В этом разделе вы найдете подробные решения криволинейных интегралов первого и второго рода (непосредственное вычисление, по разным путям, по формуле Грина), а также применение к вычислению моментов инерции, массы, работы, силы притяжения и т.п.
- Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений
- Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений
- Моменты инерции: примеры решений
- Другие задания: примеры решений
- Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
- Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
- Далее:
- Криволинейный интеграл по окружности x 2 y 2 ax
- Контакты
- 💥 Видео
Видео:Криволинейный интеграл II рода вдоль плоской кривойСкачать
Криволинейные интегралы 1-го рода: примеры решений
Задача 1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по указанной кривой $L$:
Задача 2. Вычислить криволинейный интеграл I рода $int_L y^2 dl$, $L$ — арка циклоиды $x=(t-sin t)/2$, $y=(1-cos t)/2$, $0 le t le pi$.
Задача 3. Вычислить криволинейный интеграл $int_L y^2 dl$, где $L$ – дуга параболы $y^2=2x$ от точки $(0;0)$ до точки $(1;sqrt)$.
Если вам нужна помощь в нахождении интегралов, выполнении домашней работы, будем рады принять ваш заказ на решение. Стоимость от 100 рублей, срок от нескольких часов.
Видео:Математический анализ, 47 урок, Криволинейные интегралы первого родаСкачать
Криволинейные интегралы 2-го рода: примеры решений
Задача 4. Вычислить криволинейный интеграл второго рода, взятый вдоль ориентированной кривой $L$: $int_L x^2 dy -xydx$, где $L$ — часть кривой $x^4-y^4=6x^2y$ от точки $A=(-4sqrt;4)$ до точки $B=(0;0)$
Задача 5. Вычислить интеграл $$int_L z^2x dx +(z+x+y)dy +y^2zdz,$$ где $L$ — кривая $a^2+y^2=ax, x^+y^2=z^2$ положительно ориентированная на внешней стороне цилиндра.
Задача 6. Вычислить криволинейный интеграл $int_ (y^2+x)dx+2x/y dy$ вдоль кривой $y=e^x$ от точки $A(0;1)$ до точки $B(1;e)$.
Задача 7. Проверить, что криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования и найти его значение.
Задача 8. Проверить криволинейный интеграл, который не зависит от пути интегрирования, и найти его значение (двумя способами – непосредственно и с помощью потенциала).
Задача 9. Вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру в положительном направлении, используя формулу Грина
$$int_l (x-y^2)dy + (x^3+3y)dx, quad l: x=y, y=x^2.$$
Трудности с задачами? МатБюро поможет с интегралами.
Видео:Математический анализ, 48 урок, Криволинейные интегралы второго родаСкачать
Моменты инерции: примеры решений
Задача 10. Найти моменты инерции относительно осей однородных дуг $L$ плотности $rho$.
Задача 11. Вычислить момент инерции верхней половины окружности $x^2+y^2=a^2$ относительно оси $Oy$, если плотность $delta=1$.
Видео:Криволинейный интеграл первого родаСкачать
Другие задания: примеры решений
Задача 12. Найти координаты силы притяжения дугой астроиды $x=a cos^3 t$, $y=a sin^3 t$, $0 le t le pi/2$ единичной массы, помещенной в начале координат, если плотность астроиды в каждой ее точке равна кубу расстояния этой точки от начала координат.
Задача 13. Вычислить работу силы $F(z,-x,y)$ вдоль дуги винтовой линии $z=2cos t$, $y=3sin t$, $z=4t$, $0 le t le 2pi$.
Задача 14. Доказать, что данное выражение $P(x,y)dx+Q(x,y)dy$ является полным дифференциалом функции $Ф(x,y)$ и найти ее с помощью криволинейного интеграла.
Задача 15. Вычислить работу силы $overline$ при перемещении точки приложения силы вдоль заданной кривой $L$ от точки $B$ до точки $C$, если значения параметра $t$ в точках $B$ и $C$ заданы.
$$ overline=-x overline+2y^2overline, quad x=2cos t, y=sint, quad t_B=0, t_C=pi/6. $$
Задача 16. Вычислить массу кривой $y=x^2/2$, где $xin (sqrt, 2sqrt)$, если линейная плотность задана функцией $f(x,y)=6y/x$.
Видео:Формула ГринаСкачать
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
- Услуги проектирования
- Криволинейный интеграл
- Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Видео:Криволинейный интеграл по длине дуги ➜ Криволинейный интеграл 1-го родаСкачать
Вычисление криволинейного интеграла первого рода. Плоский случай
Если кривая лежит на какой-либо координатной плоскости, например, плоскости $mathbf < textit > $, и задаётся функцией $y=y(x),;aleqslant xleqslant b$, то, рассматривая $mathbf < textit > $ как параметр, получаем следующую формулу для вычисления интеграла: $intlimits_L < f(x,y)dl=intlimits_a^b < f(x,y(x))sqrt < 1+[ ‘(x)]^2 > ,dx > > $. Аналогично, если кривая задаётся уравнением $x=x(y),;cleqslant yleqslant d$, то $intlimits_L < f(x,y)dl=intlimits_c^d < f(x(y),y)sqrt < 1+[ ‘(y)]^2 > ,dy > > $.
Вычислить $intlimits_L $, где $L$ — четверть окружности $x^2+y^2=9$, лежащая в четвёртом квадранте.
Решение:
- Рассматривая $mathbf < textit > $ как параметр, получаем $y=-sqrt ,; ‘(x)=frac < sqrt > , quad sqrt < 1+ ‘^2(x) > =frac < sqrt > $, поэтому $intlimits_L =intlimits_0^3 < xleft[ < -sqrt >right]^2cdot frac < sqrt > > dx= 3intlimits_0^3 < xcdot sqrt > dx=-left. < left[ < sqrt >right]^3 >right|_0^3 =27$
- Если за параметр взять переменную $mathbf < textit > $, то $x=sqrt ,; ‘(y)=frac < sqrt > , quad dl=frac < sqrt > $ и $intlimits_L =intlimits_0^3 < sqrt y^2cdot frac < sqrt > > dy=left. right|_0^3 =27$
- Естественно, можно взять обычные параметрические уравнения окружности $x=3cos t, quad y=3sin t,;3pi /2leqslant tleqslant 2pi : intlimits_L =intlimits_ ^ < 3cos tcdot (3sin t)^2cdot sqrt > dy=81left. < frac ^3 >right|_ ^ =27$
Если кривая задана в полярных координатах $r=r(varphi ),;varphi _0 leqslant varphi leqslant varphi _k $, то $dl=sqrt < r^2(varphi )+ ‘^2(varphi ) > dvarphi $, и $intlimits_L =intlimits_ ^ < f(r(varphi )cos varphi ,r(varphi )sin varphi )cdot sqrt < r^2(varphi )+ ‘^2(varphi ) > > cdot dvarphi $.
Далее:
Поверхностный интеграл первого рода и его свойства
Свойства двойного интеграла
Критерий полноты
Поток векторного поля через поверхность
Критерий полноты . Лемма о немонотонной функции
Теорема Стокса
Функции k-значной логики. Элементарные функции. Лемма об аналоге правила де Моргана
Критерий полноты . Лемма о несамодвойственной функции
Несобственные интегралы по неограниченной области
Свойства тройного интеграла
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Вычисление объёмов
Свойства потока векторного поля
Определение криволинейного интеграла второго рода
Свойства криволинейного интеграла второго рода
Огравление $Rightarrow $
Видео:Криволинейный интеграл 1 родаСкачать
Криволинейный интеграл по окружности x 2 y 2 ax
Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!
Контакты
 |
