С помощю этого онлайн калькулятора можно найти сторону, периметр, диагональ квадрата, радиус вписанной в квадрат окружности, радиус описанной вокруг квадрата окружности и т.д.. Для нахождения незвестных элементов, введите известные данные в ячейки и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.
Определение 1. Квадрат − это четырехугольник, у которого все углы равны и все стороны равны (Рис.1):
Можно дать и другие определение квадрата.
Определение 2. Квадрат − это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Определение 3. Квадрат − это ромб, у которого все углы прямые (или равны).
- Свойства квадрата
- Диагональ квадрата
- Окружность, вписанная в квадрат
- Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
- Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
- Окружность, описанная около квадрата
- Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
- Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
- Периметр квадрата
- Признаки квадрата
- Треугольник
- Как найти площадь треугольника
- По формуле Герона
- Через основание и высоту
- Через две стороны и угол
- Через сторону и два прилежащих угла
- Площадь прямоугольного треугольника
- Площадь равнобедренного треугольника через стороны
- Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
- Площадь равностороннего треугольника через стороны
- Площадь равностороннего треугольника через высоту
- Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
- Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
- Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
- Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
- 💡 Видео
Видео:Площадь треугольника. Как найти площадь треугольника?Скачать
Свойства квадрата
- Длины всех сторон квадрата равны.
- Все углы квадрата прямые.
- Диагонали квадрата равны.
- Диагонали пересекаются под прямым углом.
- Диагонали квадрата являются биссектрисами углов.
- Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
Изложеннные свойства изображены на рисунках ниже:
Видео:✓ Квадрат вписан в прямоугольный треугольник | Ботай со мной #129 | Борис ТрушинСкачать
Диагональ квадрата
Определение 4. Диагональю квадрата называется отрезок, соединяющий несмежные вершины квадрата.
На рисунке 2 изображен диагональ d, который является отрезком, соединяющим несмежные вершины A и C. У квадрата две диагонали.
Для вычисления длины диагонали воспользуемся теоремой Пифагора:
. | (1) |
Из равенства (1) найдем d:
. | (2) |
Пример 1. Сторона квадрата равна a=53. Найти диагональ квадрата.
Решение. Для нахождения диагонали квадрата воспользуемся формулой (2). Подставляя a=53 в (2), получим:
Ответ:
Видео:Как построить квадрат, два способаСкачать
Окружность, вписанная в квадрат
Определение 5. Окружность называется вписанной в квадрат, если все стороны касаются этого квадрата (Рис.3):
Видео:Как высчитать квадратуру из треугольника,трапеции и т. д.Скачать
Формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата
Из рисунка 3 видно, что диаметр вписанной окружности равен стороне квадрата. Следовательно, формула вычисления радиуса вписанной окружности через сторону квадрата имеет вид:
(3) |
Пример 2. Сторона квадрата равна a=21. Найти радиус вписанной окружности.
Решение. Для нахождения радиуса списанной окружности воспользуемся формулой (3). Подставляя a=21 в (3), получим:
Ответ:
Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Формула вычисления сторон квадрата через радиус вписанной окружности
Из формулы (3) найдем a. Получим формулу вычисления стороны квадрата через радиус вписанной окружности:
(4) |
Пример 3. Радиус вписанной в квадрат окружности равен r=12. Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадраиа воспользуемся формулой (4). Подставляя r=12 в (4), получим:
Ответ:
Видео:Найдите площадь треугольника на рисунке ★ Два способа решенияСкачать
Окружность, описанная около квадрата
Определение 6. Окружность называется описанной около квадрата, если все вершины квадрата находятся на этой окружности (Рис.4):
Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать
Формула радиуса окружности описанной вокруг квадрата
Выведем формулу вычисления радиуса окружности, описанной около квадрата через сторону квадрата.
Обозначим через a сторону квадрата, а через R − радиус описанной около квадрата окружности. Проведем диагональ BD (Рис.4). Треугольник ABD является прямоугольным треугольником. Тогда из теоремы Пифагора имеем:
(5) |
Из формулы (5) найдем R:
(6) |
или, умножая числитель и знаменатель на , получим:
. | (7) |
Пример 4. Сторона квадрата равна a=4.5. Найти радиус окружности, описанной вокруг квадрата.
Решение. Для нахождения радиуса окружности описанной вокруг квадрата воспользуемся формулой (7). Подставляя a=4.5 в (7), получим:
Ответ:
Видео:Решали пол-урока, а оказалось очень простоСкачать
Формула стороны квадрата через радиус описанной около квадрата окружности
Выведем формулу вычисления стороны квадрата, через радиус описанной около квадрата окружности.
Из формулы (1) выразим a через R:
. | (8) |
Пример 5. Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен Найти сторону квадрата.
Решение. Для нахождения стороны квадрата воспользуемся формулой (8). Подставляя в (8), получим:
Ответ:
Видео:ЗАДАЧА ВЗОРВАЛА ИНТЕРНЕТ! НИКТО НЕ РЕШИЛ!Скачать
Периметр квадрата
Периметр квадрата − это сумма всех его сторон. Обозначается периметр латинской буквой P.
Поскольку стороны квадрата равны, то периметр квадрата вычисляется формулой:
(9) |
где − сторона квадрата.
Пример 6. Сторона квадрата равен . Найти периметр квадрата.
Решение. Для нахождения периметра квадрата воспользуемся формулой (9). Подставляя в (9), получим:
Ответ:
Видео:Периметр треугольника. Как найти периметр треугольника?Скачать
Признаки квадрата
Признак 1. Если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов четырехугольника прямой, то этот четырехугольник является квадратом.
Доказательство. По условию, в четырехугольнике противоположные стороны равны, то этот четырехугольник праллелограмм (признак 2 статьи Параллелограмм). В параллелограмме противоположные углы равны. Следовательно напротив прямого угла находится прямой угол. Тогда сумма остальных двух углов равна: 360°-90°-90°=180°, но поскольку они также являются противоположными углами, то они также равны и каждый из них равен 90°. Получили, что все углы четырехугольника прямые и, по определению 1, этот четырехугольник является квадратом.
Признак 2. Если в четырехугольнике диагонали равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то такой четырехугольник является квадратом (Рис.5).
Доказательство. Пусть в четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O и пусть
(10) |
Так как AD и BC перпендикулярны, то
(11) |
Из (10) и (11) следует, что треугольники OAB, OBD, ODC, OCA равны (по двум сторонам и углу между ними (см. статью на странице Треугольники. Признаки равенства треугольников)). Тогда
(12) |
Эти реугольники также равнобедренные. Тогда
(13) |
Из (13) следует, что
(14) |
Равенства (12) и (14) показывают, что четырехугольник ABCD является квадратом (определение 1).
Видео:Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
Треугольник
Треугольник является базовой фигурой геометрии, встречающейся повсеместно. Расчет всех геометрических фигур и тел основаны на наличии в них тех или иных треугольников, благодаря чему становится возможным применить множество теорем и формул, несвойственных конкретным фигурам по отдельности. Равносторонние треугольники, равнобедренные треугольники и прямоугольные треугольники составляют каркас решения геометрических задач, и обладая множеством дополнительных построений внутри треугольника, они предоставляют огромное количество значений тех или иных длин. Все биссектрисы, медианы, высоты, радиусы окружностей, вписанных или описанных около таких треугольников, можно рассчитать в этом разделе через геометрический калькулятор. Для этого необходимо ввести любые имеющиеся вводные данные, и калькулятор выдаст не только значения всех остальных параметров треугольника, но и объяснит преобразования формул, использованные для этих расчетов.
Видео:Тригонометрия: Как запомнить? + ПОЛУЧИ ПОДАРОК от Ольги АлександровныСкачать
Как найти площадь треугольника
На данной странице калькулятор поможет рассчитать площадь треугольника онлайн. Для расчета задайте высоту, ширину и длину.
Треугольник – это многоугольник с тремя сторонами.
По формуле Герона
Формула Герона для нахождения площади треугольника:
Через основание и высоту
Формула нахождения площади треугольника с помощью половины его основания и высоту:
Через две стороны и угол
Формула нахождения площади треугольника через две стороны и угол между ними:
Через сторону и два прилежащих угла
Формула нахождения площади треугольника через сторону и два прилежащих к ней угла:
Площадь прямоугольного треугольника
Прямоугольный треугольник — треугольник у которого один из углов прямой, т.е. равен 90°.
Формула нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты:
Площадь равнобедренного треугольника через стороны
Равнобедренный треугольник — треугольник, в котором две стороны равны. А значит, равны и два угла.
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через две стороны:
Площадь равнобедренного треугольника через основание и угол
Формула нахождения площади равнобедренного треугольника через основание и угол:
Площадь равностороннего треугольника через стороны
Равносторонний треугольник — треугольник, в котором все стороны равны, а каждый угол равен 60°.
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через сторону:
Площадь равностороннего треугольника через высоту
Формула нахождения площади равностороннего треугольника через высоту:
Площадь равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности:
Площадь равностороннего треугольника через радиус описанной окружности
Формула нахождения пощади равностороннего треугольника через радиус описанной окружности:
Площадь треугольника через радиус описанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус описанной окружности и три стороны:
Площадь треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны
Формула нахождения пощади треугольника через радиус вписанной окружности и три стороны:
💡 Видео
Секретная теорема из учебника геометрииСкачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
Пятая задача из контрольной для 8 классаСкачать
Этой задачей русские дети 10 лет мучили американцев. Американцы не понимали, что делают не такСкачать
Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать
Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать
Запомни: все формулы для площади треугольникаСкачать
Головоломка от деменции ➜ Найдите площадь квадратаСкачать