos C)`. (Заметим, что `/_ A_1 B_1 C = /_B`).
б) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12б), угол `C` — острый, высота `A A_1` проведена из вершины тупого угла.

Лемма о подобных треугольниках

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cos C =b cos C;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cos C =a cos C,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC,$$

коэффициент подобия `ul (cos C)`, `/_ A_1 B_1 C = /_B`.

Случай, когда угол `B` тупой, рассматривается аналогично.
в) Треугольник `ABC` — тупоугольный (рис. 12в), угол `C` — тупой, высоты `A A_1` и `B B_1` проведены из вершин острых углов.

Лемма о подобных треугольниках

`varphi = /_ BCB_1 = /_ ACA_1 = 180^@ — /_ C`, `cos varphi = — cos C = |cos C|`.

$$left.begin
Delta AA_1C, angle A_1 =90^circ Rightarrow A_1C=ACcdot cosvarphi =b |cos C|;\
Delta BB_1C, angle B_1 =90^circ Rightarrow B_1C=BCcdot cosvarphi =b |cos C|,
end
right>Rightarrow Delta A_1B_1Csim Delta ABC$$

с коэффициентом подобия `ul (k = |cos C|`, `(/_A_1B_1C=/_B)`.

В остроугольном треугольнике `ABC` проведены высоты `A A_1`, `B B_1`, `C C_1` (рис. 13).

Лемма о подобных треугольниках

Треугольник, вершинами которого служат основания высот, называется «высотным» треугольником (или ортотреугольником).

Доказать, что лучи `A_1 A`, `B_1 B` и `C_1 C` являются биссектрисами углов высотного треугольника `A_1 B_1 C_1` (т. е. высоты остроугольного треугольника являются биссектрисами ортотреугольника).

По первой лемме о высотах `Delta A_1 B_1 C

Delta ABC`, `/_ A_1 B_1 C = /_ B`.

Аналогично `Delta AB_1C_1

Delta ABC`, `/_ AB_1 C_1 = /_ B`, т. е. `/_A_1 B_1C = /_ AB_1 C_1`.

Так как `BB_1` — высота, то `/_AB_1B = /_CB_1B = 90^@`.

Поэтому `/_C_1B_1B = /_A_1B_1B = 90^@ — /_B`, т. е. луч `B_1B` — биссектриса угла `A_1B_1C_1`.

Аналогично доказывается, что `A A_1` — биссектриса угла `B_1 A_1 C_1` и `C_1C` — биссектриса угла `B_1 C_1 A_1`.

Высоты `A A_1`, `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H` (рис. 14). Доказать, что имеет место равенство `AH * H A_1 = BH * HB_1`, т. е. произведение отрезков одной высоты равно произведению отрезков другой высоты.

Лемма о подобных треугольниках

Delta BHA_1`, имеют по равному острому углу при вершине `H` (заметим, что этот угол равен углу `C`). Из подобия следует `(AH)/(BH) = (HB_1)/(HA_1)`, откуда `AH * HA_1 = BH * HB_1`. Для тупоугольного треугольника утверждение также верно. Попробуйте доказать самостоятельно.

Высоты `A A_1` и `B B_1` треугольника `ABC` пересекаются в точке `H`, при этом `BH = HB_1` и `AH = 2 HA_1` (рис. 15). Найти величину угла `C`.

Лемма о подобных треугольниках

1. По условию пересекаются высоты, поэтому треугольник остроугольный. Положим `BH = HB_1 = x` и `HA_1 = y`, тогда `AH = 2y`. По второй лемме о высотах `AH * HA_1 = BH * HB_1`, т. е. `x^2 = 2y^2`, `x = y sqrt 2`.
2. В треугольнике `AHB_1` угол `AHB_1` равен углу `C` (т. к. угол `A_1 AC` равен `90^@ — C`), поэтому `cos C = cos (/_ AHB_1) = x/(2y) = sqrt 2/ 2`. Угол `C` — острый, `/_ C = 45^@`.

Установим ещё одно свойство биссектрисы угла треугольника.

Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую этому углу сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, т. е. если `AD` — биссектриса треугольника `ABC`, то `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`.

Проведём через точку `B` прямую параллельно биссектрисе `DA`, пусть `K` — её точка пересечения с прямой `AC` (рис. 16).

Лемма о подобных треугольниках

Параллельные прямые `AD` и `KB` пересечены прямой `KC`, образуются равные углы `1` и `3`. Те же прямые пересечены и прямой `AB`, здесь равные накрест лежащие углы `2` и `4`. Но `AD` — биссектриса, `/_1 = /_2`, следовательно `/_3 = /_4`. Отсюда следует, что треугольник `KAB` равнобедренный, `KA = AB`.
По теореме о пересечении сторон угла параллельными прямыми из $$ ADVert KB$$ следует `(BD)/(DC) = (KA)/(AC)`. Подставляя сюда вместо `KA` равный ему отрезок `AB`, получим `(BD)/(DC) = (AB)/(AC)`. Теорема доказана.

Биссектриса треугольника делит одну из сторон треугольника на отрезки длиной `3` и `5`. Найти в каких пределах может изменяться периметр треугольника.

Пусть `AD` — биссектриса и `BD = 3`, `DC = 5` (рис. 17).

Лемма о подобных треугольниках

По свойству биссектрисы `AB : AC = 3:5`. Положим `AB = 3x`, тогда `AC = 5x`. Каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон, т. е. `ul (5x 1`.

Периметр треугольника `P = 8 + 8x = 8(1 + x)`, поэтому `ul (16

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Предположим, что Лемма о подобных треугольникахПусть серединой отрезка Лемма о подобных треугольникахявляется некоторая точка Лемма о подобных треугольникахТогда отрезок Лемма о подобных треугольниках— средняя линия треугольника Лемма о подобных треугольниках

Отсюда
Лемма о подобных треугольникахЗначит, через точку Лемма о подобных треугольникахпроходят две прямые, параллельные прямой Лемма о подобных треугольникахчто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Предположим, что Лемма о подобных треугольникахПусть серединой отрезка Лемма о подобных треугольникахявляется некоторая точка Лемма о подобных треугольникахТогда отрезок Лемма о подобных треугольниках— средняя линия трапеции Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахЗначит, через точку Лемма о подобных треугольникахпроходят две прямые, параллельные прямой Лемма о подобных треугольникахМы пришли к противоречию. Следовательно, Лемма о подобных треугольниках
Аналогично можно доказать, что Лемма о подобных треугольникахи т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Лемма о подобных треугольниках
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Лемма о подобных треугольникахЗаписывают: Лемма о подобных треугольниках
Если Лемма о подобных треугольникахто говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Лемма о подобных треугольниках

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Лемма о подобных треугольникахто говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Лемма о подобных треугольниках

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Лемма о подобных треугольниках(рис. 113). Докажем, что: Лемма о подобных треугольниках
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Лемма о подобных треугольниках, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Лемма о подобных треугольниках— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Лемма о подобных треугольникахравных отрезков, каждый из которых равен Лемма о подобных треугольниках.

Лемма о подобных треугольниках

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Лемма о подобных треугольниках
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Лемма о подобных треугольникахсоответственно на Лемма о подобных треугольникахравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Имеем: Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольниках

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Лемма о подобных треугольникахпараллельной прямой Лемма о подобных треугольниках(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Лемма о подобных треугольникахтреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Лемма о подобных треугольникахтакже проходит через точку М и Лемма о подобных треугольниках
Проведем Лемма о подобных треугольникахПоскольку Лемма о подобных треугольникахто по теореме Фалеса Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольникахПоскольку Лемма о подобных треугольниках

По теореме о пропорциональных отрезках Лемма о подобных треугольниках

Таким образом, медиана Лемма о подобных треугольникахпересекая медиану Лемма о подобных треугольникахделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Лемма о подобных треугольникахтакже делит медиану Лемма о подобных треугольникахв отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Лемма о подобных треугольниках

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Лемма о подобных треугольникахв отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Лемма о подобных треугольникахПоскольку BE = ВС, то Лемма о подобных треугольниках

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Лемма о подобных треугольникахтак, чтобы Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Лемма о подобных треугольникахОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Видео:8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольниковСкачать

8 класс, 22 урок, Первый признак подобия треугольников

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Лемма о подобных треугольниках

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Лемма о подобных треугольниках

На рисунке 131 изображены треугольники Лемма о подобных треугольникаху которых равны углы: Лемма о подобных треугольниках

Стороны Лемма о подобных треугольникахлежат против равных углов Лемма о подобных треугольникахТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Лемма о подобных треугольниках

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Лемма о подобных треугольникаху которых Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Лемма о подобных треугольниках(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Лемма о подобных треугольниках»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Лемма о подобных треугольникахс коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Лемма о подобных треугольниках
Поскольку Лемма о подобных треугольникахто можно также сказать, что треугольник Лемма о подобных треугольникахподобен треугольнику АВС с коэффициентом Лемма о подобных треугольникахПишут: Лемма о подобных треугольниках

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Лемма о подобных треугольниках

Докажите это свойство самостоятельно.

Лемма о подобных треугольниках

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Лемма о подобных треугольникахпараллелен стороне АС. Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Углы Лемма о подобных треугольникахравны как соответственные при параллельных прямых Лемма о подобных треугольникахи секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Лемма о подобных треугольниках
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольниках

Проведем Лемма о подобных треугольникахПолучаем: Лемма о подобных треугольникахПо определению четырехугольник Лемма о подобных треугольниках— параллелограмм. Тогда Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольниках
Таким образом, мы доказали, что Лемма о подобных треугольниках
Следовательно, в треугольниках Лемма о подобных треугольникахуглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Лемма о подобных треугольникахподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Лемма о подобных треугольникахоткудаЛемма о подобных треугольниках

Пусть Р1 — периметр треугольника Лемма о подобных треугольникахР — периметр треугольника АВС. Имеем: Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Лемма о подобных треугольникахвыполняются условия Лемма о подобных треугольникахто по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольниках, у которых Лемма о подобных треугольникахДокажем, что Лемма о подобных треугольниках

Если Лемма о подобных треугольникахто треугольники Лемма о подобных треугольникахравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Лемма о подобных треугольникахОтложим на стороне ВА отрезок Лемма о подобных треугольникахравный стороне Лемма о подобных треугольникахЧерез точку Лемма о подобных треугольникахпроведем прямую Лемма о подобных треугольникахпараллельную стороне АС (рис. 140).

Лемма о подобных треугольниках

Углы Лемма о подобных треугольниках— соответственные при параллельных прямых Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахАле Лемма о подобных треугольникахПолучаем, что Лемма о подобных треугольникахТаким образом, треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахСледовательно, Лемма о подобных треугольниках

Пример №1

Средняя линия трапеции Лемма о подобных треугольникахравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Лемма о подобных треугольниках
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Лемма о подобных треугольниках

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Лемма о подобных треугольниках
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Лемма о подобных треугольникахУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Лемма о подобных треугольниках
Отсюда Лемма о подобных треугольниках

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Лемма о подобных треугольникахвв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Лемма о подобных треугольниках а на продолжении стороны АС — точку Лемма о подобных треугольниках Для того чтобы точки Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Лемма о подобных треугольникахлежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Лемма о подобных треугольниках(рис. 153, а). Поскольку Лемма о подобных треугольникахто треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Лемма о подобных треугольниках
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Лемма о подобных треугольниках
Из подобия треугольников Лемма о подобных треугольникахследует равенство Лемма о подобных треугольниках

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольникахполучаем равенство

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Лемма о подобных треугольникахлежат на одной прямой.
Пусть прямая Лемма о подобных треугольникахпересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Лемма о подобных треугольникахлежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Лемма о подобных треугольниках

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Лемма о подобных треугольникахто есть точки Лемма о подобных треугольникахделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Лемма о подобных треугольникахпересекает сторону ВС в точке Лемма о подобных треугольниках
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Лемма о подобных треугольникахлежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Лемма о подобных треугольниках

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Лемма о подобных треугольниках

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

На диагонали АС отметим точку К так, что Лемма о подобных треугольникахУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

Поскольку Лемма о подобных треугольникахУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахв которых Лемма о подобных треугольникахДокажем, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Если k = 1, то Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольникаха следовательно, треугольники Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Лемма о подобных треугольникахтак, что Лемма о подобных треугольниках(рис. 160). Тогда Лемма о подобных треугольниках

Покажем, что Лемма о подобных треугольникахПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Лемма о подобных треугольниках
Имеем: Лемма о подобных треугольникахтогда Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Лемма о подобных треугольниках
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Лемма о подобных треугольниках

Треугольники Лемма о подобных треугольникахравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Лемма о подобных треугольниках

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахв которых Лемма о подобных треугольникахДокажем, что Лемма о подобных треугольниках

Если k = 1, то треугольники Лемма о подобных треугольникахравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Лемма о подобных треугольникахтакие, что Лемма о подобных треугольниках(рис. 161). Тогда Лемма о подобных треугольниках

В треугольниках Лемма о подобных треугольникахугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Лемма о подобных треугольниках

Учитывая, что по условию Лемма о подобных треугольникахполучаем: Лемма о подобных треугольниках
Следовательно, треугольники Лемма о подобных треугольникахравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Лемма о подобных треугольникахполучаем: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Лемма о подобных треугольниках— высоты треугольника АВС. Докажем, что Лемма о подобных треугольниках
В прямоугольных треугольниках Лемма о подобных треугольникахострый угол В общий. Следовательно, треугольники Лемма о подобных треугольникахподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Лемма о подобных треугольниках

Тогда Лемма о подобных треугольникахУгол В — общий для треугольников Лемма о подобных треугольникахСледовательно, треугольники АВС и Лемма о подобных треугольникахподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Лемма о подобных треугольникахто его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Лемма о подобных треугольниках — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Лемма о подобных треугольниках(рис. 167).

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Лемма о подобных треугольниках(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Лемма о подобных треугольниках. Для этой окружности угол Лемма о подобных треугольникахявляется центральным, а угол Лемма о подобных треугольниках— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Лемма о подобных треугольникахУглы ВАС и Лемма о подобных треугольникахравны как противолежащие углы параллелограмма Лемма о подобных треугольникахпоэтому Лемма о подобных треугольникахПоскольку Лемма о подобных треугольникахто равнобедренные треугольники Лемма о подобных треугольникахподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Лемма о подобных треугольниках— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Лемма о подобных треугольниках
Докажем теперь основную теорему.

Лемма о подобных треугольниках

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Лемма о подобных треугольникахПоскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахУглы Лемма о подобных треугольникахравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Лемма о подобных треугольникахподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Лемма о подобных треугольникахЗначит, точка М делит медиану Лемма о подобных треугольникахв отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахназывают отношение их длин, то есть Лемма о подобных треугольниках

Говорят, что отрезки Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахпропорциональные отрезкам Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Например, если Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахдействительно Лемма о подобных треугольниках

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахпропорциональны трем отрезкам Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахесли

Лемма о подобных треугольниках

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахпересекают стороны угла Лемма о подобных треугольниках(рис. 123). Докажем, что

Лемма о подобных треугольниках

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Лемма о подобных треугольникахкоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Лемма о подобных треугольникахи на отрезке Лемма о подобных треугольниках

Пусть Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Лемма о подобных треугольникахПоэтому Лемма о подобных треугольниках

Имеем: Лемма о подобных треугольниках

2) Разделим отрезок Лемма о подобных треугольникахна Лемма о подобных треугольникахравных частей длины Лемма о подобных треугольникаха отрезок Лемма о подобных треугольниках— на Лемма о подобных треугольникахравных частей длины Лемма о подобных треугольникахПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Лемма о подобных треугольниках(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Лемма о подобных треугольникахна Лемма о подобных треугольникахравных отрезков длины Лемма о подобных треугольникахпричем Лемма о подобных треугольникахбудет состоять из Лемма о подобных треугольникахтаких отрезков, а Лемма о подобных треугольниках— из Лемма о подобных треугольникахтаких отрезков.

Имеем: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

3) Найдем отношение Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахБудем иметь:

Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Лемма о подобных треугольниках

Следствие 2. Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Поскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

Учитывая, что Лемма о подобных треугольниках

будем иметь: Лемма о подобных треугольниках

Откуда Лемма о подобных треугольниках

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Лемма о подобных треугольникахПостройте отрезок Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Поскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Для построения отрезка Лемма о подобных треугольникахможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Лемма о подобных треугольниках(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Лемма о подобных треугольникаха на другой — отрезки Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

2) Проведем прямую Лемма о подобных треугольникахЧерез точку Лемма о подобных треугольникахпараллельно Лемма о подобных треугольникахпроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Лемма о подобных треугольникахугла обозначим через Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахСледовательно, Лемма о подобных треугольниках

Построенный отрезок Лемма о подобных треугольникахназывают четвертым пропорциональным отрезков Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахтак как для этих отрезков верно равенство: Лемма о подобных треугольниках

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Лемма о подобных треугольниках

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахподобны (рис. 127), то

Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Лемма о подобных треугольникахЧисло Лемма о подобных треугольникахназывают коэффициентом подобия треугольника Лемма о подобных треугольникахк треугольнику Лемма о подобных треугольникахили коэффициентом подобия треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Подобие треугольников принято обозначать символом Лемма о подобных треугольникахВ нашем случае Лемма о подобных треугольникахЗаметим, что из соотношения Лемма о подобных треугольникахследует соотношение

Лемма о подобных треугольниках

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Тогда Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пример №7

Стороны треугольника Лемма о подобных треугольникахотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Лемма о подобных треугольникахравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

Обозначим Лемма о подобных треугольникахПо условию Лемма о подобных треугольникахтогда Лемма о подобных треугольниках(см). Имеем: Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

8 класс, 21 урок, Отношение площадей подобных треугольников

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Лемма о подобных треугольникахпересекает стороны Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахсоответственно в точках Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках(рис. 129). Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

1) Лемма о подобных треугольниках— общий для обоих треугольников, Лемма о подобных треугольниках(как соответственные углы при параллельных прямых Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольниках(аналогично, но для секущей Лемма о подобных треугольникахСледовательно, три угла треугольника Лемма о подобных треугольникахравны трем углам треугольника Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Лемма о подобных треугольниках

3) Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Через точку Лемма о подобных треугольникахпроведем прямую, параллельную Лемма о подобных треугольникахи пересекающую Лемма о подобных треугольникахв точке Лемма о подобных треугольникахТак как Лемма о подобных треугольниках— параллелограмм, то Лемма о подобных треугольникахПо обобщенной теореме Фалеса: Лемма о подобных треугольниках

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Лемма о подобных треугольниках

Но Лемма о подобных треугольникахСледовательно, Лемма о подобных треугольниках

4) Окончательно имеем: Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаха значит, Лемма о подобных треугольниках

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаху которых Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках(рис. 130). Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

1) Отложим на стороне Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольникахи проведем через Лемма о подобных треугольникахпрямую, параллельную Лемма о подобных треугольниках(рис. 131). Тогда Лемма о подобных треугольниках(по лемме).

Лемма о подобных треугольниках

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Лемма о подобных треугольникахНо Лемма о подобных треугольниках(по построению). Поэтому Лемма о подобных треугольникахПо условию Лемма о подобных треугольникахследовательно, Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

3) Так как Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Лемма о подобных треугольникахследовательно, Лемма о подобных треугольниках

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаху которых Лемма о подобных треугольниках(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Лемма о подобных треугольниках

2) Лемма о подобных треугольникахно Лемма о подобных треугольникахПоэтому Лемма о подобных треугольниках

3) Тогда Лемма о подобных треугольниках(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаху которых Лемма о подобных треугольниках(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Лемма о подобных треугольниках

2) Тогда Лемма о подобных треугольникахно Лемма о подобных треугольникахпоэтому

Лемма о подобных треугольникахУчитывая, что

Лемма о подобных треугольникахимеем: Лемма о подобных треугольниках

3) Тогда Лемма о подобных треугольниках(по трем сторонам).

4) Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахНо Лемма о подобных треугольникахзначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Лемма о подобных треугольниках— параллелограмм (рис. 132). Лемма о подобных треугольниках— высота параллелограмма. Проведем Лемма о подобных треугольниках— вторую высоту параллелограмма.

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Лемма о подобных треугольниках— прямоугольный треугольник Лемма о подобных треугольниках— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

1) У прямоугольных треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахугол Лемма о подобных треугольниках— общий. Поэтому Лемма о подобных треугольниках(по острому углу).

2) Аналогично Лемма о подобных треугольниках-общий, Лемма о подобных треугольникахОткуда Лемма о подобных треугольниках

3) У треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Поэтому Лемма о подобных треугольниках(по острому углу).

Отрезок Лемма о подобных треугольникахназывают проекцией катета Лемма о подобных треугольникахна гипотенузу Лемма о подобных треугольникаха отрезок Лемма о подобных треугольникахпроекцией катета Лемма о подобных треугольникахна гипотенузу Лемма о подобных треугольниках

Отрезок Лемма о подобных треугольникахназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках, если Лемма о подобных треугольниках

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Лемма о подобных треугольниках(по лемме). Поэтому Лемма о подобных треугольникахили Лемма о подобных треугольниках

2) Лемма о подобных треугольниках(по лемме). Поэтому Лемма о подобных треугольникахили Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках(по лемме). Поэтому Лемма о подобных треугольникахили Лемма о подобных треугольниках

Пример №10

Лемма о подобных треугольниках— высота прямоугольного треугольника Лемма о подобных треугольниках

с прямым углом Лемма о подобных треугольникахДокажите, что Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникаха так как Лемма о подобных треугольникахто

Лемма о подобных треугольникахПоэтому Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

1) Лемма о подобных треугольниках

2) Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольникахТак как Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

3) Лемма о подобных треугольникахТак как Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

4) Лемма о подобных треугольниках

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Лемма о подобных треугольниках— биссектриса треугольника Лемма о подобных треугольниках(рис. 147). Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

1) Проведем через точку Лемма о подобных треугольникахпрямую, параллельную Лемма о подобных треугольникахи продлим биссектрису Лемма о подобных треугольникахдо пересечения с этой прямой в точке Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольниках(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольниках

2) Лемма о подобных треугольниках— равнобедренный (так как Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникаха значит, Лемма о подобных треугольниках

3) Лемма о подобных треугольниках(как вертикальные), поэтому Лемма о подобных треугольниках(по двум углам). Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Но Лемма о подобных треугольникахтаким образом Лемма о подобных треугольниках

Из пропорции Лемма о подобных треугольникахможно получить и такую: Лемма о подобных треугольниках

Пример №12

В треугольнике Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках— биссектриса треугольника. Найдите Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Рассмотрим Лемма о подобных треугольниках(рис. 147). Пусть Лемма о подобных треугольниках

тогда Лемма о подобных треугольникахТак как Лемма о подобных треугольникахимеем уравнение: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Лемма о подобных треугольникахмедиана (рис. 148).

Лемма о подобных треугольниках

Тогда Лемма о подобных треугольникахявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Лемма о подобных треугольниках— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Лемма о подобных треугольниках— радиус окружности.

Учитывая, что Лемма о подобных треугольникахобозначим Лемма о подобных треугольникахТак как Лемма о подобных треугольниках— середина Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках— биссектриса треугольника Лемма о подобных треугольникахпоэтому Лемма о подобных треугольниках

Пусть Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахИмеем: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Лемма о подобных треугольниках и Лемма о подобных треугольниках пересекаются в точке Лемма о подобных треугольникахто

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Пусть хорды Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахпересекаются в точке Лемма о подобных треугольниках(рис. 150). Рассмотрим Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаху которых Лемма о подобных треугольниках(как вертикальные), Лемма о подобных треугольниках(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Лемма о подобных треугольниках

Тогда Лемма о подобных треугольниках(по двум углам), а значит, Лемма о подобных треугольникахоткуда

Лемма о подобных треугольниках

Следствие. Если Лемма о подобных треугольниках— центр окружности, Лемма о подобных треугольниках— ее радиус, Лемма о подобных треугольниках— хорда, Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахгде Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Проведем через точку Лемма о подобных треугольникахдиаметр Лемма о подобных треугольниках(рис. 151). Тогда Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Лемма о подобных треугольникахДокажите формулу биссектрисы: Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Опишем около треугольника Лемма о подобных треугольникахокружность и продлим Лемма о подобных треугольникахдо пересечения с окружностью в точке Лемма о подобных треугольниках(рис. 152).

1) Лемма о подобных треугольниках(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках(по условию). Поэтому Лемма о подобных треугольниках(по двум углам).

2) Имеем: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольниках

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Лемма о подобных треугольникахлежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Лемма о подобных треугольниках и Лемма о подобных треугольникахи касательную Лемма о подобных треугольникахгде Лемма о подобных треугольниках — точка касания, то Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Лемма о подобных треугольниках(как вписанный угол), Лемма о подобных треугольниках, то

есть Лемма о подобных треугольникахПоэтому Лемма о подобных треугольниках(по двум углам),

значит, Лемма о подобных треугольникахОткуда Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Следствие 1. Если из точки Лемма о подобных треугольникахпровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаха другая — в точках Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

Так как по теореме каждое из произведений Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахравно Лемма о подобных треугольникахто следствие очевидно.

Следствие 2. Если Лемма о подобных треугольниках— центр окружности, Лемма о подобных треугольниках— ее радиус, Лемма о подобных треугольниках— касательная, Лемма о подобных треугольниках— точка касания, то Лемма о подобных треугольникахгде Лемма о подобных треугольниках

Доказательство:

Проведем из точки Лемма о подобных треугольникахчерез центр окружности Лемма о подобных треугольникахсекущую (рис. 154), Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Лемма о подобных треугольникахно Лемма о подобных треугольникахпоэтому Лемма о подобных треугольниках

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Лемма о подобных треугольниках(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Лемма о подобных треугольникахс планкой, которая вращается вокруг точки Лемма о подобных треугольникахНаправим планку на верхнюю точку Лемма о подобных треугольникахели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Лемма о подобных треугольникахв которой планка упирается в поверхность земли.

Лемма о подобных треугольниках

Рассмотрим Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаху них общий, поэтому Лемма о подобных треугольниках(по острому углу).

Тогда Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольниках

Если, например, Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Лемма о подобных треугольниках

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Лемма о подобных треугольникаху которого углы Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахи откладываем на прямой Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольникахравный данному.

3) Через точку Лемма о подобных треугольникахпроводим прямую, параллельную Лемма о подобных треугольникахОна пересекает стороны угла Лемма о подобных треугольникахв некоторых точках Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках(рис. 157).

4) Так как Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахЗначит, два угла треугольника Лемма о подобных треугольникахравны данным.

Докажем, что Лемма о подобных треугольниках— середина Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках(по двум углам). Поэтому Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках(по двум углам). Поэтому Лемма о подобных треугольниках

Получаем, что Лемма о подобных треугольникахто есть Лемма о подобных треугольникахНо Лемма о подобных треугольниках(по построению), поэтому Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, Лемма о подобных треугольниках— медиана треугольника Лемма о подобных треугольникахи треугольник Лемма о подобных треугольниках— искомый.

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Лемма о подобных треугольникахназывается частное их длин, т.е. число Лемма о подобных треугольниках

Иначе говоря, отношение Лемма о подобных треугольникахпоказывает, сколько раз отрезок Лемма о подобных треугольникахи его части укладываются в отрезке Лемма о подобных треугольникахДействительно, если отрезок Лемма о подобных треугольникахпринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Лемма о подобных треугольниках

Отрезки длиной Лемма о подобных треугольникахпропорциональны отрезкам длиной Лемма о подобных треугольникахесли Лемма о подобных треугольниках

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Лемма о подобных треугольниках

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Лемма о подобных треугольниках

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Лемма о подобных треугольниках

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Лемма о подобных треугольникахпоказывает, сколько раз отрезок Лемма о подобных треугольникахукладывается в отрезке Лемма о подобных треугольникаха отношение Лемма о подобных треугольникахсколько раз отрезок Лемма о подобных треугольникахукладывается в отрезке Лемма о подобных треугольникахТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Лемма о подобных треугольникахДействительно, прямые, параллельные Лемма о подобных треугольниках«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Лемма о подобных треугольниках«переходит» в отрезок Лемма о подобных треугольникахдесятая часть отрезка Лемма о подобных треугольниках— в десятую часть отрезка Лемма о подобных треугольникахи т.д. Поэтому если отрезок Лемма о подобных треугольникахукладывается в отрезке Лемма о подобных треугольникахраз, то отрезок Лемма о подобных треугольникахукладывается в отрезке Лемма о подобных треугольникахтакже Лемма о подобных треугольникахраз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахи следствие данной теоремы можно записать в виде Лемма о подобных треугольникахНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Лемма о подобных треугольникахПостройте отрезок Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Лемма о подобных треугольникахи отложим на одной его стороне отрезки Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникаха на другой стороне — отрезок Лемма о подобных треугольниках(рис. 91).

Лемма о подобных треугольниках

Проведем прямую Лемма о подобных треугольникахи прямую, которая параллельна Лемма о подобных треугольникахпроходит через точку Лемма о подобных треугольникахи пересекает другую сторону угла в точке Лемма о подобных треугольникахПо теореме о пропорциональных отрезках Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахСледовательно, отрезок Лемма о подобных треугольниках— искомый.

Заметим, что в задаче величина Лемма о подобных треугольникахявляется четвертым членом пропорции Лемма о подобных треугольникахПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Лемма о подобных треугольникахВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Лемма о подобных треугольниках

Число Лемма о подобных треугольникахравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Лемма о подобных треугольникахс коэффициентом подобия Лемма о подобных треугольникахЭто означает, что Лемма о подобных треугольникахт.е. Лемма о подобных треугольникахИмеем:

Лемма о подобных треугольниках

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахв которых Лемма о подобных треугольниках, (рис. 99).

Лемма о подобных треугольниках

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Лемма о подобных треугольникахОтложим на луче Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольникахравный Лемма о подобных треугольникахи проведем прямую Лемма о подобных треугольникахпараллельную Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Лемма о подобных треугольникахпо второму признаку, откуда Лемма о подобных треугольникахПо теореме о пропорциональных отрезках Лемма о подобных треугольникахследовательно Лемма о подобных треугольникахАналогично доказываем что Лемма о подобных треугольникахТаким образом по определению подобных треугольников Лемма о подобных треугольникахТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Лемма о подобных треугольникахдиагонали пересекаются в точке Лемма о подобных треугольниках(рис. 100).

Лемма о подобных треугольниках

Рассмотрим треугольники Лемма о подобных треугольникахВ них углы при вершине Лемма о подобных треугольникахравны как вертикальные, Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахкак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахпо двум углам. Отсюда следует, что Лемма о подобных треугольникахПо скольку по условию Лемма о подобных треугольникахзначит, Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольниках
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Лемма о подобных треугольниках

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Лемма о подобных треугольникахв которых Лемма о подобных треугольниках(рис. 101).

Лемма о подобных треугольниках

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольникахравный Лемма о подобных треугольникахи проведем прямую Лемма о подобных треугольникахпараллельную Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Лемма о подобных треугольникахпо двум углам. Отсюда Лемма о подобных треугольникаха поскольку Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахпо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахпо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахделит каждую из них в отношении Лемма о подобных треугольникахначиная от вершины Лемма о подобных треугольникахДокажите, что эта прямая параллельна Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Лемма о подобных треугольниках

Пусть прямая Лемма о подобных треугольникахпересекает стороны Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахв точках Лемма о подобных треугольникахсоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Лемма о подобных треугольникахТогда треугольники Лемма о подобных треугольникахподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Лемма о подобных треугольникахНо эти углы являются соответственными при прямых Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольникахСледовательно, Лемма о подобных треугольникахпо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках(рис. 103).

Лемма о подобных треугольниках

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольникахравный отрезку Лемма о подобных треугольникахи проведем прямую Лемма о подобных треугольникахпараллельную Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахкак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Лемма о подобных треугольникахпо двум углам. Отсюда Лемма о подобных треугольникаха поскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольникахУчитывая, что Лемма о подобных треугольникахимеем Лемма о подобных треугольникахАналогично доказываем, что Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахпо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахпо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Лемма о подобных треугольникахс острым углом Лемма о подобных треугольникахпроведены высоты Лемма о подобных треугольниках(рис. 110). Докажите, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахПоскольку они имеют общий острый угол Лемма о подобных треугольникахони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Лемма о подобных треугольниках

Рассмотрим теперь треугольники Лемма о подобных треугольникахУ них также общий угол Лемма о подобных треугольниках, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Лемма о подобных треугольникахпо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Лемма о подобных треугольникахназывается средним пропорциональным между отрезками Лемма о подобных треугольникахесли Лемма о подобных треугольниках

В прямоугольном треугольнике Лемма о подобных треугольникахс катетами Лемма о подобных треугольникахи гипотенузой Лемма о подобных треугольникахпроведем высоту Лемма о подобных треугольникахи обозначим ее Лемма о подобных треугольниках(рис. 111).

Лемма о подобных треугольниках

Отрезки Лемма о подобных треугольникахна которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Лемма о подобных треугольникахна гипотенузу Лемма о подобных треугольникахобозначают Лемма о подобных треугольникахсоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Лемма о подобных треугольниках

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Лемма о подобных треугольниках

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Лемма о подобных треугольниках

По признаку подобия прямоугольных треугольников Лемма о подобных треугольниках(у этих треугольников общий острый угол Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках(у этих треугольников общий острый угол Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Лемма о подобных треугольникахИз подобия треугольников Лемма о подобных треугольникахимеем: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахАналогично из подобия треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахполучаем Лемма о подобных треугольникахИ наконец, из подобия треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахимеем Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках(рис. 112).

Лемма о подобных треугольниках

Из метрического соотношения в треугольнике Лемма о подобных треугольникахполучаем: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахтогда Лемма о подобных треугольникахИз соотношения Лемма о подобных треугольникахимеем: Лемма о подобных треугольникахоткуда Лемма о подобных треугольникахСледовательно, Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Лемма о подобных треугольниках

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Лемма о подобных треугольникахи гипотенузой Лемма о подобных треугольниках(рис. 117) Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Лемма о подобных треугольниках

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Лемма о подобных треугольникахто

Лемма о подобных треугольниках

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Лемма о подобных треугольниках— высота треугольника Лемма о подобных треугольникахв котором Лемма о подобных треугольниках(рис. 118).

Лемма о подобных треугольниках

Поскольку Лемма о подобных треугольниках— наибольшая сторона треугольника, то точка Лемма о подобных треугольникахлежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Лемма о подобных треугольникахравной Лемма о подобных треугольникахсм, тогда Лемма о подобных треугольникахПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Лемма о подобных треугольникахимеем: Лемма о подобных треугольникаха из прямоугольного треугольника Лемма о подобных треугольникахимеем: Лемма о подобных треугольникахт.е. Лемма о подобных треугольникахПриравнивая два выражения для Лемма о подобных треугольникахполучаем:

Лемма о подобных треугольниках

Таким образом, Лемма о подобных треугольниках

Тогда из треугольника Лемма о подобных треугольникахпо теореме Пифагора имеем: Лемма о подобных треугольниках

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Лемма о подобных треугольниках

Пусть в треугольнике Лемма о подобных треугольниках(рис. 119, а) Лемма о подобных треугольникахДокажем, что угол Лемма о подобных треугольникахпрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Лемма о подобных треугольникахс прямым углом Лемма о подобных треугольникахв котором Лемма о подобных треугольниках(рис. 119, б). По теореме Пифагора Лемма о подобных треугольникаха с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Лемма о подобных треугольникахТогда Лемма о подобных треугольникахпо трем сторонам, откуда Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Лемма о подобных треугольникахОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Лемма о подобных треугольникахдля которых выполняется равенство Лемма о подобных треугольникахпринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Лемма о подобных треугольникахне лежит на прямой Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Лемма о подобных треугольникахс точкой прямой Лемма о подобных треугольникахи не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Лемма о подобных треугольникахНа рисунке 121 отрезок Лемма о подобных треугольниках— наклонная к прямой Лемма о подобных треугольникахточка Лемма о подобных треугольниках— основание наклонной. При этом отрезок Лемма о подобных треугольникахпрямой Лемма о подобных треугольникахограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Лемма о подобных треугольникахна данную прямую.

Лемма о подобных треугольниках

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

Видео:Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс : Отношение площадей подобных треугольников

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Лемма о подобных треугольниках

По данным рисунка 123 это означает, что

Лемма о подобных треугольниках

Пусть Лемма о подобных треугольниках— биссектриса треугольника Лемма о подобных треугольникахДокажем, что Лемма о подобных треугольниках

В случае, если Лемма о подобных треугольникахутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Лемма о подобных треугольникахявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Лемма о подобных треугольниках

Проведем перпендикуляры Лемма о подобных треугольникахк прямой Лемма о подобных треугольниках(рис. 124). Прямоугольные треугольники Лемма о подобных треугольникахподобны, поскольку их острые углы при вершине Лемма о подобных треугольникахравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Лемма о подобных треугольниках

С другой стороны, прямоугольные треугольники Лемма о подобных треугольникахтакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Лемма о подобных треугольникахОтсюда следует что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Сравнивая это равенство с предыдущем Лемма о подобных треугольникахчто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Лемма о подобных треугольниках— биссектриса прямоугольного треугольника Лемма о подобных треугольникахс гипотенузой Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках(рис. 125).

Лемма о подобных треугольниках

По свойству биссектрисы треугольника Лемма о подобных треугольниках

Тогда если Лемма о подобных треугольникахи по теореме Пифагора имеем:

Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, Лемма о подобных треугольниках

тогда Лемма о подобных треугольниках

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пусть хорды Лемма о подобных треугольникахпересекаются в точке Лемма о подобных треугольникахПроведем хорды Лемма о подобных треугольникахТреугольники Лемма о подобных треугольникахподобны по двум углам: Лемма о подобных треугольникахкак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Лемма о подобных треугольникахравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Лемма о подобных треугольникахт.е. Лемма о подобных треугольниках

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пусть из точки Лемма о подобных треугольникахк окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Лемма о подобных треугольникахи касательная Лемма о подобных треугольниках— точка касания). Проведем хорды Лемма о подобных треугольникахТреугольники Лемма о подобных треугольникахподобны по двум углам: у них общий угол Лемма о подобных треугольникаха углы Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольникахизмеряются половиной дуги Лемма о подобных треугольниках(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Лемма о подобных треугольникахт.е. Лемма о подобных треугольниках

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Лемма о подобных треугольникахпересекаются в точке Лемма о подобных треугольникахДокажите, что Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Лемма о подобных треугольникахЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках(рис. 129). Поскольку Лемма о подобных треугольникахкак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Лемма о подобных треугольникахНо углы Лемма о подобных треугольникахвнутренние накрест лежащие при прямых Лемма о подобных треугольникахи секущей Лемма о подобных треугольникахСледовательно, по признаку параллельности прямых Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Лемма о подобных треугольникахопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Лемма о подобных треугольниках— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Лемма о подобных треугольникахОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Лемма о подобных треугольникахпроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Лемма о подобных треугольниках

Построение:

1.Построим треугольник Лемма о подобных треугольникахв котором Лемма о подобных треугольниках

2.Построим биссектрису угла Лемма о подобных треугольниках

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Лемма о подобных треугольниках

4.Проведем через точку Лемма о подобных треугольникахпрямую, параллельную Лемма о подобных треугольникахПусть Лемма о подобных треугольниках— точки ее пересечения со сторонами угла Лемма о подобных треугольникахТреугольник Лемма о подобных треугольникахискомый.

Поскольку по построению Лемма о подобных треугольникахкак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольниках— биссектриса и Лемма о подобных треугольникахпо построению, Лемма о подобных треугольниках

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Лемма о подобных треугольникахи ни одного, если Лемма о подобных треугольниках

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Лемма о подобных треугольниках

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Лемма о подобных треугольниках

Подобие треугольников

Лемма о подобных треугольниках
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Лемма о подобных треугольниках

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Лемма о подобных треугольниках

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Лемма о подобных треугольниках

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Лемма о подобных треугольниках

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Лемма о подобных треугольниках

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Лемма о подобных треугольниках

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Лемма о подобных треугольникахи Лемма о подобных треугольниках

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Лемма о подобных треугольниках

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Лемма о подобных треугольниках

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Лемма о подобных треугольниках

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Лемма о подобных треугольникахравны соответственным углам Δ ABC: Лемма о подобных треугольниках. Но стороны Лемма о подобных треугольникахв два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Лемма о подобных треугольниках. Следовательно, треугольник Лемма о подобных треугольникахне равен треугольнику ABC. Треугольники Лемма о подобных треугольникахи ABC — подобные.

Лемма о подобных треугольниках

Поскольку Лемма о подобных треугольниках= 2АВ, составим отношение этих сторон: Лемма о подобных треугольниках

Аналогично получим: Лемма о подобных треугольниках. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Лемма о подобных треугольниках

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Лемма о подобных треугольниках

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Лемма о подобных треугольникахи говорим: «Треугольник Лемма о подобных треугольникахподобен треугольнику ABC*. Знак Лемма о подобных треугольникахзаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Лемма о подобных треугольниках

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Лемма о подобных треугольниках— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Лемма о подобных треугольниках

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Лемма о подобных треугольниках

Подставим известные длины сторон: Лемма о подобных треугольниках

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Лемма о подобных треугольниках, отсюда АВ = 5,6 см; Лемма о подобных треугольниках

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Лемма о подобных треугольниках(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Лемма о подобных треугольниках

Докажем, что Лемма о подобных треугольниках

Поскольку Лемма о подобных треугольникахто Лемма о подобных треугольниках

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Лемма о подобных треугольниках

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Лемма о подобных треугольниках

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Лемма о подобных треугольниках

Из обобщенной теоремы Фалеса, Лемма о подобных треугольниках

поэтому Лемма о подобных треугольниках

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Лемма о подобных треугольниках. Но КА = MN, поэтому Лемма о подобных треугольниках

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Лемма о подобных треугольниках‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Лемма о подобных треугольниках

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Лемма о подобных треугольникахНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Лемма о подобных треугольникахn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Лемма о подобных треугольникахm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Лемма о подобных треугольниках

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, их можно приравнять: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Лемма о подобных треугольниках. Прямые ВС и Лемма о подобных треугольникахcообразуют с секущей Лемма о подобных треугольникахравные соответственные углы: Лемма о подобных треугольникахИз признака параллельности прямых следует, что, Лемма о подобных треугольниках

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Лемма о подобных треугольниках, отсекает от треугольника Лемма о подобных треугольникахподобный треугольник. Поэтому Лемма о подобных треугольниках

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Лемма о подобных треугольниках. Тогда:

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Лемма о подобных треугольниках

Доказать: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Доказательство. Пусть Лемма о подобных треугольниках. Отложим на стороне Лемма о подобных треугольникахтреугольника Лемма о подобных треугольникахотрезок Лемма о подобных треугольниках= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Лемма о подобных треугольникахИмеем треугольник Лемма о подобных треугольниках, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Лемма о подобных треугольниках.

Следовательно, Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольниках

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Лемма о подобных треугольниках. Отсюда Лемма о подобных треугольникахИз равенства треугольников Лемма о подобных треугольникахподобия треугольников Лемма о подобных треугольникахследует, что Лемма о подобных треугольниках.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Лемма о подобных треугольниках

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Лемма о подобных треугольниках

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Лемма о подобных треугольниках

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Лемма о подобных треугольниках

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Лемма о подобных треугольниках

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Лемма о подобных треугольниках. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Лемма о подобных треугольниках. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Доказательство.

1) Лемма о подобных треугольникахпо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Лемма о подобных треугольникахОтсюда Лемма о подобных треугольниках= Лемма о подобных треугольниках.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Лемма о подобных треугольниках

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Лемма о подобных треугольниках(рис. 302).

Лемма о подобных треугольниках

Поэтому Лемма о подобных треугольниках

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Лемма о подобных треугольниках

Лемма о подобных треугольниках

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Лемма о подобных треугольникахno двум углам. В них: Лемма о подобных треугольниках, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Лемма о подобных треугольниках Лемма о подобных треугольникахпо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Лемма о подобных треугольниках(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Лемма о подобных треугольниках

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Лемма о подобных треугольниках— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Лемма о подобных треугольниках= I. Тогда можно построить вспомогательный Лемма о подобных треугольникахпо двум заданным углам А и С. Через точку Лемма о подобных треугольникахна биссектрисе ے В ( Лемма о подобных треугольниках= I) проходит прямая Лемма о подобных треугольниках, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Лемма о подобных треугольниках, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Лемма о подобных треугольникахАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Лемма о подобных треугольниках= I.
  4. Через точку Лемма о подобных треугольниках, проводим прямую Лемма о подобных треугольниках.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Лемма о подобных треугольниках: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Лемма о подобных треугольниках= I. Следовательно, Лемма о подобных треугольниках, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Лемма о подобных треугольникахЛемма о подобных треугольниках

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

60. Отношение площадей подобных треугольниковСкачать

60. Отношение площадей подобных треугольников

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольниковСкачать

8 класс, 20 урок, Определение подобных треугольников

Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 классСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ . §12 геометрия 8 класс

Геометрия 8 класс Определение подобных треугольниковСкачать

Геометрия 8 класс Определение подобных треугольников

Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать

Теорема Фалеса. 8 класс.

№547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.Скачать

№547. Докажите, что отношение периметров двух подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№15 - Признаки подобия треугольников.)
Поделиться или сохранить к себе: