Квадрат скорости разделить на радиус окружности (4 видео)

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью

Содержание

теория по физике 🧲 кинематика
Период, частота и количество оборотов
Линейная и угловая скорости
Линейная скорость
Угловая скорость
Центростремительное ускорение
Равномерное движение тела по окружности
ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ
Часть 1
Часть 2
Формула центростремительного ускорения
Определение и формула центростремительного ускорения
Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности
Примеры задач с решением
🎬 Видео

теория по физике 🧲 кинематика

Криволинейное движение — движение, траекторией которого является кривая линия. Вектор скорости тела, движущегося по кривой линии, направлен по касательной к траектории. Любой участок криволинейного движения можно представить в виде движения по дуге окружности или по участку ломаной.

Движение по окружности с постоянной по модулю скоростью — частный и самый простой случай криволинейного движения. Это движение с переменным ускорением, которое называется центростремительным.

Особенности движения по окружности с постоянной по модулю скоростью:

Траектория движения тела есть окружность.
Вектор скорости всегда направлен по касательной к окружности.
Направление скорости постоянно меняется под действием центростремительного ускорения.
Центростремительное ускорение направлено к центру окружности и не вызывает изменения модуля скорости.

Видео:Движение тела по окружности с постоянной по модулю скоростью | Физика 9 класс #18 | ИнфоурокСкачать

Период, частота и количество оборотов

Пусть тело двигается по окружности беспрерывно. Когда оно сделает один оборот, пройдет некоторое время. Когда тело сделает еще один оборот, пройдет еще столько же времени. Это время не будет меняться, потому что тело движется с постоянной по модулю скоростью. Такое время называют периодом.

Период — время одного полного оборота. Обозначается буквой T. Единица измерения — секунды (с).

t — время, в течение которого тело совершило N оборотов

За один и тот же промежуток времени тело может проходить лишь часть окружности или совершать несколько единиц, десятков, сотен или более оборотов. Все зависит от длины окружности и модуля скорости.

Частота — количество оборотов, совершенных в единицу времени. Обозначается буквой ν («ню»). Единица измерения — Гц.

N — количество оборотов, совершенных телом за время t.

Период и частота — это обратные величины, определяемые формулами:

Количество оборотов выражается следующей формулой:

Пример №1. Шарик на нити вращается по окружности. За 10 секунд он совершил 20 оборотов. Найти период и частоту вращения шарика.

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Линейная и угловая скорости

Линейная скорость

Линейная скорость — это отношение пройденного пути ко времени, в течение которого этот путь был пройден. Обозначается буквой v. Единица измерения — м/с.

l — длина траектории, вдоль которой двигалось тело за время t

Линейную скорость можно выразить через период. За один период тело делает один оборот, то есть проходить путь, равный длине окружности. Поэтому его скорость равна:

R — радиус окружности, по которой движется тело

Если линейную скорость можно выразить через период, то ее можно выразить и через частоту — величину, обратную периоду. Тогда формула примет вид:

Выразив частоту через количество оборотов и время, в течение которого тело совершало эти обороты, получим:

Угловая скорость

Угловая скорость — это отношение угла поворота тела ко времени, в течение которого тело совершало этот поворот. Обозначается буквой ω. Единица измерения — радиан в секунду (рад./с).

ϕ — угол поворота тела. t — время, в течение которого тело повернулось на угол ϕ

Радиан — угол, соответствующий дуге, длина которой равна ее радиусу. Полный угол равен 2π радиан.

За один полный оборот тело поворачивается на 2π радиан. Поэтому угловую скорость можно выразить через период:

Выражая угловую скорость через частоту, получим:

Выразив частоту через количество оборотов, формула угловой скорости примет вид:

Сравним две формулы:

Преобразуем формулу линейной скорости и получим:

Отсюда получаем взаимосвязь между линейной и угловой скоростями:

Полезные факты

У вращающихся прижатых друг к другу цилиндров линейные скорости точек их поверхности равны: v₁ = v₂.
У вращающихся шестерен линейные скорости точек их поверхности также равны: v₁ = v₂.
Все точки вращающегося твердого тела имеют одинаковые периоды, частоты и угловые скорости, но разные линейные скорости. T₁ = T₂, ν₁ = ν₂, ω₁ = ω₂. Но v₁ ≠ v₂.

Пример №2. Период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году. Радиус орбиты Земли равен 150 млн. км. Чему примерно равна скорость движения Земли по орбите? Ответ округлить до целых.

В году 365 суток, в одних сутках 24 часа, в 1 часе 60 минут, в одной минуте 60 секунд. Перемножив все эти числа между собой, получим период в секундах.

За каждую секунду Земля проходит расстояние, равное примерно 30 км.

Видео:Центростремительное ускорение. 9 класс.Скачать

Центростремительное ускорение

Центростремительное ускорение — ускорение с постоянным модулем, но меняющимся направлением. Поэтому оно вызывает изменение направления вектора скорости, но не изменяет его модуль. Центростремительное ускорение обозначается как a_ц.с.. Единица измерения — метры на секунду в квадрате (м/с 2 ). Центростремительное ускорение можно выразить через линейную и угловую скорости, период, частоту и количество оборотов/время:

Пример №3. Рассчитать центростремительное ускорение льва, спящего на экваторе, в системе отсчета, две оси которой лежат в плоскости экватора и направлены на неподвижные звезды, а начало координат совпадает с центром Земли.

Спящий лев сделает один полный оборот тогда, когда Земля сделает один оборот вокруг своей оси. Земля делает это за время, равное 1 сутки. Поэтому период обращения равен 1 суткам. Количество секунд в сутках: 1 сутки = 24•60•60 секунд = 86400 секунд = 86,4∙10 3 секунд.

Радиус Земли равен 6400 км. В метрах это будет 6,4∙10 6 . Теперь у нас есть все, что нужно для вычисления центростремительного ускорения. Подставляем данные в формулу:

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Записать формулу для определения искомой величины.
Подставить известные данные в формулу и произвести вычисления.

Решение

Записываем исходные данные:

Радиус окружности, по которой движется автомобиль: R = 100 м.
Скорость автомобиля во время движения по окружности: v = 20 м/с.

Формула, определяющая зависимость центростремительного ускорения от скорости движения тела:

Подставляем известные данные в формулу и вычисляем:

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Точка движется по окружности радиусом R с частотой обращения ν. Как нужно изменить частоту обращения, чтобы при увеличении радиуса окружности в 4 раза центростремительное ускорение точки осталось прежним?

а) увеличить в 2 раза б) уменьшить в 2 раза в) увеличить в 4 раза г) уменьшить в 4 раза

Алгоритм решения

Записать исходные данные.
Определить, что нужно найти.
Записать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты.
Преобразовать формулу зависимости центростремительного ускорения от частоты для каждого из случаев.
Приравнять правые части формул и найти искомую величину.

Решение

Запишем исходные данные:

Центростремительное ускорение определяется формулой:

Запишем формулы центростремительного ускорения для 1 и 2 случаев соответственно:

Так как центростремительное ускорение в 1 и 2 случае одинаково, приравняем правые части уравнений:

Произведем сокращения и получим:

Это значит, чтобы центростремительное ускорение осталось неизменным после увеличения радиуса окружности в 4 раза, частота должна уменьшиться вдвое. Верный ответ: «б».

pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор | оценить

Видео:Физика | Равномерное движение по окружностиСкачать

Равномерное движение тела по окружности

1. Движением тела по окружности называют движение, траекторией которого является окружность. По окружности движутся, например, конец стрелки часов, точки лопасти вращающейся турбины, вращающегося вала двигателя и др.

При движении по окружности направление скорости непрерывно изменяется. При этом модуль скорости тела может изменяться, а может оставаться неизменным. Движение, при котором изменяется только направление скорости, а её модуль сохраняется постоянным, называется равномерным движением тела по окружности. Под телом в данном случае имеют в виду материальную точку.

2. Движение тела по окружности характеризуется определёнными величинами. К ним относятся, прежде всего, период и частота обращения. Период обращения тела по окружности ( T ) — время, в течение которого тело совершает один полный оборот. Единица периода — ( [,T,] ) = 1 с.

Частота обращения ( (n) ) — число полных оборотов тела за одну секунду: ( n=N/t ) . Единица частоты обращения — ( [,n,] ) = 1 с -1 = 1 Гц (герц). Один герц — это такая частота, при которой тело совершает один оборот за одну секунду.

Связь между частотой и периодом обращения выражается формулой: ( n=1/T ) .

Пусть некоторое тело, движущееся по окружности, за время ( t ) переместилось из точки А в точку В. Радиус, соединяющий центр окружности с точкой А, называют радиусом-вектором. При перемещении тела из точки А в точку В радиус-вектор повернётся на угол ( varphi ) .

Быстроту обращения тела характеризуют угловая и линейная скорости.

Угловая скорость ( omega ) — физическая величина, равная отношению угла поворота ( varphi ) радиуса-вектора к промежутку времени, за которое этот поворот произошел: ( omega=varphi/t ) . Единица угловой скорости — радиан в секунду, т.е. ( [,omega,] ) = 1 рад/с. За время, равное периоду обращения, угол поворота радиуса-вектора равен ( 2pi ) . Поэтому ( omega=2pi/T ) .

Линейная скорость тела ( v ) — скорость, с которой тело движется вдоль траектории. Линейная скорость при равномерном движении по окружности постоянна по модулю, меняется по направлению и направлена по касательной к траектории.

Линейная скорость равна отношению пути, пройденному телом вдоль траектории, ко времени, за которое этот путь пройден: ( vec=l/t ) . За один оборот точка проходит путь, равный длине окружности. Поэтому ( vec=2pi!R/T ) . Связь между линейной и угловой скоростью выражается формулой: ( v=omega R ) .

Из этого равенства следует, что чем дальше от центра окружности расположена точка вращающегося тела, тем больше её линейная скорость.

4. Ускорение тела равно отношению изменения его скорости ко времени, за которое оно произошло. При движении тела по окружности изменяется направление скорости, следовательно, разность скоростей не равна нулю, т.е. тело движется с ускорением. Оно определяется по формуле: ( vec=frac<Deltavec> ) и направлено так же, как вектор изменения скорости. Это ускорение называется центростремительным ускорением.

Центростремительное ускорение при равномерном движении тела по окружности — физическая величина, равная отношению квадрата линейной скорости к радиусу окружности: ( a=frac ) . Так как ( v=omega R ) , то ( a=omega^2R ) .

При движении тела по окружности его центростремительное ускорение постоянно по модулю и направлено к центру окружности.

Видео:Урок 43. Криволинейное движение. Равномерное движение по окружности. Центростремительное ускорениеСкачать

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ

Часть 1

1. При равномерном движении тела по окружности

1) изменяется только модуль его скорости
2) изменяется только направление его скорости
3) изменяются и модуль, и направление его скорости
4) не изменяется ни модуль, ни направление его скорости

2. Линейная скорость точки 1, находящейся на расстоянии ( R_1 ) от центра вращающегося колеса, равна ( v_1 ) . Чему равна скорость ( v_2 ) точки 2, находящейся от центра на расстоянии ( R_2=4R_1 ) ?

1) ( v_2=v_1 )
2) ( v_2=2v_1 )
3) ( v_2=0,25v_1 )
4) ( v_2=4v_1 )

3. Период обращения точки по окружности можно вычислить по формуле:

1) ( T=2pi!Rv )
2) ( T=2pi!R/v )
3) ( T=2pi v )
4) ( T=2pi/v )

4. Угловая скорость вращения колеса автомобиля вычисляется по формуле:

1) ( omega=a^2R )
2) ( omega=vR^2 )
3) ( omega=vR )
4) ( omega=v/R )

5. Угловая скорость вращения колеса велосипеда увеличилась в 2 раза. Как изменилась линейная скорость точек обода колеса?

1) увеличилась в 2 раза
2) уменьшилась в 2 раза
3) увеличилась в 4 раза
4) не изменилась

6. Линейная скорость точек лопасти винта вертолёта уменьшилась в 4 раза. Как изменилось их центростремительное ускорение?

1) не изменилось
2) уменьшилось в 16 раз
3) уменьшилось в 4 раза
4) уменьшилось в 2 раза

7. Радиус движения тела по окружности увеличили в 3 раза, не меняя его линейную скорость. Как изменилось центростремительное ускорение тела?

1) увеличилось в 9 раз
2) уменьшилось в 9 раз
3) уменьшилось в 3 раза
4) увеличилось в 3 раза

8. Чему равен период обращения коленчатого вала двигателя, если за 3 мин он совершил 600 000 оборотов?

1) 200 000 с
2) 3300 с
3) 3·10 -4 с
4) 5·10 -6 с

9. Чему равна частота вращения точки обода колеса, если период обращения составляет 0,05 с?

1) 0,05 Гц
2) 2 Гц
3) 20 Гц
4) 200 Гц

10. Линейная скорость точки обода велосипедного колеса радиусом 35 см равна 5 м/с. Чему равен период обращения колеса?

1) 14 с
2) 7 с
3) 0,07 с
4) 0,44 с

11. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и формулами для их вычисления в правом столбце. В таблице под номером физической
величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранной вами формулы из правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
А) линейная скорость
Б) угловая скорость
В) частота обращения

ФОРМУЛА
1) ( 1/T )
2) ( v^2/R )
3) ( v/R )
4) ( omega R )
5) ( 1/n )

12. Период обращения колеса увеличился. Как изменились угловая и линейная скорости точки обода колеса и её центростремительное ускорение. Установите соответствие между физическими величинами в левом столбце и характером их изменения в правом столбце.
В таблице под номером физической величины левого столбца запишите соответствующий номер выбранного вами элемента правого столбца.

ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА
A) угловая скорость
Б) линейная скорость
B) центростремительное ускорение

ХАРАКТЕР ИЗМЕНЕНИЯ ВЕЛИЧИНЫ
1) увеличилась
2) уменьшилась
3) не изменилась

Часть 2

13. Какой путь пройдёт точка обода колеса за 10 с, если частота обращения колеса составляет 8 Гц, а радиус колеса 5 м?

Видео:Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

Формула центростремительного ускорения

Видео:Центростремительное ускорение телаСкачать

Определение и формула центростремительного ускорения

Центростремительным ускорением называют компоненту полного ускорения материальной точки, движущейся по криволинейной траектории, которая определяет быстроту изменения направления вектора скорости.

Другой компонентой полного ускорения является тангенциальное ускорение, оно отвечает за изменение величины скорости. Обозначают центростремительное ускорение, обычно $_n$. Центростремительное ускорение еще называют нормальным.

Центростремительное ускорение равно:

где $<overline>_r=frac<overline>$ — единичный вектор, который направлен от центра кривизны траектории к рассматриваемой точке; $r$ — радиус кривизны траектории в месте нахождения материальной точки в рассматриваемый момент времени.

Первым верные формулы для вычисления центростремительного ускорения получил Х. Гюйгенс.

Единицей измерения центростремительного ускорения в Международной системе единиц является метр, деленный на секунду в квадрате:

Видео:Урок 90. Движение по окружности (ч.2)Скачать

Формула центростремительного ускорения при равномерном движении точки по окружности

Рассмотрим равномерное движение материальной точки по окружности. При таком перемещении величина скорости материальной точки неизменна ($v=const$). Но это не означает, что полное ускорение материальной точки при таком виде движения равно нулю. Вектор мгновенной скорости направлен по касательной к окружности, по которой перемещается точка. Следовательно, в этом движении скорость постоянно изменяет свое направление. Отсюда следует, что точка имеет ускорение.

Рассмотрим точки A и B которые лежат на траектории движения частицы. Вектор изменения скорости для точек A и B найдем как:

Если время, затрачиваемое на движение от точки A до точки B, стремится к нулю, то дуга AB мало не отличается от хорды AB. Треугольники AOB и BMN подобны, получим:

Величину модуля среднего ускорения определяют как:

Перейдем к пределу при $Delta tto 0 $ от $leftlangle arightrangle $в формуле (4):

Вектор среднего ускорения составляет с вектором скорости угол равный:

При $Delta tto 0 $ угол $alpha to 0.$ Получается, что вектор мгновенного ускорения составляет с вектором скорости угол $frac$.

И так, что материальная точка, равномерно движущаяся по окружности, обладает ускорением, которое направленно к центру окружности ($_nbot overline$), его величина равна скорости в квадрате, деленной на радиус окружности:

где $omega $ — угловая скорость движения материальной точки ($v=omega cdot R$). В векторном виде формулу для центростремительного ускорения можно записать, опираясь на (7) как:

где $overline$ — радиус-вектор, равный по длине радиусу дуги окружности, направленный от центра кривизны к местоположению рассматриваемой материальной точки.

Видео:Урок 89. Движение по окружности (ч.1)Скачать

Примеры задач с решением

Задание. Векторное уравнение $overlineleft(tright)=overline<cos left(omega tright)+overline >$, где $omega =2 frac,$ описывает движение материальной точки. По какой траектории движется данная точка? Чему равен модуль ее центростремительного ускорения? Считайте, что все величины в системе СИ.

Решение. Рассмотрим уравнение движения точки:

В декартовой системе координат это уравнение эквивалентно системе уравнений:

Для того, чтобы понять по какой траектории движется точка нам следует исключить время из уравнений системы (1.2). Для этого возведем оба уравнение в квадрат и сложим их:

[x^2+y^2=^2left(omega tright)+^2left(omega tright)=1 left(1.3right).]

Из уравнения (1.3) мы видим, что траекторией движения точки является окружность (рис.2) радиуса $R=1$ м.

Для того чтобы найти центростремительное ускорение воспользуемся формулой:

Модуль скорости определим используя систему уравнений (1.2). Найдем компоненты скорости, которые равны:

Квадрат модуля скорости будет равен:

Из того, какой получился модуль скорости (1.6), мы видим, что наша точка движется по окружности равномерно, следовательно, центростремительное ускорение будет совпадать с полным ускорением.

Подставим $v^2$ из (1.6) в формулу (1.4), имеем:

Ответ. 1) Окружность; 2) $a_n=4 frac$

Задание. Каково центростремительное ускорение точек на ободе диска в момент времени, равный $t=2$c, если диск вращается в соответствии с уравнением: $varphi (t)=3+2t^3$? Радиус диска равен $R=0,$ м.

Решение. Центростремительное ускорение точек диска будем искать, применяя формулу:

Угловую скорость найдем, используя уравнение $varphi (t)=3+2t^3$ как:

При $t=2 $c угловая скорость равна:

[omega left(t=2right)=24 left(fracright).]

Можно вычислить центростремительное ускорение по формуле (2.1):

Ответ. $a_n=57,6frac$